人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：3 3 2 第一課時(shí) 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE13.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題.通過研究拋物線的幾何性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究某公園要建造一個(gè)如圖1的圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖2所示.為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計(jì)成水流在與OA距離為1米處達(dá)到距水面最大高度2.25米.問題在上述情境中，不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水不落到池外？〖提示〗在上述情境中，如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要2.25米，才能使噴出的水流不致落到池外.四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)解決問題時(shí)，注意拋物線的對(duì)稱性及準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直性質(zhì)的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e＝1通徑長2p拓展深化〖微判斷〗1.拋物線沒有漸近線.(√)2.過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長為p.(×)〖提示〗過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長為通徑長，為2p.3.拋物線既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.(×)〖提示〗拋物線不是中心對(duì)稱圖形.〖微訓(xùn)練〗1.已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y1＋y2＝________.〖解析〗因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.〖答案〗02.拋物線y2＝x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于________.〖解析〗在拋物線y2＝2py(p>0)中，p的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.〖答案〗eq\f(1,2)3.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝3p，則|PQ|等于()A.4p B.5pC.6p D.8p〖解析〗因?yàn)镻Q過焦點(diǎn)，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.〖答案〗A〖微思考〗1.影響拋物線開口大小的量是什么？是如何影響的？〖提示〗影響拋物線開口大小的量為參數(shù)p，p值越大，拋物線開口越開闊；反之，開口越扁狹.2.拋物線x2＝2py(p>0)有幾條對(duì)稱軸？是否是中心對(duì)稱圖形？〖提示〗有一條對(duì)稱軸，即y軸.不是中心對(duì)稱圖形.題型一拋物線的幾何性質(zhì)〖例1〗已知雙曲線方程是eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1，求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程.解因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8eq\r(2)x，其準(zhǔn)線方程為x＝－2eq\r(2).規(guī)律方法(1)注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱.(2)解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過定義的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過程.〖訓(xùn)練1〗已知拋物線的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，－2).求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程.解當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx(m≠0).將點(diǎn)M(1，－2)代入，得m＝4.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝ny(n≠0).將點(diǎn)M(1，－2)代入，得n＝－eq\f(1,2).∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(1,2)y.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y.準(zhǔn)線方程分別為x＝－1或y＝eq\f(1,8).題型二拋物線性質(zhì)的應(yīng)用〖例2〗(1)已知正三角形AOB的一個(gè)頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個(gè)三角形的邊長.解如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因?yàn)閤1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq\f(\r(3),3)x1，與yeq\o\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2eq\r(3)p.所以|AB|＝2y1＝4eq\r(3)p，即這個(gè)三角形的邊長為4eq\r(3)p.(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求直線AB的方程.解如圖，設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，由題意可知點(diǎn)B(x0，－y0)，∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即eq\f(y0,x0－\f(p,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1.∴yeq\o\al(2,0)＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))，又∵yeq\o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq\f(p,2)＝eq\f(5p,2).∴直線AB的方程為x＝eq\f(5p,2).規(guī)律方法利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問題.〖訓(xùn)練2〗(1)(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點(diǎn)A(0，2)，使得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，則p的值可以為()A.2 B.4C.6 D.8(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________.〖解析〗(1)由題意可得，以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由拋物線定義知|MF|＝x＋eq\f(p,2)＝5，可得x＝5－eq\f(p,2).因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為eq\f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,2)，由已知可知圓半徑也為eq\f(5,2)，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)A(0，2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故選AD.(2)由拋物線方程可知F(1，0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.如圖，設(shè)A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq\r(3)(x0－1)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，eq\r(3)(x0－1))，將此代入拋物線方程可得3xeq\o\al(2,0)－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝eq\f(1,3)(舍)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2eq\r(3))，故S△AKF＝eq\f(1,2)×(3＋1)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).〖答案〗(1)AD(2)4eq\r(3)一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2eq\r(3) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),4)〖解析〗橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,1)＝1，則其一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以eq\f(p,2)＝eq\f(\r(3),2)，p＝eq\r(3)，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\r(3).〖答案〗B2.(多選題)以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程可以為()A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝4y〖解析〗設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依題意將x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.〖答案〗AB3.(多選題)若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(\r(2),4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(\r(2),4)))〖解析〗由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq\f(1,8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，故選BD.〖答案〗BD4.經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是()A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0〖解析〗設(shè)直線l的方程為3x－2y＋c＝0(c≠5).因?yàn)閽佄锞€y2＝2x的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，所以3×eq\f(1,2)－2×0＋c＝0，所以c＝－eq\f(3,2)，故直線l的方程是6x－4y－3＝0.選A.〖答案〗A5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________________.〖解析〗設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(yeq\o\al(2,0),4)，－y0))，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，得y0＝±2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)或(1，－2).〖答案〗(1，2)或(1，－2)3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題.通過研究拋物線的幾何性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究某公園要建造一個(gè)如圖1的圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖2所示.為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計(jì)成水流在與OA距離為1米處達(dá)到距水面最大高度2.25米.問題在上述情境中，不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水不落到池外？〖提示〗在上述情境中，如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要2.25米，才能使噴出的水流不致落到池外.四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)解決問題時(shí)，注意拋物線的對(duì)稱性及準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直性質(zhì)的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e＝1通徑長2p拓展深化〖微判斷〗1.拋物線沒有漸近線.(√)2.過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長為p.(×)〖提示〗過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長為通徑長，為2p.3.拋物線既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.(×)〖提示〗拋物線不是中心對(duì)稱圖形.〖微訓(xùn)練〗1.已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y1＋y2＝________.〖解析〗因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.〖答案〗02.拋物線y2＝x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于________.〖解析〗在拋物線y2＝2py(p>0)中，p的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.〖答案〗eq\f(1,2)3.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝3p，則|PQ|等于()A.4p B.5pC.6p D.8p〖解析〗因?yàn)镻Q過焦點(diǎn)，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.〖答案〗A〖微思考〗1.影響拋物線開口大小的量是什么？是如何影響的？〖提示〗影響拋物線開口大小的量為參數(shù)p，p值越大，拋物線開口越開闊；反之，開口越扁狹.2.拋物線x2＝2py(p>0)有幾條對(duì)稱軸？是否是中心對(duì)稱圖形？〖提示〗有一條對(duì)稱軸，即y軸.不是中心對(duì)稱圖形.題型一拋物線的幾何性質(zhì)〖例1〗已知雙曲線方程是eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1，求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程.解因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8eq\r(2)x，其準(zhǔn)線方程為x＝－2eq\r(2).規(guī)律方法(1)注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱.(2)解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過定義的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過程.〖訓(xùn)練1〗已知拋物線的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，－2).求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程.解當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx(m≠0).將點(diǎn)M(1，－2)代入，得m＝4.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝ny(n≠0).將點(diǎn)M(1，－2)代入，得n＝－eq\f(1,2).∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(1,2)y.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y.準(zhǔn)線方程分別為x＝－1或y＝eq\f(1,8).題型二拋物線性質(zhì)的應(yīng)用〖例2〗(1)已知正三角形AOB的一個(gè)頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個(gè)三角形的邊長.解如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因?yàn)閤1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq\f(\r(3),3)x1，與yeq\o\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2eq\r(3)p.所以|AB|＝2y1＝4eq\r(3)p，即這個(gè)三角形的邊長為4eq\r(3)p.(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求直線AB的方程.解如圖，設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，由題意可知點(diǎn)B(x0，－y0)，∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即eq\f(y0,x0－\f(p,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1.∴yeq\o\al(2,0)＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))，又∵yeq\o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq\f(p,2)＝eq\f(5p,2).∴直線AB的方程為x＝eq\f(5p,2).規(guī)律方法利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問題.〖訓(xùn)練2〗(1)(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點(diǎn)A(0，2)，使得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，則p的值可以為()A.2 B.4C.6 D.8(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________.〖解析〗(1)由題意可得，以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由拋物線定義知|MF|＝x＋eq\f(p,2)＝5，可得x＝5－eq\f(p,2).因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為eq\f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,2)，由已知可知圓半徑也為eq\f(5,2)，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)A(0，2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故選AD.(2)由拋物線方程可知F(1，0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.如圖，設(shè)A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq\r(3)(x0－1)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，eq\r(3)(x0－1))，將此代入拋物線方程可得3xeq\o\al(2,0)－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝eq\f(1,3)(舍)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2eq\r(3))，故S△AKF＝eq\f(1,2)×(3＋1)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).〖答案〗(1)AD(2)4eq\r(3)一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2eq\r(3) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),4)〖解析〗橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,1)＝1，則其一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以eq\f(p,2)＝eq\f(\r(3),2)，p＝eq\r(3)，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\r(3).〖答案〗B2.(多選題)以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程可以為()A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝4y〖解析〗設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依題意將x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.〖答案〗AB3.(多選題)若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為()A.eq\b