人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：微專題4 圓錐曲線的離心率學(xué)案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE3微專題4圓錐曲線的離心率橢圓和雙曲線的離心率是最重要的幾何性質(zhì)之一，離心率的考查是高考的一個熱點，下面就離心率的求法做一個簡單的總結(jié)．一、定義法例1(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，M為直線y＝2b上的一點，△F1MF2是等邊三角形，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(7),14)B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(2\r(7),7)D.eq\f(3\r(7),14)〖答案〗C〖解析〗因為△F1MF2是等邊三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即eq\r(4b2＋c2)＝2c，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4,7)，故e＝eq\f(2\r(7),7).(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為________．〖答案〗eq\f(5,3)〖解析〗不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(負值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).反思感悟根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關(guān)于a，c的等式，得到關(guān)于e的方程．二、幾何法例2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)PF1的中點為M，連接PF2.因為O為F1F2的中點，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線．所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________．〖答案〗eq\r(3)〖解析〗根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式兩邊同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).反思感悟涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得eq\f(c,a)的值．三、尋求齊次方程求離心率例3(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．〖答案〗eq\f(\r(5)－1,2)〖解析〗在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因為0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．〖答案〗2〖解析〗如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．反思感悟利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解．四、求離心率的取值范圍例4(1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點到其漸近線的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，其離心率e的取值范圍為()A．〖eq\r(3)，＋∞) B．〖eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)〗 D．(1，eq\r(5)〗〖答案〗D〖解析〗依題意，點(a，0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又∵e>1，∴1<e≤eq\r(5)，故選D.(2)已知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．〖答案〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))〖解析〗設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈〖0，a2〗，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).反思感悟求離心率范圍的常用思路(1)通過幾何方法如點的坐標、三角形中的不等關(guān)系等轉(zhuǎn)化為離心率的取值范圍．(2)通過代數(shù)方法如基本不等式、函數(shù)最值求得離心率的范圍．微專題4圓錐曲線的離心率橢圓和雙曲線的離心率是最重要的幾何性質(zhì)之一，離心率的考查是高考的一個熱點，下面就離心率的求法做一個簡單的總結(jié)．一、定義法例1(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，M為直線y＝2b上的一點，△F1MF2是等邊三角形，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(7),14)B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(2\r(7),7)D.eq\f(3\r(7),14)〖答案〗C〖解析〗因為△F1MF2是等邊三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即eq\r(4b2＋c2)＝2c，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4,7)，故e＝eq\f(2\r(7),7).(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為________．〖答案〗eq\f(5,3)〖解析〗不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(負值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).反思感悟根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關(guān)于a，c的等式，得到關(guān)于e的方程．二、幾何法例2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)PF1的中點為M，連接PF2.因為O為F1F2的中點，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線．所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________．〖答案〗eq\r(3)〖解析〗根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最?。凇鱌F1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式兩邊同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).反思感悟涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得eq\f(c,a)的值．三、尋求齊次方程求離心率例3(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．〖答案〗eq\f(\r(5)－1,2)〖解析〗在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因為0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．〖答案〗2〖解析〗如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．反思感悟利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解．四、求離心率的取值范圍例4(1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點到其漸近線的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，其離心率e的取值范圍為()A．〖eq\r(3)，＋∞) B．〖eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)〗 D．(1，eq\r(5)〗〖答案〗D〖解