數(shù)列極限測試題及答案

數(shù)列極限測試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.下列數(shù)列中，收斂于0的是：

A.\(\frac{1}{n}\)

B.\(\frac{1}{n^2}\)

C.\(n\)

D.\(n^2\)

2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則下列結(jié)論正確的是：

A.\(\{a_n\}\)必定有界

B.\(\{a_n\}\)必定單調(diào)

C.\(\{a_n\}\)的子數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n_k}\}\)也必定收斂

D.\(\{a_n\}\)的倒數(shù)\(\frac{1}{a_n}\)必定收斂

3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)均收斂于\(A\)，則下列結(jié)論正確的是：

A.\(\{a_n+b_n\}\)必定收斂于\(2A\)

B.\(\{a_n\cdotb_n\}\)必定收斂于\(A^2\)

C.\(\{a_n-b_n\}\)必定收斂于\(0\)

D.\(\{a_n/b_n\}\)必定收斂

4.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=n^2-n\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

5.設(shè)\(\{a_n\}\)是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，若\(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)，則：

A.\(L\)必定是\(\{a_n\}\)的最大值

B.\(L\)必定是\(\{a_n\}\)的最小值

C.\(L\)必定是\(\{a_n\}\)的唯一值

D.\(L\)必定是\(\{a_n\}\)的極限

6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n+1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

7.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=(-1)^n\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=-1\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

8.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\sqrt{n}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

9.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{1}{n}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

10.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n^2+1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

11.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

12.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

13.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n^2+1}{n^2-1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=-1\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

14.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

15.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n^2}{n^3+1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

16.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n^2-1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

17.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

18.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n^2+1}{n^2-1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=-1\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

19.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

20.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n^2}{n^3+1}\)，則：

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)發(fā)散

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，則其任意子數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n_k}\}\)也收斂于\(A\)。（）

2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，則\(\{a_n\}\)必定有界。（）

3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)均收斂于\(A\)，則\(\{a_n+b_n\}\)必定收斂于\(2A\)。（）

4.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，則\(\{a_n\cdotb_n\}\)必定收斂于\(A^2\)。（）

5.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是單調(diào)遞增的，則\(\{a_n\}\)必定收斂。（）

6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是單調(diào)遞減的，則\(\{a_n\}\)必定收斂。（）

7.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n+1}\)，則\(\{a_n\}\)收斂于\(1\)。（）

8.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=(-1)^n\)，則\(\{a_n\}\)發(fā)散。（）

9.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\sqrt{n}\)，則\(\{a_n\}\)發(fā)散。（）

10.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\)，則\(\{a_n\}\)收斂于\(0\)。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述數(shù)列極限存在的必要條件。

2.舉例說明數(shù)列極限存在的充分條件。

3.如何判斷一個數(shù)列是否收斂？

4.簡述夾逼準(zhǔn)則的原理及其應(yīng)用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的關(guān)系，并舉例說明。

2.論述數(shù)列極限的性質(zhì)，包括數(shù)列極限的線性性質(zhì)、有界性、單調(diào)性等，并給出相應(yīng)的證明。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A,B

2.A,C

3.A,B,C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

9.B

10.A

11.A

12.A

13.A

14.A

15.A

16.A

17.A

18.A

19.A

20.A

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

6.×

7.×

8.√

9.√

10.√

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.數(shù)列極限存在的必要條件是：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，則\(\{a_n\}\)必定有界，并且\(\{a_n\}\)的任意子數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n_k}\}\)也收斂于\(A\)。

2.舉例說明數(shù)列極限存在的充分條件：例如，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}=\frac{1}{n}\)的通項(xiàng)公式滿足\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，因此數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(0\)。

3.判斷一個數(shù)列是否收斂的方法：檢查數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式是否滿足極限的定義，即對于任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)，存在一個正整數(shù)\(N\)，使得當(dāng)\(n>N\)時，\(|a_n-L|<\epsilon\)成立，其中\(zhòng)(L\)是數(shù)列的極限。

4.夾逼準(zhǔn)則的原理及其應(yīng)用：夾逼準(zhǔn)則指出，若存在兩個數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，滿足\(a_n\leqc\leqb_n\)對于所有的\(n\)都成立，且\(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=L\)，則\(\lim_{n\to\infty}c=L\)。應(yīng)用示例：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}=\frac{1}{n}\)和\(\{b_n\}=\frac{1}{n^2}\)，它們都收斂于\(0\)，因此\(\{c_n\}=\frac{1}{n}\)也收斂于\(0\)。