第04講 乘法原理與加法原理-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（滬教版）

PAGE1第04講乘法原理與加法原理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。靈活應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決數(shù)學(xué)與生活中的計(jì)數(shù)問題。理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系。掌握分類與分步的計(jì)數(shù)原則及分類標(biāo)準(zhǔn)常見誤區(qū)：“分類”與“分步”不清，導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯誤1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題．知識點(diǎn)01分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法【即學(xué)即練1】（高二下·上海長寧·期末）4個(gè)不同的紅球和6個(gè)不同的白球放入同一個(gè)袋中，現(xiàn)從中取出4個(gè)球．（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少不同的取法？（2）取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，若取出4個(gè)球所得總分不少于5分，則有多少種不同取法．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，然后利用分類計(jì)數(shù)原理可得出答案；（2）若取出的球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況，然后利用分類計(jì)數(shù)原理可得出答案.【詳解】（1）若取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法.因此，共有種不同的取法；（2）若取出的個(gè)球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況.其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法，紅白有種不同的取法.因此，共有種不同的取法.【點(diǎn)睛】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用，在解題時(shí)要熟練利用分類討論思想，遵循不重不漏的原則，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.知識點(diǎn)02分布乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法【即學(xué)即練2】（23-24高二下·上?！て谀┱归_式共有項(xiàng).【答案】【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】展開式的每一項(xiàng)可分三步得到，第一步：從第一個(gè)括號中任取一個(gè)字母（連同前面的符號）有2種取法，第二步：從第二個(gè)括號中任取一個(gè)字母（連同前面的符號）有2種取法，第三步：從第三個(gè)括號中任取一個(gè)字母（連同前面的符號）有3種取法，所以展開后一共有項(xiàng)；故答案為：知識點(diǎn)03兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事【即學(xué)即練3】（23-24高二下·上海虹口·期末）設(shè)實(shí)數(shù)和均是集合中的兩個(gè)不同的元素，則方程所表示的不同直線的條數(shù)為.【答案】【分析】用分步乘法計(jì)數(shù)原理先列出a的情況，再列出b的情況，再相乘即可，注意考慮表示同一直線的情況.【詳解】第一步，給a賦值有4種選擇，第二步，給b賦值有3種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：(種).其中沒有表示同一直線的情況，所以形成不同的直線的條數(shù)為.故答案為：題型一：分布乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用1.（2020高三·上?！ｎ}練習(xí)）從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有，4，、被3除余2的有，5，，被3整除的有，6，9，，分組以后，分類討論得到不能被3整除的數(shù)字個(gè)數(shù)．【詳解】解：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除．所有的三位數(shù)有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有，4，、被3除余2的有，5，，被3整除的有，6，9，，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有個(gè)；②若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，共有個(gè)；③若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有個(gè)，這樣能被3整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被3整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以借助于組合數(shù)列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體，主要考查的是被三整除的數(shù)字特點(diǎn)．2．（高二下·上海虹口·階段練習(xí)）高三年級有8個(gè)班級，分派4位數(shù)學(xué)老師任教，每個(gè)教師教兩個(gè)班，則不同的分派方法有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，依次分析位老師的任教分配的方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，對于位老師按先后分步進(jìn)行討論:第一位老師，從個(gè)班級中任選個(gè)，安排其任教,有種分派方法；第二位老師，從剩下的個(gè)班級中任選個(gè)，安排其任教，有種分派方法；第三位老師，從剩下的個(gè)班級中任選個(gè)，安排其任教，有種分派方法；第四位老師，還剩個(gè)班級,安排其任教，有種分派方法；故不同的分派方法有種；故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析問題解決問題能力，是基礎(chǔ)題.3．（高一上·上海閔行·階段練習(xí)）如果不等式組的整數(shù)解有（）個(gè)，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)、的有序數(shù)對共有（

）個(gè)A．17個(gè) B．64個(gè) C．81個(gè) D．72個(gè)【答案】D【分析】先解不等式組求得的取值范圍，根據(jù)整數(shù)解的情況，確定有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù).【詳解】由得，不妨設(shè)，故可取共種可能，可取共種可能，可以滿足整數(shù)解有個(gè)，為.所以有序數(shù)對共有個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元一次不等式組的解法，考查分步計(jì)數(shù)原理，考查整數(shù)的性質(zhì)，考查分析與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.4.（25-26高三上·上?！卧獪y試）停車場劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放．要求空車位置連在一起，不同的停車方法有種．【答案】362880【分析】先排好8輛車有種方法，將空車位看成一個(gè)元素插入可得結(jié)論.【詳解】先排好8輛車有種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個(gè)空檔中任選一個(gè)，將空車位置插入有種方法，所以共有種方法．故答案為：.5．（25-26高三上·上?！卧獪y試）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則不同投法有種．【答案】64【分析】根據(jù)分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】每封信都有4種不同的投法，依據(jù)分步乘法原理，因此共有種不同的結(jié)果．故答案為：64．6．（25-26高三上·上?！卧獪y試）將4封信投入3個(gè)信箱中，共有種不同的投法．【答案】81【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的投法．故答案為：81.7．（24-25高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）正整數(shù)1224有個(gè)不同的正約數(shù).【答案】【分析】將分解成若干個(gè)素?cái)?shù)的積，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以正整?shù)1224的正約數(shù)個(gè)數(shù)為.故答案為：.8．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）若，則方程表示的不同雙曲線共有個(gè)．【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】依題意有種不同的取法，也有種不同的取法，所以方程表示的不同雙曲線共有.故答案為：9．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）某小組共有4名男生，和3名女生.若選一名男生和一名女生分別擔(dān)任組長和干事，共有種不同的結(jié)果.【答案】24【分析】根據(jù)題意結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理分析求解.【詳解】因?yàn)?名男生選一名男生共有4種不同的結(jié)果；3名女生選一名女生共有3種不同的結(jié)果；一名男生和一名女生分別擔(dān)任組長和干事共有2種不同的方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：共有種不同的結(jié)果.故答案為：24.10．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為.【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】每位學(xué)生可以有種參加重點(diǎn)院校的自主招生考試，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的考試方法種數(shù)為種.故答案為：.題型二：判斷事件計(jì)數(shù)的原理1.（21-22高二下·上海閔行·期末）現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．9【答案】A【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：.故選：A2.（21-22高二下·上海閔行·期中）某城市在中心廣場建造了一個(gè)花園，花園分為6個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有多少種？（

）A．72 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】根據(jù)4號區(qū)域和6號區(qū)域顏色是否相同進(jìn)行分類，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，即可求得結(jié)果.【詳解】按照區(qū)域序號1,2,3,4,6,5進(jìn)行栽種，若號區(qū)域和6號區(qū)域選擇同一種顏色的花：則共有：種；若4號區(qū)域和6號區(qū)域不選擇同一種顏色的花：則共有：種；只種植3種花的情況共有：.故共有種栽種方式.故選：C.3.（22-23高二上·上海楊浦·期末）有8種不同型號的手機(jī)供4位顧客選購，每人只購一臺，則共有種不同的選法.【答案】【分析】按分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由已知得，每位顧客都有8種選法，所以共有種方法，故答案為：題型三：分類加法計(jì)數(shù)原理1．（21-22高二下·上海浦東新·期末）若展開，則展開式中的系數(shù)等于（

）A．在1，2，3，4，5中所有任取兩個(gè)不同的數(shù)的乘積之和；B．在1，2，3，4，5中所有任取三個(gè)不同的數(shù)的乘積之和；C．在1，2，3，4，5中所有任取兩個(gè)不同的數(shù)的求和之積；D．在1，2，3，4，5中所有任取三個(gè)不同的數(shù)的求和之積；【答案】A【分析】根據(jù)乘法的分配律可知：即為五個(gè)一次式中有三個(gè)一次式取，另外兩個(gè)一次式取常數(shù)（即為1，2，3，4，5取兩個(gè)數(shù)），再相乘，對所有結(jié)果合并同類型．【詳解】根據(jù)乘法的分配律可知：本題五個(gè)一次式中每個(gè)一次式取一項(xiàng)相乘，再合并同類項(xiàng)即為五個(gè)一次式中有三個(gè)一次式取，另外兩個(gè)一次式取常數(shù)（即為1，2，3，4，5取兩個(gè)數(shù)），再相乘，對所有結(jié)果合并同類型∴的系數(shù)等于在1，2，3，4，5中所有任取兩個(gè)不同的數(shù)的乘積之和故選：A．2.（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)為正四面體棱上的點(diǎn)，由點(diǎn)到四個(gè)面中心的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)有個(gè)．【答案】10【分析】結(jié)合正四面體的特點(diǎn)分類計(jì)數(shù)即可.【詳解】解：當(dāng)與正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到四個(gè)面中心的距離有兩個(gè)值；當(dāng)與正四面體的6條棱的中點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到四個(gè)面中心的距離有兩個(gè)值；所以符合條件的點(diǎn)共有10個(gè).故答案為：103．（23-24高二上·上海普陀·階段練習(xí)）已知是邊長為1的正方形，在空間中取4個(gè)不同的點(diǎn)，使得它們與恰好成為一個(gè)側(cè)棱長為1的正四棱柱的8個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法數(shù)為．【答案】4【分析】根據(jù)題意，按正方形在棱柱中的位置分2種情況討論，分析正四棱柱的數(shù)目，相加可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①正方形作為對角面時(shí)，有2個(gè)，②正方形作為正四棱柱的底面或側(cè)面，有2個(gè)，共有種取法．故答案為：4.4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有．【答案】28種【分析】根據(jù)新定義，分析取不同的值時(shí)，取值的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】當(dāng)a為0時(shí)，b只能取0，1兩個(gè)數(shù)；當(dāng)a為9時(shí)，b只能取8，9兩個(gè)數(shù)；當(dāng)a為其它數(shù)時(shí)，b都可以取三個(gè)數(shù)，例如時(shí)，可取.綜上，一共有種情形.故答案為：28種5．（21-22高二下·上海閔行·期中）近期，上海加大疫情的防控力度，上海疫情隔離點(diǎn)逐漸增多，如圖所示，、、、為上海某地四個(gè)隔離點(diǎn)，為了方便食物供應(yīng)，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)隔離點(diǎn)連接起來，則不同的建橋方法有種．【答案】【分析】分兩種情況討論：第一類，從一個(gè)隔離點(diǎn)出發(fā)向其他三個(gè)隔離點(diǎn)各建一座橋；第二類，一個(gè)隔離點(diǎn)最多建兩座橋.分別計(jì)算出兩種方案下建橋的方法種數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一類，從一個(gè)隔離點(diǎn)出發(fā)向其他三個(gè)隔離點(diǎn)各建一座橋，共有種方法；第二類，一個(gè)隔離點(diǎn)最多建兩座橋，建法為，將隔離點(diǎn)名稱、、、分別填入四個(gè)中，則分成四個(gè)步驟，第一步，先填第一個(gè)，有種方法，再依次填第二、三、四個(gè)，分別有、、種方法，注意到和兩種是同一種建橋方法，則第二類建橋方法共有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，建橋方法種數(shù)為種.故答案為：.6．（21-22高二下·上海閔行·期中）甲盒子中有3個(gè)不同的紅球，乙盒子中有7個(gè)不同的白球，某同學(xué)要在甲盒或乙盒中摸一個(gè)球，則不同的方法有．【答案】【分析】某同學(xué)要在甲盒或乙盒中摸一個(gè)球,情況1：在甲盒中摸，有3個(gè)不同的紅球，所以有3種不同的方法；情況2：在乙盒中摸，有7個(gè)不同的白球，所以有7種不同的方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可求得所有不同的方法.【詳解】由題意得，在甲盒摸球時(shí)有種不同的方法，在乙盒中摸球時(shí)有種不同的方法；某同學(xué)要在甲盒或乙盒中摸一個(gè)球，則不同的方法共有種.故答案為：.7．（20-21高二下·上海楊浦·期中）學(xué)校組織春游活動，每個(gè)學(xué)生可以選擇去四個(gè)地方：崇明?朱家角?南匯和嘉定，有四位同學(xué)恰好分別來自這四個(gè)地方，若他們不去家鄉(xiāng)，且分別去了不同地方，則四位同學(xué)去向的所有可能結(jié)果數(shù)為.【答案】9【分析】記四位同學(xué)為甲，乙，丙，丁且家鄉(xiāng)表示為，分別考慮甲去的情況，采用分類加法計(jì)數(shù)原理求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的家鄉(xiāng)分別表示為，當(dāng)甲去時(shí)，可能的情況有：，，；當(dāng)甲去時(shí)，可能的情況有：，，；當(dāng)甲去時(shí)，可能的情況有：，，；所以四位同學(xué)的去向一共有種，故答案為：.8．（2021·上海黃浦·三模）一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位?十位?百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如341)，則從集合中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成的“凸數(shù)”個(gè)數(shù)為.【答案】【分析】首先分析只能去3,4,5，然后分類討論滿足題意的凸數(shù)個(gè)數(shù)，最后相加即可.【詳解】由題意可得只能去3,4,5，當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有132,231共2個(gè)；當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有142,241,143,341,243,342共6個(gè)；當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12個(gè)；綜上，共有20個(gè)凸數(shù).故答案為：20【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法技術(shù)原理，在求解過程中要明確分類標(biāo)準(zhǔn)，在每一類里面的計(jì)算要注意不重不漏.9．（20-21高二下·上海寶山·期中）已知在矩形中，，，若將邊72等分，過每個(gè)等分點(diǎn)分別作的平行線，若將邊56等分，過每個(gè)等分點(diǎn)分別作的平行線，則這些平行線把整個(gè)矩形分成了邊長為1的個(gè)小正方形，于是，被對角線從內(nèi)部穿過的小正方形（小正方形內(nèi)部至少有上的點(diǎn)）共有個(gè)．【答案】120【分析】將穿過正方形數(shù)量的計(jì)算轉(zhuǎn)化為穿過直線的計(jì)算，非交點(diǎn)情況下，對角線每生成一個(gè)交點(diǎn)，就相當(dāng)于穿過一個(gè)平面，然后對角線穿過交點(diǎn)時(shí)，不是穿過兩個(gè)平面而是一個(gè)平面，再減去交點(diǎn)情況求解.【詳解】將穿過正方形數(shù)量的計(jì)算轉(zhuǎn)化為穿過直線的計(jì)算，非交點(diǎn)情況下，對角線每生成一個(gè)交點(diǎn)，就相當(dāng)于穿過一個(gè)平面，在橫向上，穿過72個(gè)平面，在縱向上，穿過56個(gè)平面，然后對角線穿過交點(diǎn)時(shí)，不是穿過兩個(gè)平面而是一個(gè)平面，再減去交點(diǎn)情況，即72+56-8=120.故答案為：12010.（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知正整數(shù)，滿足，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則符合條件的共有對.【答案】【分析】根據(jù)題意，將方程化簡可得，從而可得，然后分類討論相加，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，同理可得，又，所以，所以，，其中，從而，?①若，取，則即為方程的解，此時(shí)共有種；②若，設(shè)取，則即為方程的解，此時(shí)共有種；③若模余，則，從而，由①②可知此時(shí)共有種；④若模余，則，從而，模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以，故此時(shí)共有種；綜上所述符合條件的共有對.故答案為：一、單選題1．（22-23高二下·上海普陀·期中）將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】將5封信投入3個(gè)郵筒，每封信有3種選擇，故共有種不同的投法.故選：B.2．（23-24高二下·上海寶山·階段練習(xí)）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)椋瑒t函數(shù)為“增函數(shù)”的有（

）種．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)條件通過列舉法可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，值域?yàn)?，所以要滿足“增函數(shù)”的定義，一定是；元素2,3,4的取值情況有如下幾種：①三個(gè)元素均與7對應(yīng)，即，符合題意；②三個(gè)元素中有2個(gè)元素與7對應(yīng)，則有或，兩種情況；③三個(gè)元素中僅有一個(gè)元素與7對應(yīng)，則有或或，三種情況；綜上可得共有6種情況.故選：C.3．（2025·上?！つM預(yù)測）有一四邊形，對于其四邊，按順序分別拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去．最后，以A為起點(diǎn)沿著尚未擦去的邊出發(fā)，可以到達(dá)C點(diǎn)的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理及古典概型的概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，對于其四邊，按順序分別拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，共有種情況，要從A出發(fā)沿著尚未擦去的邊能到達(dá)點(diǎn)C，若保留兩條邊，則可保留也可擦去，共有種情況；若保留兩條邊，則可保留也可擦去，共有種情況（其中有一種情況與上面重復(fù)），則要從A出發(fā)沿著尚未擦去的邊能到達(dá)點(diǎn)C，共有種情況，所以可以到達(dá)C點(diǎn)的概率為.故選：B.4．（23-24高二下·上海閔行·期中）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“增函數(shù)”的有（

）種．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由題意，，再根據(jù)列舉法求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，值域?yàn)椋砸獫M足“增函數(shù)”的定義，一定是，；元素的取值情況有如下幾種：①三個(gè)元素均與7對應(yīng)，即，符合題意；②三個(gè)元素中有2個(gè)元素與7對應(yīng)，則有，或，，兩種情況；③三個(gè)元素中僅有一個(gè)元素與7對應(yīng)，則有，或，，或，，三種情況；綜上可得共有6種情況.故選：B二、填空題5．（22-23高二下·上海長寧·期中）同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣，恰有1枚反面朝上的概率為．【答案】/0.15625【分析】求出拋擲5枚均勻硬幣的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出恰有1枚反面朝上的事件所含基本事件數(shù)，利用古典概率計(jì)算作答.【詳解】拋擲5枚均勻的硬幣的試驗(yàn)，有個(gè)基本事件，它們等可能，恰有1枚反面朝上的事件含有的基本事件數(shù)為5，所以恰有1枚反面朝上的概率.故答案為：6．（20-21高二下·上海浦東新·期末）本次數(shù)學(xué)期末考試共三種題型：填空題、選擇題、解答題，其中填空題滿分54分，共有12道小題，前6題每小題4分，后6題每小題5分，每小題答對得滿分，答錯得零分，則學(xué)生解答填空題共有種不同的可能分值.【答案】43【分析】分類計(jì)數(shù)相加即可.【詳解】設(shè)4分題答對的個(gè)數(shù)為，答對5分題的個(gè)數(shù)為，則總的分，當(dāng)時(shí)，，共7個(gè)數(shù)值；當(dāng)時(shí)，分別可取7個(gè)不同的值，但，且故共有：種不同的結(jié)果.故答案為：43.7．（22-23高二下·上海長寧·期末）乘積的展開式中共有項(xiàng).【答案】24【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】由中取一項(xiàng)共3種不同取法，從中取一項(xiàng)有2種不同取法，從中取一項(xiàng)共4種不同取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，該展開式共3×2×4＝24(項(xiàng))故答案為：24．8．（23-24高二下·上?！て谥校┱麛?shù)24有個(gè)不同的正因數(shù)．【答案】【分析】首先將分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，第一步，可以取，，，共種，第二步，可以取，，共種，所以正整數(shù)的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：9．（23-24高二下·上?！て谥校?022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運(yùn)動的興趣.

若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有種【答案】64【分析】直接使用乘法原理即可得到答案.【詳解】由于一共有四項(xiàng)運(yùn)動，故甲、乙、丙各自有4種選擇，而他們的選擇互相之間沒有任何限制條件，所以總共的選法數(shù)是.故答案為：10．（24-25高二上·上?！て谀┯?名學(xué)生報(bào)名參加“行知杯”足球賽和“靈辰杯”籃球賽兩項(xiàng)比賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加人數(shù)不限，則不同的報(bào)名結(jié)果有種．【答案】81【分析】求出每名學(xué)生報(bào)名的種數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，每名學(xué)生報(bào)名的種數(shù)是3，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的報(bào)名結(jié)果有種.故答案為：8111．（22-23高二下·上海嘉定·期中）三層書架，分別放置科技書籍12本，經(jīng)濟(jì)類書籍14本，建筑類書籍11本，從中取2本書，且各類只能選1本，有種不同選法【答案】【分析】分為三類：科技書和經(jīng)濟(jì)書，科技書和建筑書，經(jīng)濟(jì)書和建筑書，計(jì)算得到答案.【詳解】分為三類：科技書和經(jīng)濟(jì)書，科技書和建筑書，經(jīng)濟(jì)書和建筑書.則共有.故答案為：12．（23-24高三上·上海松江·期末）有名同學(xué)報(bào)名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動，共服務(wù)兩天，每天需要兩人參加活動，則恰有人連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為．【答案】【分析】由分布乘法計(jì)數(shù)原理的知識結(jié)合古典概型的概率公式可解.【詳解】每天從5名同學(xué)中抽取2名參加志愿者活動，一共有種方式，恰有一人連續(xù)參加兩天志愿者活動有種方式，由古典概型的概率公式可得恰有1人連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為，故答案為：.13．（23-24高二下·上海·期中）已知全集，集合為的子集，則有序集合一共有組．【答案】16【分析】先求出全集的子集，再由分步乘法原理求出結(jié)果即可.【詳解】全集子集為，由分步乘法原理可得共有種，所以有序集合一共有16種，故答案為：16.14．（2023·上?！つM預(yù)測）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．【答案】9【分析】根據(jù)題意，先考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況，分類討論為正四棱錐的側(cè)面或?qū)敲鎯煞N情況，再結(jié)合三邊的輪換對稱性即可得解.【詳解】因?yàn)榭臻g中有三個(gè)點(diǎn)，且，不妨先考慮在一個(gè)正四棱錐中，哪三個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)考慮三邊的輪換對稱性，可先分為兩種大情況，即以下兩種：第一種：為正四棱錐的側(cè)面，如圖1，此時(shí)分別充當(dāng)為底面正方形的一邊時(shí)，對應(yīng)的情況數(shù)顯然是相同的;不妨以為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)如圖1所示，顯然有兩種情況，考慮到三邊的輪換對稱性，故而總情況有6種；

第二種：為正四棱錐的對角面，如圖2，此時(shí)分別充當(dāng)?shù)酌嬲叫蔚囊粚蔷€時(shí)，對應(yīng)的情況數(shù)顯然也是相同的;不好以為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)圖2所示，顯然只有一種情況，考慮到三邊的輪換對稱性，故而總情況有3種；綜上所述：總共有9種情況.故答案為：9.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是注意到為正三角形，從而考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況，結(jié)合三邊的輪換對稱性即可得解.15．（23-24高二上·上海松江·期末）設(shè)為的一個(gè)排列，滿足，則這樣的排列的個(gè)數(shù)為個(gè).【答案】6142【分析】根據(jù)條件分別對于與時(shí)得出排列個(gè)數(shù).【詳解】對于給定的，考慮使的滿足條件的排列個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，對有為的排列（若，則沒有這樣的i），且（若，則沒有這樣的j），因此，當(dāng)時(shí)，類似地有，因此，滿足條件的排列個(gè)數(shù)為故答案為：6142.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵針對與分別得出排列個(gè)數(shù).16．（22-23高二下·上海徐匯·期中）已知六個(gè)字母以隨機(jī)順序排成一行，若小明每次操作可以互換2個(gè)字母的位置，則小明必須進(jìn)行5次操作才能將六個(gè)字母排成的順序的排列情況有種．【答案】120【分析】利用條件，分析得到每個(gè)字母均不在自己位置，且交換過程中只存在一次，即最后一次交換使兩個(gè)字母同時(shí)歸位，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樾∶鞅仨毥?jīng)過5次操作才能將六個(gè)字母排成ABCDEF的順序，這里研究排序混亂到什么程度才需要“必須經(jīng)過5次操作”排成ABCDEF的順序，這里不妨記A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母對應(yīng)的位次分別為1，2，3，4，5，6，首先，考慮一種情況：假設(shè)字母“A”已經(jīng)排在自己的位置，即排在1號位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五個(gè)字母調(diào)換到自己的位置至少需要經(jīng)過4次操作，即第一次讓“B”歸位，第二次讓“C”歸位，第三次讓“D”歸位，第四次將“E”與“F”同時(shí)歸位，這樣僅需進(jìn)行4次操作，不滿足題意；若A，B，C，D，E，F(xiàn)均不在對應(yīng)的自己位置，但經(jīng)過一次交換后，可使得兩個(gè)字母同時(shí)歸位，此時(shí)也不能滿足“必須進(jìn)行5次操作”的情況，例如，，同時(shí)交換可使兩者同時(shí)歸位，此時(shí)只需交換四次即可，而，只需交換三次即可，不合要求，所以，要滿足“必須進(jìn)行5次操作”的情況，則每個(gè)字母均不在自己位置，且交換過程中只存在一次，即最后一次交換使兩個(gè)字母同時(shí)歸位，1號位可放中的一個(gè)，有5種選擇，不妨設(shè)放的為，則3號位不能放，可從剩余中選一個(gè)，有4種選擇，不妨設(shè)放的為，則5號位不能放，否則可先交換，再交換，交換過程中出現(xiàn)交換一次使兩個(gè)字母同時(shí)歸位的情況，故5號位可從種選擇一個(gè)，有3種選擇，不妨設(shè)放的為，字母可選擇號位或5號位，有2種選擇，剩余只有1種放法，才能滿足要求，綜上，總的排序方法有種.故答案為：120【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于，分析出要滿足“必須進(jìn)行5次操作”的情況，則每個(gè)字母均不在自己位置，且交換過程中只存在一次，即最后一次交換使兩個(gè)字母同時(shí)歸位.三、解答題17．（高二下·上海奉賢·期中）現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級13人，高二年級12人,高三年級9人.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)每個(gè)年級選一名組長，有多少種不同的選法？(3)選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？【答案】（1）34；（2）1404；（3）381.【分析】（1）用分類計(jì)數(shù)原理，分3種情況討論，①選出的是高一學(xué)生，②選出的是高二學(xué)生，③選出的是高三學(xué)生，由各年級的人數(shù)易得各種情況的選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理，相加可得答案；（2）用分步計(jì)數(shù)原理，分3步進(jìn)行，先從高一學(xué)生中選出1人，再從高二學(xué)生中選出1人，最后從高三學(xué)生中選出1人，根據(jù)各年級的人數(shù)易得每一步的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，相乘可得答案；（3）用分類計(jì)數(shù)原理，分3種情況討論，①若選出的是高一、高二學(xué)生，②若選出的是高一、高三學(xué)生，③若選出的是高二、高三學(xué)生，先計(jì)算各種情況的選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理，相加可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人，有3種情況，若選出的是高一學(xué)生，有13種情況，若選出的是高二學(xué)生，有12種情況，若選出的是高三學(xué)生，有9種情況，由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+13+9＝34種選法．（2）根據(jù)題意，從高一學(xué)生中選出1人，有13種情況；從高二學(xué)生中選出1人，有12種情況；從高三學(xué)生中選出1人，有9種情況；由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有12×13×9＝1404種選法．（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：若選出的是高一、高二學(xué)生，有12×13＝156種情況，若選出的是高一、高三學(xué)生，有13×9＝117種情況，若選出的是高二、高三學(xué)生，有12×9＝108種情況，由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有156+117+108＝381種選法．【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵要合理的對事件分類或分步．18．（24-25高二上·上?！て谀┠硨W(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：①每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；②每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技(1)若學(xué)生甲僅在周一和周二參加了課后服務(wù)課程，寫出實(shí)驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)若學(xué)生乙一周內(nèi)有三天參加了課后服務(wù)課程，共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則共有多少種不同的選擇方案?并求這些方案中事件：“周一選擇閱讀”發(fā)生的概率．【答案】(1)答案見解析；(2)14，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出樣本空間.（2）利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解，進(jìn)而求出事件發(fā)生的概率.【詳解】（1）(音樂,口語),(音樂,閱讀)，(音樂,編程)，(音樂,美術(shù)),(閱讀,口語),(閱讀,編程)，(閱讀,美術(shù))，(體育,口語),(體育,閱讀)，(體育,編程)，(體育,美術(shù)),(編程,口語),(編程,閱讀)，(編程樂,美術(shù)).（2）依題意，周一、二、三、四均可選閱讀，體育在周一、三、四，編程在周一、二、四，①若周一選編程，則體育在周三或周四，有2種，閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有4種方案；②若周二選編程，則體育在周一，周三或周四，有3種，閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有6種方案；③若周四選編程，則體育在周一或周三，有2種，閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有4種方案，所以不同選擇方案共有（種），事件含有的樣本點(diǎn)：(周一閱讀,周二編程,周三體育),(周一閱讀,周二編程,周四體育),(周一閱讀,周二體育,周四編程)，事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，事件發(fā)生的概率.19．（25-26高三上·上?！卧獪y試）若集合、滿足，則稱為集合的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為集合的同一種分拆，求集合的不同分拆種數(shù).【答案】27【分析】根據(jù)拆分的定義，對分以下幾種情況討論：，，,，,,．【詳解】，對分以下幾種情況討論：若，必有,,，共1種拆分；若，則,或,,，共2種拆分；同理，時(shí)，各有2種拆分；若,，則、,、,或,,，共4種拆分；同理,、,時(shí)，各有4種拆分；若,,，則、、、、,、,、,，,,．共8種拆分；共有種不同的拆分．20．（24-25高二上·上海松江·階段練習(xí)）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65