2024-2025學年北京二中朝陽學校高二（下）第一次段考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京二中朝陽學校高二（下）第一次段考數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=ln(2x)的導數(shù)為(

)A.12x B.1ln2x C.1x2.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有(

)A.60個 B.106個 C.156個 D.216個3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，其導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.2是f(x)的極大值點

B.f(x)在(0,f(0))處的切線斜率大于0

C.f(3)<f(4)

D.f(x)在(?3,5)上一定存在最小值4.在(x?1x2)A.15 B.?15 C.30 D.?305.已知函數(shù)f(x)=3x2?cosx，則A.f(?3)<f(e)<f(π) B.f(π)<f(e)<f(?3)

C.f(π)<f(?3)<f(e) D.f(e)<f(?3)<f(π)6.如果f(x)=ax?ex在區(qū)間(?1,0)上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(?∞,1e]∪[1,+∞) B.[1e,1]7.已知函數(shù)f(x)=x+1ex.若過點P(?1,m)可以作曲線y=f(x)三條切線，則mA.(0,4e) B.(0,8e)8.北京地鐵12號線是一條主要沿北三環(huán)東西向敷設(shè)的軌道交通干線，全長約30公里，設(shè)21座車站，跨越海淀、西城、東城、朝陽四個行政區(qū)，預(yù)計2024年7月1日正式開通，它的開通將填補東壩地區(qū)軌道交通的空白．

作為“地下北三環(huán)”，12號線開通后還能有效緩解英才高二年級許老師和鄭老師的上下班通勤壓力.若許老師和鄭老師同時從東壩西站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過18站，地鐵票價如表，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論中不正確的是(

)乘坐站數(shù)0<x≤33<x≤77<x≤1515<x≤18票價/元3456A.若許老師、鄭老師兩人共花費7元，則許老師、鄭老師下地鐵的不同方案共有24種

B.若許老師、鄭老師兩人共花費10元，則許老師、鄭老師下地鐵的不同方案共有88種

C.若許老師、鄭老師兩人共花費9元，則鄭老師比許老師先下地鐵的概率為13

D.若許老師、鄭老師兩人共花費9元，則鄭老師比許老師先下地鐵的概率為9.已知函數(shù)f(x)=exx?ax，x∈(0,+∞)，當x2>x1A.(?∞,e2] B.(?∞,e) C.(?∞,10.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若對于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“Ω集合”.給出下列A.②③ B.①④⑤ C.③⑤ D.①②④二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知函數(shù)f(x)=xx2+1+112.將2名男生和1名女生隨機排成一排，則2名男生相鄰的概率為______．13.若Cn2=Cn3，則An14.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+lnx，若x=x0時，f(x)取到極小值，則15.一個圓桌有八個座位，編號為1至8.現(xiàn)有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數(shù)位.家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.16.已知函數(shù)f(x)=ax2?2x,x<1,axex,x≥1(a∈R).給出下列四個結(jié)論：

①存在實數(shù)a，使得f(x)有最大值；

②對任意實數(shù)a，使得f(x)存在至少兩個零點；

③若a<0，則存在x0∈(1,+∞)，使得f(x三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?ax2+(2a?1)x+1．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(18.(本小題14分)

在(2x2+1x)6的展開式中．

(Ⅰ)求第4項的二項式系數(shù)；

(Ⅱ)求x319.(本小題14分)

某小組共有6名學生，其中女生2名，男生4名．

(Ⅰ)將6名學生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？

(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動．

(i)共有多少種不同的選擇方法？

(ii)如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？20.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?aex，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線斜率為1?e．

(1)求a的值；

(2)求證：f(x)有且只有一個極值點；

(3)求證：方程21.(本小題14分)

設(shè)數(shù)列{dn}(n∈N+)，dn為1，2，3，…，n的滿足下列性質(zhì)T的排列a1，a2，…an的個數(shù)，性質(zhì)T：排列a1，a2，…an中僅存在一個i，i∈{1,2,…,n?1}，使得ai>ai+1．

(1)求參考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.C

9.A

10.C

11.(?1,1)

12.2313.20

14.2

15.24

16.①④

17.解：(Ⅰ)定義域為R，

令f′(x)=x2?2ax+(2a?1)=[x?(2a?1)](x?1)=0得x=1或2a?1，

①當a=1時，f′(x)=(x?1)2≥0，f(x)為增函數(shù)；

②當a<1時，f′(x)<0?2a?1<x<1，f′(x)>0?x<2a?1或x>1，

此時f(x)的遞增區(qū)間為(?∞,2a?1)和(1,+∞)，遞減區(qū)間為(2a?1,1)；

③當a>1時，f′(x)<0?1<x<2a?1，f′(x)>0?x>2a?1或x<1，

此時f(x)的遞增區(qū)間為(2a?1,+∞)和(?∞,1)，遞減區(qū)間為(1,2a?1)；

綜上可知：當a=1時，f(x)為增函數(shù)；

當a<1時，f(x)的遞增區(qū)間為(?∞,2a?1)和(1,+∞)，遞減區(qū)間為(2a?1,1)；

當a>1時，f(x)的遞增區(qū)間為(2a?1,+∞)和(?∞,1)，遞減區(qū)間為(1,2a?1)；

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)可知，a=?1時，f(x)=13x3+x2?3x+1

f(x)的遞增區(qū)間為(?∞,?3)18.解：(?)先求出通項Tr+1=C6r(2x2)6?r(1x)r=C6r26?rx12?3r，

所以第4項的二項式系數(shù)為C63=20．

(?II)由(Ⅰ19.解：(Ⅰ)將6名學生排成一排，且女生不相鄰的排法：A44A52=480種．

(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動，

(i)共有C63=20種不同的選擇方法，

20.(1)解：函數(shù)f(x)=lnx?aex，求導得f′(x)=1x?aex，

由曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線斜率為1?e，得f′(1)=1?ae=1?e，解得a=1，

所以a=1．

(2)證明：由(1)知，函數(shù)f(x)=lnx?ex的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1x?ex在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

而f′(12)=2?e12>0，f′(1)=1?e<0，則存在x0∈(12,1)，使得f′(x0)=0，

當x<x0時，f′(x)>0，當x>x0時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在(0,x0)上遞增，在(x