第十一章 圖形的運動（3類壓軸題專練）（解析版）

第十一章圖形的運動（3大題型）（45道壓軸題專練）壓軸題型一圖形的平移問題專訓(xùn)（15題）1．（2023春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將三角形向左平移個單位長度，得到三角形若四邊形的周長為個單位長度，則三角形的周長是（

）

A．個單位長度 B．個單位長度 C．個單位長度 D．個單位長度【答案】A【分析】由平移的性質(zhì)可知，將四邊形的周長轉(zhuǎn)化為個單位長度即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，，，個單位長度，∵四邊形的周長為個單位長度，即個單位長度，∴個單位長度，∴個單位長度，即三角形的周長是個單位長度．故選：A．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，掌握平移前后對應(yīng)線段的數(shù)量和位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南郴州·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，將三角形沿直線向右平移2個單位長度得到，連接．給出下列結(jié)論：①，；②；③；其中，結(jié)論正確的個數(shù)為（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用平移的性質(zhì)依次判斷可求解．【詳解】解：∵將沿直線向右平移2個單位得到，∴，∴，故①和②正確；∵四邊形的周長，∴四邊形的周長，故③正確；∵，∴，故④正確，故選：D．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，是等邊三角形，點在直線上，邊在直線上，把沿方向平移長度的一半得到；持續(xù)以上的平移得到圖，再持續(xù)以上的平移得到圖，，則第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別求出第一個、第二個、第三個圖形中等邊三角形的個數(shù)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)、等邊三角形的概念可知：第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為個，第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為個，第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為個，則第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為個，故選：A．【點睛】本題考查的是平移的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，根據(jù)平移的性質(zhì)總結(jié)出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵4．（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖（1），將一副直角三角板兩斜邊擺放在同一直線上，且點，重合，固定含角的三角板，將含角的三角板從圖（）的位置，沿射線平移至圖（）的位置，則平移過程中，根據(jù)兩個三角板的擺放位置，下列鈍角：，，，，，，，沿三角板的邊緣能直接畫出的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)題意以及三角板中角度的計算即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，分別為的補角，可以直接畫出，如圖2，，

綜上所述，沿三角板的邊緣能直接畫出的有，，，，共4個，故選：D．【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，平移的性質(zhì)，鄰補角的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將直角沿斜邊的方向平移到的位置，交于點G，，，的面積為4，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．平移的距離是4C． D．四邊形的面積為16【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別對各個小題進(jìn)行判斷：①利用平移前后對應(yīng)線段是平行的即可得出結(jié)果；②平移距離指的是對應(yīng)點之間的線段的長度；③根據(jù)平移前后對應(yīng)線段相等即可得出結(jié)果；④利用梯形的面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：A．∵直角三角形沿斜邊的方向平移到三角形的位置，∴，，∴，∴，故A正確，不符合題意；B．平移距離應(yīng)該是的長度，由，可知，故B錯誤，符合題意；C．由平移前后的對應(yīng)點的連線平行且相等可知，，故C正確，不符合題意；D．∵的面積是4，，∴，∵由平移知：，∴，四邊形的面積：，故D正確，不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查的是平移的性質(zhì)，正確的掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一建筑物樓梯樣式如圖所示，經(jīng)測量得出，，，試著計算出折線（即樓梯表面）的長度為．

【答案】【分析】樓梯長度的和等于樓梯的水平寬度與垂直高度的和．【詳解】解：如下圖，過點，，作，，交于點，，，過點，，作，，交于點，，，

由圖可知：，，，，，，，，折線，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平移的知識，與實際生活相聯(lián)系，熟練掌握平移的知識并靈活運用是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，則陰影部分的面積為cm2．

【答案】42【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得，則，由于，所以，然后根據(jù)梯形的面積公式計算．【詳解】解：直角梯形沿方向平移到梯形，，，，．故答案為：42．【點睛】本題考查了直角梯形，平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．8．（2023春·浙江嘉興·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在三角形中，點，分別在邊，上，將三角形沿折疊，使點落在點處，將線段沿著向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連接．若，則陰影部分的周長為．

【答案】【分析】由折疊性質(zhì)得，由平移的性質(zhì)可得，，，再由，可得四邊形的周長為：．【詳解】∵沿折疊點落在點處，∴，∵沿向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，∴，∵，∴，，∴陰影部分的周長為：，故答案為：．【點睛】此題考查了翻折和平移變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)折疊和平移的性質(zhì)得到對應(yīng)的線段相等，從而求得陰影部分周長．9．（2023春·貴州銅仁·八年級?？计谥校┰谝痪匦位▓@里有兩條綠化帶．如圖所示的陰影部分，、、，、、、，且，這兩塊綠化帶的面積分別為和，則與的大小關(guān)系是．

【答案】【分析】設(shè)矩形花園的寬，根據(jù)題意可知，兩條綠化地的面積都相當(dāng)于長為，寬為的長方形的面積．【詳解】解：設(shè)矩形花園的寬，根據(jù)題意可知，兩條綠化地的面積都相當(dāng)于長為，寬為的長方形的面積，，故答案為：．【點睛】本題考查了生活中的平移，根據(jù)平移確定綠化帶的長和寬是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，，第一次平移長方形沿的方向向右平移6個單位長度，得到長方形，第2次平移長方形沿的方向向右平移6個單位長度，得到長方形，第n次平移長方形沿的方向向右平移6個單位長度，得到長方形，若ABn的長度為2023，則n的值為．【答案】336【分析】根據(jù)平移的規(guī)律，可得，進(jìn)而得出規(guī)律，即可求解．【詳解】解：∵，第一次平移長方形沿的方向向右平移6個單位，得到長方形，∴，∴，∵第2次平移將長方形沿的方向向右平移6個單位，得到長方形，∴，∴，……，∵第n次平移將長方形沿的方向向右平移6個單位，得到長方形，∴，∵的長度為2023，∴，∴．故答案為：336．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)及規(guī)律的探索，準(zhǔn)確理解題意并找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在方格紙內(nèi)將水平向右平移4個單位得到．利用網(wǎng)格點和直尺畫圖：

(1)補全；(2)畫出邊上的高線，圖中的面積是；(3)與面積相等，在圖中描出所有滿足條件且異于A點的格點E，并記為、、．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析，8(3)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)平移方式作圖即可；（2）根據(jù)三角形高的定義畫圖即可，再利用分割法求三角形面積即可；（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，過點A作的平行線，經(jīng)過的格點即為所求．【詳解】（1）解：如圖，把點A、B、C分別向右平移4個單位長度得到點、、，再把點連接得到即所求；

（2）解：延長，過點C作于點D，如圖，即為所求；

由圖可得，，故答案為：8；（3）解：如圖，格點、、即為所求；

【點睛】本題考查作圖?平移變化，熟知平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·湖南郴州·八年級校考開學(xué)考試）如圖，矩形中，，第1次平移將矩形沿的方向向右平移5個單位，得到矩形，第2次平移將矩形沿的方向向右平移5個單位，得到矩形，…，第次平移將矩形沿的方向平移5個單位，得到矩形．

(1)求和的長．(2)若的長為56，求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出的長度，然后根據(jù)圖形的位置關(guān)系求出和的長．（2）根據(jù)（1）中所求，得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而得出，根據(jù)的長度即可求出的值．【詳解】（1）解：∵，第1次平移將矩形沿的方向向右平移5個單位，得到矩形，第2次平移將矩形沿的方向向右平移5個單位，得到矩形，∴．∴．∴的長為；（2）解：∵，，∴，解得．【點睛】本題考查了平移的規(guī)律性，找到線段之間的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．13．（2023春·福建廈門·七年級廈門一中?？计谀┤鐖D1，已知中，，直線經(jīng)過點，將沿直線方向平移，平移后的圖形記為，則有且．

(1)當(dāng)時，若，請在圖2上畫出向右平移后的，并求線段的長度．(2)如圖3，當(dāng)與不平行時，連接，，分別在所在直線上點右側(cè)取一點，使得，連接，恰有，平分交于，恰有，①探究和的位置關(guān)系，并說明理由；②直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)3，圖見詳解；(2)①和是垂直的關(guān)系；②4；【詳解】（1）解：∵，若，∴，∴，，∴；

（2）解：①由平移的性質(zhì)可得，，，∴，∵，平分，∴，∴，∴，②由平移的性質(zhì)得，∵，，，，∴，，∴；【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)平移的性質(zhì)得到相關(guān)線段之間的關(guān)系．14．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，三角形的三個原點及點O都是格點，其中O點是坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，現(xiàn)將三角形沿的方向平移，得到對應(yīng)三角形．

(1)畫三角形，直接寫出點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．(2)連接，，已知三角形為等腰直角三角形，，點D為線段上動點，則的值是，的最小值是；(3)已知軸，三角形的面積和三角形的面積相等，直接寫出所有點M的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)，；(3)或【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找到平移規(guī)律，根據(jù)平移規(guī)律畫圖求解即可得到答案；（2）根據(jù)割補法求出面積利用三角形面積公式求解即可得到答案；（3）分類討論點所在位置，根據(jù)面積相等列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵，，∴向右平移6個單位，向上平移2個單位，如圖所示，

∴，；（2）解：如圖所示，，解得：，，解得：；

（3）解：設(shè)點，①當(dāng)M在之間時，由題意可得，，解得：，

②當(dāng)點在外時，由題意可得，，解得：，∴點M的坐標(biāo)為：或；

【點睛】本題考查平移，求格點三角形面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)割補法得到面積相等的等量關(guān)系式．15．（2023春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖1是由25個邊長為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格，三角形的端點都在小正方形的頂點，請按要求畫圖并解決問題：

(1)將三角形向上平移1個單位，向右平移2個單位，畫出三角形；(2)連接、，則與之間的數(shù)量關(guān)系為________；與之間的位置關(guān)系為________；(3)如圖2，將三角形沿方向平移若干距離得到三角形．若三角形和五邊形的周長分別是與，則三角形平移的距離為________．【答案】(1)見解析(2)，(3)2【分析】（1）分別作出三個頂點平移后的對應(yīng)點，再首尾順次連接即可得；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)：經(jīng)過平移,對應(yīng)線段,對應(yīng)角分別相等;對應(yīng)點所連的線段平行且相等即可作答；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)作答即可．【詳解】（1）解：如圖所示，三角形即為所求，

（2）解：如圖，

∵三角形向上平移個單位，向右平移個單位，得三角形，∴，，故答案為，；（3）解∶∵將三角形沿方向平移若干距離得到三角形，∴平移距離為的長，且，，，∵三角形和五邊形的周長分別是與，∴，，∴，∴平移距離為的長，故答案為：【點睛】本題考查的是作圖一平移變換，熟知圖形平移的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．壓軸題型二圖形的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)（15題）1．（2023春·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知中，，，將繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，以下結(jié)論：①，②，③，④，正確的有（

）個

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，?，故①正確；?②繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，??，??，，??，，故②正確；?③在中，?，，???與不垂直．故③不正確；?④在中，?，，??，故④正確．?①②④這三個結(jié)論正確．?故選：C．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，平行線的判定，掌握圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南鄭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，若是邊上任意一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點為點，連接，則在下列結(jié)論中：①，②；③，④，一定正確的是（）

A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：①，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；②當(dāng)為等邊三角形時，，除此之外，與不平行，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；③由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，本選項結(jié)論正確，符合題意；④只有當(dāng)點為的中點時，，才有，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，，射線在平面內(nèi)．射線繞點從射線的反向延長線的位置出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)角，已知平分，當(dāng)與互余時旋轉(zhuǎn)角等于（）

A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】分當(dāng)在的外部時，當(dāng)在的內(nèi)部時，分別表示出與，根據(jù)與互余，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：當(dāng)在的外部時，如圖所示，

∴∵與互余∴，解得：；當(dāng)在的內(nèi)部時，如圖所示，

∴∴解得：；故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，余角的定義，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，在同一平面內(nèi)，將繞點A旋轉(zhuǎn)到的位置，使，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】旋轉(zhuǎn)中心為點A，B與，C與分別是對應(yīng)點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角，，再利用平行線的性質(zhì)得，把問題轉(zhuǎn)化到等腰中，根據(jù)內(nèi)角和定理求．【詳解】解：∵，∴，又∵為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，∴，即為等腰三角形，∴．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角．同時考查了平行線的性質(zhì)．5．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，若點在線段的延長線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及內(nèi)角和定理可得，即可得到答案．【詳解】解：∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，∴，，，∴，∴，故選A．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到，，．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）一副三角板按圖1的形式擺放，把含角的三角板固定，含角的三角板繞直角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩塊三角板有兩邊平行時，的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的特征分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時，；

②如圖2，當(dāng)時，，∴；

③如圖3．當(dāng)時，，∴．

④當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)角大于，不符合題意．故答案為：或或．【點睛】此考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、平行線的性質(zhì)等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，將一塊含角的三角板繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若，則旋轉(zhuǎn)的角度為

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵將一塊含角的三角板繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．∴，∵，∴旋轉(zhuǎn)角．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確確定旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．8．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）小明遇到一個問題：個同樣大小的正方形紙片，邊長是，排列形式如圖所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形．他的做法是：按圖所示的方法分割后，將三角形紙片①繞的中點旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形．則新正方形的面積是；如圖，在面積為的平行四邊形中，點分別是邊的中點，分別連接得到一個新的平行四邊形．則平行四邊形面積的大小是．

【答案】5/0.4【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得圖形①和圖形②面積相等，則新正方形面積等于個小的正方形面積的和，采用逆向思維的方式得到所求的圖形進(jìn)而求出所求圖形的面積，把它返回到個相同的平行四邊形的狀態(tài)，進(jìn)而得出平行四邊形的面積．【詳解】解：將三角形紙片①繞的中點旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，圖形①和圖形②面積相等，新正方形的面積等于個小的正方形面積的和，新正方形的面積等于，根據(jù)題意可得出：圖形是個相同的平行四邊形的狀態(tài)，那么其中一個面積為原圖形的，那么平行四邊形的面積=，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的剪拼，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力及想象力，是熱點題型，多思考、多總結(jié)，注意問題過程的形成．9．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線上有一點，過點在直線上方作射線，將一直角三角形的直角頂點放在處，，，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角板繞著點按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，且，如圖，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線的位置保持不變，當(dāng)時，射線，與中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的平分線．

【答案】2或8或32【分析】分三種情況：當(dāng)平分時，當(dāng)平分時，當(dāng)平分時，分別求出的值即可；【詳解】當(dāng)平分時，如圖，

平分，，，解得：；當(dāng)平分時，如圖，

平分，，即，解得：；當(dāng)平分時，如圖，

平分，，，解得：；綜上所述，滿足題意的的取值為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·七年級單元測試）如圖在中，，，將繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到，設(shè)交邊于D，連結(jié)，若是等腰三角形，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為.【答案】或/或【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出，再表示出，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出，然后分三種情況討論求解.【詳解】∵繞C點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，，是等腰三角形，分三種情況討論，①時，，無解，②時，，解得，③時，，解得，綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α度數(shù)為或.故答案為：或.【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11．（2021秋·上海·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在正方形中，點E是邊上的一點（與A，B兩點不重合），將繞著點C旋轉(zhuǎn)，使與重合，這時點E落在點F處，聯(lián)結(jié)．

(1)按照題目要求畫出圖形；(2)若正方形邊長為3，，求的面積；(3)若正方形邊長為m，，比較與的面積大小，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)4(3)，理由見解析【分析】（1）按照題目要求根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后求出和，進(jìn)而可求的面積；（3）首先求出，然后證明，根據(jù)求出，即可比較與的面積大?。驹斀狻浚?）解：如圖所示；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∵正方形的邊長為3，∴，，∴；（3）；理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∵正方形的邊長為m，∴，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴．【點睛】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，整式混合運算的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確求出和．12．（2023秋·福建南平·七年級福建省光澤第一中學(xué)校考開學(xué)考試）畫一畫，填一填．

(1)仔細(xì)觀察三角形，點C在點A的偏方向．(2)畫出三角形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，再把旋轉(zhuǎn)后的圖形向右平移2格．(3)將原三角形按的比放大，畫出放大后的圖形．放大后三角形與原三角形面積的比是．【答案】(1)南，東，45(2)圖見解析(3)，圖見解析【分析】（1）先判斷三角形的形狀，再根據(jù)方位角的知識求解；（2）利用格點找出點B，A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，順次連接，再向右平移2格即可；（3）放大后三角形各邊的長度為原邊長的2倍，由此作圖即可．【詳解】（1）解：由格點可知，，因此，故點C在點A的南偏東方向，故答案為：南，東，45；（2）解：旋轉(zhuǎn)及平移后圖形如下圖中間的兩個三角形；（3）解：放大后圖形如下圖中右側(cè)的三角形；

放大后三角形與原三角形面積的比是：，故答案為：．【點睛】本題考查方位角，旋轉(zhuǎn)，平移，格點作圖等，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)．13．（2023秋·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐如圖①，為直線上一點，在點處將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放．

(1)將圖①中的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖②，使邊恰好平分，問是否平分？請說明理由．(2)如果將圖①中的直角三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖③．①使邊在內(nèi)部，那么與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，直到與重合，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)平分，見解析(2)①，見解析；②或【分析】（1）根據(jù)平角的性質(zhì)可得，，，根據(jù)互余的性質(zhì)可得，由此即可求解；（2）①根據(jù)圖示可得，，由此即可求解；②與重合，分類討論：第一種情況：在的延長線上；第二種情況，在的延長線上；根據(jù)互余，互補的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析即可求解．【詳解】（1）解：平分，理由如下：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分．（2）解：①，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，即；②第一種情況：在的延長線上，如圖所示，

∵，，∴，∴；第二種情況，在的延長線上，如圖所示，

∵，，∴，∴，，∴，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查幾何圖形的變換與角度的和差倍分關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，互余，互補的性質(zhì)的綜合運用，掌握以上知識的綜合是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知一副三角板（直角三角板和直角三角板，，，，）

(1)如圖1擺放，點、、在一直線上，則的度數(shù)是多少？(2)如圖2，將直角三角板繞點逆時針方向轉(zhuǎn)動，若要恰好平分，則的度數(shù)是多少？(3)如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點任意轉(zhuǎn)動，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【答案】(1)(2)(3)的度數(shù)不會發(fā)生變化，總是．【分析】（1）根據(jù)余角的定義即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義得到，根據(jù)余角的定義即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得到，然后根據(jù)角的和差即可得到結(jié)果．【詳解】（1）；（2），；（3）的度數(shù)不會發(fā)生變化．，又平分，平分，，．，，即的度數(shù)不會發(fā)生變化，總是．【點睛】本題考查了角的計算：會進(jìn)行角的倍、分、差計算．也考查了角平分線的定義，會識別圖形是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）定義：如果從一個角的頂點引出的一條射線，與角的一條邊組成的角是原來的角的，則這條射線叫原來角的“新生線”．(1)如圖1，，射線___________的“新生線”（填“是”或“不是”）；(2)點在同一直線上，①如圖2，，射線在的內(nèi)部，并且是的“新生線”，平分，求的大??；②如圖3，，，射線從出發(fā)繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為秒，若在射線旋轉(zhuǎn)的同時，繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線平分．當(dāng)射線與射線重合時，運動都停止．當(dāng)射線是的“新生線”時，直接寫出的值為__________．【答案】(1)是(2)①或；②的值為或或【分析】（1）根據(jù)“新生線”的定義及計算方法即可求解；（2）①射線在的內(nèi)部，并且是的“新生線”，分類討論，當(dāng)時，當(dāng)，根據(jù)角平分線即可求解；②到的時間范圍為，當(dāng)追上的時間為，當(dāng)追上的時間為，分類討論，當(dāng)；當(dāng)時；當(dāng)時，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】（1）解：∵，設(shè)，則，∴，∴，∴是的，∴是的新生線，故答案為：是．（2）解：①射線在的內(nèi)部，并且是的“新生線”，當(dāng)時，如圖所示，∵點在同一直線上，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；當(dāng)時，如圖所示，同理，，∴，則，∵平分，∴，∴；綜上所述，的大小為或；②射線從出發(fā)繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∴到的時間范圍為：，∵，，∴，∴當(dāng)追上的時間為，，即，當(dāng)追上的時間為，，即，第一種情況，當(dāng)在的右邊，即，如圖所示，當(dāng)是的“新生線”是，即，則，，∵平分，，∴，∵，且，∴，解得，；當(dāng)時，，∴，∵，∴，解得，；第二種情況，當(dāng)在的左側(cè)，即，如圖所示，當(dāng)時，∵，，∴，解得，；第三中情況，當(dāng)在內(nèi)部，且在左側(cè)，即，如圖所示，當(dāng)時，∵，，∴，解得，，與不符，舍去；第四種情況，當(dāng)在內(nèi)部，且在右側(cè)，如圖所示，當(dāng)時，∵，，∴，解得，，與不符，舍去；當(dāng)時，，解得，，與不符，舍去；綜上所述，當(dāng)射線是的“新生線”時，的值為或或，故答案為：的值為或或．【點睛】本題主要考查線段的位置與角的數(shù)量關(guān)系，理解“新生新”的定義，線段運動的規(guī)律，圖形結(jié)合分析角的和、差、倍、分的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．壓軸題型三圖形的翻折問題專訓(xùn)（15題）1．（2023秋·江蘇宿遷·八年級?？茧A段練習(xí)）四邊形中，，在上分別找一點M、N，使周長最小時，則的度數(shù)為（）

A．80° B．95° C．125° D．110°【答案】D【分析】如圖，延長至點G，使，延長至點E，使，連接，則；，當(dāng)四點共線時，最小，此時周長最小；于是．【詳解】解：如圖，延長至點G，使，延長至點E，使，連接，則；∴，．當(dāng)四點共線時，最小，此時周長最?。恢?，，∴．∴．

故選：D【點睛】本題考查軸對稱（垂直平分線），三角形內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)；添加輔助線構(gòu)造軸對稱是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江寧波·七年級校考期中）如圖，將長方形紙片沿折疊后，點A，D分別落在，的位置，再將沿著對折，將沿著對折，使得落在直線上，則下列說法正確的是（）①；；③當(dāng)時，．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義，推出，判斷①；無法得到，判斷②；根據(jù)折疊的性質(zhì)推出，根據(jù)，得到點在線段上，推出，再根據(jù)，求出，判斷③．【詳解】∵長方形紙片，沿折疊后，點A，D分別落在，的位置，∴，∵將沿著對折，將沿著對折，使得落在直線上，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴；故①正確；∵不一定為，∴不一定垂直，故②錯誤；∵，∴與共線，∴，∵，∴，故③正確；故選：B．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，把一個角沿過點O的射線對折后得到的圖形為，現(xiàn)從點O引一條射線，使，再沿把角剪開．若剪開后再展開，得到的三個角中，有且只有一個角最大，最大角是最小角的三倍，則的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由題可知，沿過O的射線分為了射線和射線兩種情況，分類討論兩種情況，利用建立等量關(guān)系即可解決．【詳解】解：①由題意得，三個角分別是、、，且，，又，，②三個角分別是、、，有且只有一個角最大，即為，且，，又，．故選：D．【點睛】本題考查了角的和差倍分，解決本題的關(guān)鍵是讀清題意，找到不同情況，利用題目中的等量建立方程解得參數(shù)的值．4．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，長方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，這樣繼續(xù)下去，當(dāng)?shù)谖宕畏蹠r，點A和點B都落在∠CDE＝內(nèi)部（不包含邊界），則的取值值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用翻折前后角度總和不變，由折疊的性質(zhì)列代數(shù)式求解即可；【詳解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°，第二次翻折后3a+∠BDC=180°，第三次翻折后4a+∠BDE=180°，第四次翻折后5a+∠BDC=180°，若能進(jìn)行第五次翻折，則∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°，若不能進(jìn)行第六次翻折，則∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°，當(dāng)a=36°時，點B落在CD上，當(dāng)a=30°時，點B落在ED上，∴30°＜a＜36°，故選：D；【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律，折疊的性質(zhì)，一元一次不等式的應(yīng)用；掌握折疊前后角度的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，點A是內(nèi)任意一點，點B和點C分別是射線OM和射線ON上的動點（M、N不與點O重合），當(dāng)周長取最小值時，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別作點關(guān)于、的對稱點、，連接，交于，交于，的周長的最小值，然后得到等腰中，，即可得出．【詳解】分別作點關(guān)于、的對稱點、，連接，交于，交于，則，，，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得，，則的周長的最小值，∴，∴等腰中，，∴．故選：．【點睛】本題考查了軸對稱－最對路線問題，正確作出輔助線，得到等腰中，是關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知線段，、為直線上任意兩點，將線段、分別沿著點和折疊，使得的對應(yīng)點為，的對應(yīng)點為，若，則的最大值和最小值的差為．【答案】12【分析】把線段放在數(shù)軸上，點A與原點重合，則A表示0，點B表示10，設(shè)M對應(yīng)的數(shù)為x，N對應(yīng)的數(shù)為y，確定的最大值和最小值，再作差即可．【詳解】解：把線段放在數(shù)軸上，點A與原點重合，則A表示0，點B表示10，設(shè)M對應(yīng)的數(shù)為x，N對應(yīng)的數(shù)為y，由題意得：表示，表示，∵，∴，即或，∵，∴或當(dāng)時，的最小值為，最大值為4，當(dāng)時，的最小值為，最大值為6，∴的最大值和最小值的差為：故答案為：12．【點睛】本題考查線段折疊，線段的和差，數(shù)軸上點表示的數(shù)，絕對值的意義，運用了分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度．【答案】124【分析】連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA＝OB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB＝OC，再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB＝∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE＝CE，然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，連接OB、OC，∵∠BAC＝62°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO＝∠BAC＝×62°＝31°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°?∠BAC）＝（180°?62°）＝59°，∵DO是AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝31°，∴∠OBC＝∠ABC?∠ABO＝59°?31°＝28°，∵AO為∠BAC的平分線，AB＝AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB＝OC，∴點O在BC的垂直平分線上，又∵DO是AB的垂直平分線，∴點O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝28°，在△OCE中，∠OEC＝180°?∠COE?∠OCB＝180°?28°?28°＝124°，故答案為：124．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2020春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為內(nèi)部的已知點，連接，為上的點，為上的點，當(dāng)周長的最小值與的長度相等，的度數(shù)為．【答案】30【分析】設(shè)點P關(guān)于OM的對稱點為C，關(guān)于ON的對稱點為D，當(dāng)點A、B在CD上時，△PAB的周長為PA+AB+BP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=OP可求出的度數(shù)．【詳解】解：作點P關(guān)于OM的對稱點C，關(guān)于ON的對稱點D，連接CD，交OM于A，交ON于B．此時，△PAB的周長最?。B接OC，OD，PA，PB．∵點P與點C關(guān)于OM對稱∴OM垂直平分PC∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON∴∠COD=2∠MON又∵△PAB的周長=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP∴OC=OD=CD∴△COD是等邊三角形∴∠MON故答案為：30．【點睛】此題找到點A和點B是的位置是解題的關(guān)鍵，要使△PAB的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．9．（2019春·四川成都·七年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB＝7°，一條光線從點A出發(fā)后射向OB邊，若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點A，此時∠A＝90°－7°＝83°，當(dāng)∠A＜83°時，光線射到OB邊上的點A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光線又會沿A2→A1→A原路返回到點A，此時∠A＝°若光線從點A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點A，則銳角∠A的最小值＝°【答案】766【分析】（1）由A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，可得∠2＝83°，由∠1＝∠2得∠1＝83°，從而求出∠AA1A2＝14°，即可求出∠A＝76°；（2）根據(jù)題意可知光線原路返回，最后的線垂直于BO，中間的角，從里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出2∠1＝180°－14°×n，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，當(dāng)n＝11時，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值．【詳解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；（2）當(dāng)MN⊥OA時，光線沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上規(guī)律可知，∠A＝90°－2n?7°，當(dāng)n＝6時，∠A取得最小值，最小度數(shù)為6°，故答案為：76，6．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角得出與∠A具有相同位置的角的度數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2021春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點是內(nèi)任意一點，，點與點關(guān)于射線對稱，點與點關(guān)于射線對稱，連接交于點，交于點，當(dāng)?shù)闹荛L是5時，的度數(shù)是度．【答案】30【分析】根據(jù)軸對稱得出OA為PC的垂直平分線，OB是PD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等邊三角形，即可得出答案．【詳解】解：如圖示：連接OC，OD，∵點P與點C關(guān)于射線OA對稱，點P與點D關(guān)于射線OB對稱，∴OA為PC的垂直平分線，OB是PD的垂直平分線，∵OP=5cm，∴，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周長是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴，故答案為：30．【點睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能求出△COD是等邊三角形是解此題的關(guān)鍵．11．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，射線、在的內(nèi)部（OC與OD不重合），且．將射線沿直線翻折，得到射線；將射線沿直線翻折，得到射線（與不重合）．(1)如圖①，若，則______°，______°；(2)若，請畫出不同情形的示意圖，并分別求出和的度數(shù)；(3)設(shè)，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系及相應(yīng)的的取值范圍．【答案】(1)10；70(2)和的度數(shù)分別為和或和；(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，．【分析】（1）由可求得的度數(shù)；由折疊的性質(zhì)得，，先求得和的度數(shù)，再利用即可求解；（2）分兩種情況，畫出圖形，同（1）的方法即可求解；（3）分當(dāng)和兩種情況討論，畫出圖形，同（1）的方法即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，∴，，∴，故答案為：10；70；（2）解：如圖，，，∴，，∴，如圖，，，∴，，∴，綜上，和的度數(shù)分別為和或和；（3）解：當(dāng)，設(shè)，如圖，∴，∴，，∴，即，∴；當(dāng)，設(shè)，如圖，∴，∴，，∴，即，∴；綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角度的和差計算，正確的識別圖形、分類討論是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點是直線上一點，射線從開始以每秒的速度繞點順時針轉(zhuǎn)動，射線從開始以每秒的速度繞點逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)、相遇時，停止運動；將、分別沿、翻折，得到、，設(shè)運動的時間為（單位：秒）(1)如圖2，當(dāng)、重合時，_______；(2)當(dāng)時，_______，當(dāng)時，_______；(3)如圖3，射線在直線的上方，且，在運動過程中，當(dāng)射線、、其中一條射線是另外兩條射線組成角的平分線時，求出的值【答案】(1)90(2)20，12(3)t的值為10或或．【分析】（1）利用折疊性質(zhì)得，，再利用鄰補角即可求解；（2）利用折疊性質(zhì)得求出、、、的度數(shù)，即可得解；（3）根據(jù)角平分線的不同，分是的角平分線、是的角平分線、是的角平分線三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵將、分別沿、翻折，得到、，∴，，∵，∴，故答案為90；（2）解：當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，如下圖，，，∴，故答案為20，12；（3）解：當(dāng)是的角平分線時，則，如圖，由折疊可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；當(dāng)是的角平分線時，則，如下圖，由折疊可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；當(dāng)是的角平分線時，則，如下圖，由折疊可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；綜上，的值為或或．【點睛】本題主要考查了鄰補角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)題意正確分類討論是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件，解答下面的問題：(1)已知點，，表示的數(shù)分別為1，，.觀察數(shù)軸，與點的距離為3的點表示的數(shù)是______，，兩點之間的距離為______．(2)數(shù)軸上，點關(guān)于點的對稱點表示的數(shù)是______．(3)若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則與點重合的點表示的數(shù)是______；若此數(shù)軸上，兩點之間的距離為2021（在的左側(cè)），且當(dāng)點與點重合時，點與點也恰好重合，則點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______．(4)若數(shù)軸上，兩點間的距離為（在左側(cè)），表示數(shù)的點到，兩點的距離相等，將數(shù)軸折疊，當(dāng)點與點重合時，點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______（用含，的式子表示這兩個數(shù)）．【答案】(1)4或-2，3.5(2)4.5(3)0.5，-1011.5，1009.5(4)n-，n+【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式即可求解；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得對稱點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)A與C重合表示對稱點，可得與B點重合的點表示的數(shù)；同理根據(jù)折疊后點A與點C重合，點M與點N也重合，即可求解；（4）根據(jù)數(shù)軸上的點左減，右加，即可求表示數(shù)n的點到P、Q兩點的距離相等的算式．【詳解】（1）解：（1）觀察數(shù)軸可知：與點A的距離為3的點表示的數(shù)是1+3=4或1-3=-2，A、B兩點之間的距離為1-(-)=3.5．故答案為：4或-2，3.5；（2）解：點B關(guān)于點A的對稱點表示的數(shù)是：1-(-)+1=4.5，故答案為：4.5；（3）解：∵將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，∴對稱點表示的數(shù)為：-1，∴與點B重合的點表示的數(shù)是：-1+[-1-(-2.5)]=0.5；M表示的數(shù)是：-1-=-1011.5，N表示的數(shù)是：-1+=1009.5，故答案為：0.5，-1011.5，1009.5；（4）解：根據(jù)題意，得P表示的數(shù)為：n-，Q表示的數(shù)為：n+．故答案為：n-，n+．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，折疊的性質(zhì)，列代數(shù)式等知識，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式．14．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，將筆記本活頁兩角向內(nèi)折疊，使角的頂點A落在處，頂點D落在處，BC，BE為折痕．（1）如圖1，使邊與邊重合，若，求_______，_______．（2）如圖2，使邊BD沿著BE折疊后的邊落在內(nèi)部，若，設(shè)，，求與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出，的取值范圍．【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；（2）由折疊的性質(zhì)得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的關(guān)系，再結(jié)合BD在∠1內(nèi)部，可得各自的范圍．【詳解】解：（1）∵角的頂點A落在點A'處，BC為折痕，∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．（2）由折疊的性質(zhì)可得：∠AB