滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊教案

第1課時二次根式的概念

1.了解二次根式的概念；（重點）

2.理解二次根式有意義的條件；（重點）

3.理解（a'O）是一個非魚數(shù)，并會應(yīng)用（a》0）的非負(fù)性解決實際問題.（難點）

一、情境導(dǎo)入

1.小明準(zhǔn)備了一張正方形的紙剪窗花，他算/一下，這張紙的面積是8平方厘米，則它

的邊長是多少？

2.已知圓的面積是6”你能求出該圓的半徑嗎？

大家在七年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)的開方，現(xiàn)在讓我們一起來解決這些問題吧！

二、合作探究

探究點一：二次根式的概念

［類型一］二次根式的識別

/（2015?安順期末）下列各式：①：②：③：④：⑤，其中二次根式的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：根據(jù)二次根式的概念可直接判斷，只有①③滿足題意.故選B.

方法總結(jié)：判斷一個式子是否為二次根式.要看式子是否同時具備兩個特征：①含有二

次根號””；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).兩者缺一不可.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

［類型二］二次根式有意義的條件

/代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（）

A.x2一1且xWlB.xRl

C.x21且x#=-1D.x?—1

解析：根據(jù)題意可知x+120且x—IHO,解得x2—1且x豐1.故選A.

方法總結(jié)：（1）要使二次標(biāo)式有意義,必須使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，而不是所含字母為非負(fù)

數(shù)；（2）若式子中含有多個二次根式.則字母的取值必須使各個被開方數(shù)同時為非負(fù)數(shù)；（3）

若式子中含有分母，則字母的取值必須使分母不為零.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

探究點二：利用二次根式的非負(fù)性求值

【類型一】利用被開方數(shù)的非負(fù)性求字母的值

/(1)已知a,b滿足+|b—1=0,求2a—b的值；

(2)已知實數(shù)a,b滿足a=++3,求a,b的值.

解析：根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)及絕對值的意義求值即可.

解：(1)由題意知得2a=-8,b=l,則2a-b=-9；

220,

(2)由題意知、解得〃=2.所以。=0+0+3=3.

2f20,

方法總結(jié)：①當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)均為0;②當(dāng)題目中.同時出現(xiàn)和

時(即二次根式下的被開方數(shù)互為相反數(shù))，則可得a=0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型二］與二次根式有關(guān)的最值問題

/當(dāng)x=時，+3的值最小，最小值為.

解析：由二次根式的非負(fù)性知20,.?.當(dāng)=0即乂=一時，+3的值最小，此時最小值為3.

故答案為一,3.

方法總結(jié)：對于二次根式20(a20),可知其有最小值0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

三、板書設(shè)計

本節(jié)課的內(nèi)容是在我們已學(xué)過的平方根、算術(shù)平方根知識的基礎(chǔ)上，進一步引入二次根

式的概念.教學(xué)過程中，應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與，并讓學(xué)生探究和總結(jié)二次根式在實數(shù)范圍

內(nèi)有意義的條件

第2課時二次根式的性質(zhì)

1.理解和掌握()2=a(a20)和="：(重點)

2.能正確運用二次根式的性質(zhì)1和性質(zhì)2進行化簡和計算.(難點)

一、情境導(dǎo)入

如果正方形的面積是3,則它的邊長是多少？若邊長是，則面積是多少？

如果正方形的面積是a,則它的邊長是多少？若邊長是，則面積是多少？你會計算嗎？

二、合作探究

探究點一：利用二次根式的性質(zhì)進行計算

［類型—］利用(r)2=Wa20)計算

/計算：

(1)(屈)2；(2)(一行)2;

(3)(25)2；(4)(24二｝)2.

解析：(1)可直接運用02=a(a20)計算，(2)(3)(4)在二次根號前有一個因數(shù)，先利用(ab)2

=a2b2,再利用02=a(a20)進行計算.

解:⑴()2=0.3；

(2)(一仃>=(一1打X(JH)2=13：

(3)(2小)2=22乂(小戶=12：

(4)(2A/X—y)2=22X(yjx—y)2=4(A—y)=4x—4y.

方法總結(jié)：形如(n)2(m，0)的二次根式的化簡，可先利用(ab)2=a2b2,化為n2?()2(m>

0)后再化簡.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題

［類型二］利用位=13計算

/計算：

(1怖；(2、(~1)2;⑶7Ln)2.

解析：利用=|a|進行計算.

解：(1)=2；

22

-尸-

33

(3)—^(―n)2=—|—j|=—n.

方法總結(jié)：=|a|的實質(zhì)是求a2的算術(shù)平方根，其結(jié)果一定是非負(fù)數(shù).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第9題

［類型三］利用二次根式的性質(zhì)化簡求值

/先化簡，再求值:a+,其中a=-2或3.

解析：先把二次根式化簡.再代入求值.即可解答.

解：a+=a+=a+|a+l|,當(dāng)a=-2時.原式=-2+|—2+1|=—2+1=-1；當(dāng)a=3

時，原式=3+|3+1|=3+4=?.

方法總結(jié)：本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是先化簡，再求值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第10題

探究點二：利用二次根式的性質(zhì)進行化簡

［類型—］與數(shù)軸的綜合

/如圖所示為a,b在數(shù)軸上的位置，化簡2一+.

q,.0,一

-I01

解析：由a,b在數(shù)軸上的位置確定a<0,a-b<o,a+bVO.再根據(jù)=間進行化簡.

解：由數(shù)軸可知一2VaVT,0<b<L則a-b<0,a+b〈O.原式=2|a|一|a-b|+|a+b|

=-2a+a-b—(a+b)=-2a-2b.

方法總結(jié)：利用=|a|化簡時.先必須弄清楚被開方數(shù)的底數(shù)的正負(fù)性.計算時應(yīng)包括兩

個步驟：①把被開方數(shù)的底數(shù)移到絕對值符號中；②根據(jù)絕對值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)性去掉絕對

值符號.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

【類型二】與三角形三邊關(guān)系的綜合

/已知a、b、c是AABC的三邊長，化簡一+.

解析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出b+c>a,b+a>c,根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出含有絕

對值的式子，最后去絕對值符號后合并即可.

解：二飛、b、c是ZkABC的三邊長.「.b+cAa,b+a>c,.,.原式=|a+b+c|-|b+c—a|

+|c-b-a|=a+b+c—（b+c-a）+（b+a—c）=a+b+c-b-c+a+b+a—c=3a+b—c.

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系（三角形中任意兩邊之和大于第三

邊），得出不等關(guān)系，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

利用二次根式的

性質(zhì)進行計算

二次根式的性質(zhì)

利用二次根式的

性質(zhì)進行化簡

二次根式的性質(zhì)是建立在二次根式概念的基礎(chǔ)上，同時又為

學(xué)習(xí)二次根式的運算打下基礎(chǔ).本節(jié)教學(xué)始終以問題的形式

展開，使學(xué)生在教師設(shè)問和自己釋問的過程中萌生自主學(xué)習(xí)

的動機和欲望，逐漸養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣.性質(zhì)1和性質(zhì)2

容易混淆，教師在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生辨析它們的區(qū)別，

以便更好地靈活運用

第1課時二次根式的乘法

1.掌握二次根式的乘法運算法則：（重點）

2.會進行二次根式的乘法運算.（重點、難點）

一、情境導(dǎo)入

小穎家有一塊長方形菜地，長m,寬m,則這個長方形菜地的面積是多少？

二、合作探究

探究點一：二次根式的乘法法則成立的條件

硒1式子〈幣?(x+1)(2-x)成立的條件是()

A.xW2B.x?—1

C.一VW2D.-l<x<2

解析：根據(jù)題意得解得一IWXW2.故選C.

方法總結(jié)：運用二次根式的乘法法則：?=(a>0,b^O),必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這

一條件.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

探究點二：二次根式的乘法

［類型一］二次根式的乘法運算

/計算：

(2)9718X(-1V54)；

(4)2a-(-)?(a20.b20).

解析：第(1)小題直接按二次根式的乘法法則進行計算.第Q),(3),(4)小題把二次根式前

的系數(shù)與系數(shù)相乘，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘.

解:(1)原式==;

(4)原式=-2aX^\ls(ib?6a2b?3a=-16a'b.

方法總結(jié)：二次根式與二次根式相乘時、可類比單項式與單項式相乘，把系數(shù)與系數(shù)相

乘，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘.最后結(jié)果要化為最簡二次根式，計算時要注意積的符號.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型二】逆用性質(zhì)3(即=?，a2O,b2O)進行化簡

/化簡：

(3)(a>0,b>0).

解析：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì).把它們化為幾個二次根式的積.(2)小題中先確定符

號

解：(l)=X=14X0.5=7；

（一?x（一給9Xlt==3X9=^;

（3）^2257^=^225?亞?亞=15〃%.

方法總結(jié)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行計算或化簡,其實質(zhì)就是把被開方數(shù)中的完

全平方數(shù)或偶次方進行開平方計算，要注意的是，如果被開方數(shù)是幾個負(fù)數(shù)的積，先要把符

號進行轉(zhuǎn)化，如（2）小題.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型三］二次根式的乘法的應(yīng)用

/小明的爸爸做了一個長為cm,寬為cm的矩形木板，還想做一個與它面積相等的圓形

木板，請你幫他計算一下這個圓的半徑（結(jié)果保留根號）.

解析：根據(jù)“矩形的面積=長乂寬”“圓的面積=nX半徑的平方”進行計算.

解：設(shè)圓的半徑為rem.

因為矩形木板的面積為X=168n（cm）2,

所以nr2=168n,r=2（r=—2舍去）.

答：這個圓的半徑為2cm.

方法總結(jié)：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進行計算.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

本節(jié)課學(xué)習(xí)了二次根式的乘法和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，兩

者是可逆的，它們成立的條件都是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).在教

學(xué)中通過情境引入激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生自主探究二

次根式的乘法法則，鼓勵學(xué)生運用法則進行二次根式的乘法

運算

第2課時二次根式的除法

蜴目標(biāo)

1.會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式：（重點，難點）

2.掌握二次根式的除法法則，并會運用法則進行計算：(重點、難點)

3.掌握最簡二次根式的概念，并會熟練運用.(重點)

一、情境導(dǎo)入

計算下列各題，觀察有什么規(guī)律？

(1)=：=-

(2)=：=.

A/49-------A/49*716-------716,

二、合作探究

探究點一：二次根式的除法

/計算：

⑴同⑵55：(J)VTW;

(4)4-(—)(a>0,b>0).

解析：(1)直接把被開方數(shù)相除；(2)把系數(shù)與系數(shù)相除，被開方數(shù)與被開方數(shù)相除；(3)

被開方數(shù)相除時.注意約分；(4)系數(shù)相除時、把除法轉(zhuǎn)化為乘法，被開方數(shù)相除時.寫成商

的算術(shù)平方根的形式，再化簡,

解：(1)———；

⑵需

-727aBN⑵油戶曲)3l

⑶g?=7向7『麗

(4)W4-(-

=2X(-2)\IS=-3汽=-4b^-

方法總結(jié)：①二次根式的除法運算，可以類比單項式的除法運算，當(dāng)被除式或除式中有

負(fù)號時.要先確定商的符號；②二次根式相除，根據(jù)除法法則.把被開方數(shù)與被開方數(shù)相除.

轉(zhuǎn)化為一個二次根式；③二次根式的除法運算還可以與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)結(jié)合起來、靈

活選取合適的方法；④最后結(jié)果要化為最簡二次根式.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

探究點二：最簡二次根式

/下列二次根式中，最簡二次根式是()

B.y/3a

D.-\/(r+a2b

解析:A選項中含能開得盡方的因數(shù)4.不是最簡二次根式；B選項是最簡二次根式；C

選項中含有分母，不是最簡二次根式；D選項中被開方數(shù)用提公因式法因式分解后得a2+

a2b=a2(l+b)含能開得盡方的因數(shù)a2,不是最簡二次根式.故選B.

方法總結(jié)：最簡二次根式必須同時滿足下列兩個條件：①福開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式；②被開方數(shù)不含分母.判定一個二次根式是不是最簡二次根式，就是看是否同

時滿足最簡二次根式的兩個條件，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

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探究點三：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

［類型—］利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值

/若=，則a的取值范圍是()

A.a<2B.aW2

C.0WaV2D.a20

解析：根據(jù)題意得解得OWaV2.故選C.

方法總結(jié)：運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：=(a>O,b^O),必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且

分母不等于零這一條件.

［類型二］利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式

/化簡：

(2)(a>0,b>0,c>0).

解析：按商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根.

解:(1)===；

方法總結(jié)：被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)中的分母要化去.即被開方數(shù)

不含分母，從而化為最簡二次根式.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第8題

探究點四：二次根式除法的應(yīng)用

/已知某長方體的體積為30cm3,長為cm,寬為cm,求長方體的高.

解析：因為“長方體的體積=長乂寬X高”，所以“高=長方體的體積+(長X寬)”，代

入計算即可.

解：長方體的高為

304-(X)=3O=3O=(cm).

方法總結(jié)：本題也可以設(shè)高為x,根據(jù)長方體體積公式建立方程求解.

三、板書設(shè)計

二次根式除一/二次根式的除法

法的應(yīng)用

二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基礎(chǔ)上，所以在學(xué)

習(xí)中應(yīng)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生利用與學(xué)習(xí)二次根式乘法相類似的

方法學(xué)習(xí)，從而進一步降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率

第1課時二次根式的加減

I.經(jīng)歷探索二次根式的加減運算法則的過程，讓學(xué)生理解二次根式的加減法則;

2.掌握二次根式的加減運算.(重點、難點)

一、情境導(dǎo)入

計算：

(I)2A—5x；(2)3〃一/+2“2

上述運算實際上就是合并同類項，如果把題中的x換成，a2換成，這時上述兩小題就成

為如下題目：

計算:

(1)26一5V5；(2)34一小+2小.

這時怎樣計算呢？

二、合作探究

探究點一：同類二次根式

的U下列二次根式中與正是同類二次根式的是()

A.yf\2

c.^yiD.vis

解析：選項A中，=2與被開方數(shù)不同，故與不是同類二次根式；選項B中，=與被開

方數(shù)不同，故與不是同類二次根式；選項C中，=與被開方數(shù)不同，故與不是同類二次根式;

選項D中.=3與被開方數(shù)相同，故與是同類二次根式.故選D.

方法總結(jié)：要判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，把每個二

次根式化為最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同，這樣的二次根式就是同類二次根式.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第1題

探究點二：二次根式的加成

［類型一］二次根式的加法或減法

(I)A/8+V32：

(3)4^48-3775：(4)18扉-1\/^.

解析：先把每個二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式合并.

解:(1)原式=2+4=(2+4)=6；

⑵原式=旃+冊=(L=尊:

⑶原式=16/一156=(16-15)7§=小；

(4)原式=3#—6^=(3-6麗=-3#.

方法總結(jié)：二次根式加減的實質(zhì)就是合并同類二次根式，合并同類二次根式可以類比合

并同類項進行，不是同類二次根式的不能合并.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題

［類型二］二次根式的加減混合運算

/計算：

_3__^27

(1)712忑—3；

(3)3子|一回+2囪一1\/^；

⑷一2一(一).

解析：先把每個二次根式化為最簡二次根式.再把同類二次根式合并.

解：(1)原式=2一一=0；

(2)原式=3s—W+3V=5切；

(3)原式=布-34+4小一代=??；

(4)原式=乎一油一乎+5小=乎十與小.

4Jf

方法總結(jié)：二次根式的加威混合運算步驟：①把每個二次根式化為最簡二次根式；②運

用加法交換律和結(jié)合律把同類二次根式移到一起；③把同類二次根式的系數(shù)相加減.被開方

數(shù)不變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型三］二次根式加減法的應(yīng)用

/一個三角形的周長是(2+3)cm,其中兩邊長分別是(+)cm,(3—2)cm,求第三邊長.

解析：第三邊長等于(2+3)—(+)—(3—2),再去括號.合并同類二次根式.

解：第三邊長是(2+3)—(+)—(3—2)=2+3----3+2=4-2(cm).

方法總結(jié)：由三角形周長的意義可知，三角形的周長減去已知兩邊的長，可得第三邊的

長.解決問題的關(guān)鍵在于把實際問題轉(zhuǎn)化為二次根式的加減混合運算.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

三、板書設(shè)計

通過合并同類項引入二次根式的加減法，讓學(xué)生類比學(xué)習(xí).

引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出二次根式加減運算的兩個關(guān)鍵步驟：①

把每個二次根式化為最簡二次根式；②合并同類二次根式.

并讓學(xué)生按步驟解題，養(yǎng)成規(guī)范解題的良好習(xí)慣.教學(xué)過程

中，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透（類比），培養(yǎng)學(xué)生良好的思維

品質(zhì)

第2課時二次根式的混合運算

1.了解二次根式的混合運算順序：

2.會進行二次根式的混合運算.（重點、難點）

一、情境導(dǎo)入

如果梯形的上、下底邊長分別為2cm,4cm,高為cm,則它的面積是多少？

毛毛是這樣算的：

梯形的面積：（2+4）X=（+2）X=X+2X=+2=2+6（cm2）.

他的做法正確的嗎？

二、合作探究

探究點一：二次根式的混合運算

［類型一］二次根式的混合運算

/計算：

解析：（1）先算乘除.再算加減；（2）先計算第一部分.把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再化簡.

解:（1）原式=一+=4—+2=4+；

⑵原式X56X_5陋=乎X1^/5_=乎_5?=

小.

方法總結(jié)：二次根式的混合運算與實數(shù)的混合運算一樣，先算乘方，再算乘除.最后算

加減,如果有括號就先算括號里面的.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第8題

［類型二］運用乘法公式進行二次根式的混合運算

/計算:

⑴（木+巾）（巾一巾）：

（2）（3小一2小尸一（36+2小

解析：（1）用平方差公式計算；（2）逆用平方差公式計算.

解:（1）（+）（-）=（）2—（）2=5-3=2；

（2）（3巾一2小尸一（3班+2小戶=（3&-25+3也+2?。?班一25一3小一2小）=一

24"

方法總結(jié)：多項式的乘法公式在二次根式的混合運算中仍然適用、計算時應(yīng)先觀察式子

的特點，能用乘法公式的用乘法公式計算.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

［類型三］二次根式的化簡求值

/先化簡，再求值：+（x>0,y>0）.其中x=+l.y=-I.

解析：首先根據(jù)約分的方法和二次根式的性質(zhì)進行化簡，然后再代值計算.

解：原式=+=+=.

?「x=+l,y=—1,?'.x+y=2,xy=3—1=2,二?原式==.

方法總結(jié)：在解答此類代值計算題時.通常要先化簡再代值.如果不化簡，直接代入，雖

然能求出結(jié)果，但往往導(dǎo)致煩瑣的運算.化簡求值時注意整體思想的運用.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型四］二次根式混合運算的應(yīng)用

/一個二角形的底為6I2,這條邊上的高為3,求這個二角形的面積.

解析：根據(jù)三角形的面積公式進行計算.

解：這個三角形的面積為16+2）（3-）=X2X（3+）（3—）=（3）2—（）2=27—2=25.

方法總結(jié)：根據(jù)題意列出關(guān)系式，計算時注意觀察式子的特點,選取合適的方法求解,

能應(yīng)用公式的盡量用公式計算.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第10題

探究點二：二次根式的分母有理化

［類型一］分母有理化

/計算：

⑴V25

y［3—\［2x/3+V2

⑵5+&+小-也,

解析：（1）把分子、分母同乘以，再約分計算；（2）把的分子、分母同乘以一，把的分子、

分母同乘以+,再運用公式計算.

解：（1）===+；

小一6+小+巾=______3（小一v也-，_）________._（5+?。?5-2而

⑵'

\/5+也由-&（小+也）（小—?。ㄐ?/）（小+啦）3-2

+專孚=5-2而+5+2%=10.

方法總結(jié)：把分母中的根號化去就是分母有理化，分母有理化時，分子、分母應(yīng)同乘以

一個適當(dāng)?shù)氖阶?，如果分母只有一個二次根式，則乘以這個二次根式，使得分母能寫成?的

形式；如果分母有兩項，分子、分母乘以一個二項式，使得能運用平方差公式計算.如分母

是+,則分子、分母同乘以一.

［類型二］分母有理化的逆用

畫。比較仃一機與迎一55的大小

解析：把一的分母看作“1”，分子、分母同乘以+;把一的分母看作“1”，分子、分

母同乘以十,再根據(jù)“分子相同的兩個正分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的反而小”，得到它們的大

小關(guān)系.

解：一==,—==.?/+>+>0,

???詬丘（至即ggg也

方法總結(jié)：把分母為“1”的式子化為分子為“I”的式子，根據(jù)分母大的反而小可以比

較兩個數(shù)的大小.

三、板書設(shè)計

二次根式的混合運資

:次根式的混合運算

二次根式的分母有理化

二次根式的混合運算可類比整式的運算進

行，注意運算順序，最后的結(jié)果應(yīng)化簡.引

導(dǎo)學(xué)生勇于嘗試，加強訓(xùn)練，從解題過程中

發(fā)現(xiàn)問題，解決問題.本節(jié)課的易錯點是運

算錯誤，要求學(xué)生認(rèn)真細(xì)心，養(yǎng)成良好的習(xí)

慣。

17.1一元二次方程

蜴目標(biāo)

I.了解一元二次方程及相關(guān)概念：（重點）

2.能根據(jù)具體問題的數(shù)量關(guān)系，建立方程的模型.（難點）

一、情境導(dǎo)入

一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m,花圃的長和寬各是多少？

設(shè)苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m.

根據(jù)題意，得x（x+2）=12O.

所列方程是否為一元一次方程？

（這個方程便是即將學(xué)習(xí)的一元二次方程.）

二、合作探究

探究點一：一元二次方程的概念

［類型一］一元二次方程的識別

/下列方程中，是一元二次方程的是（填入序號即可）.

(1)^-y=0：?2r—X—3=0；@^=3：

④f=2+3x；(§)?-x+4=0；⑥產(chǎn)=2；

3_____

⑦『+3］一,=0：@yjx2—x=2.

解析：由一元二次方程的定義知③⑤⑦⑧不是.答案為①②④⑥.

方法總結(jié)：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它

進行整理，若能整理為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，aHO)的形式，則這個方程就是一元二

次方程.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第1題

［類型二］根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值

/a為何值時，下列方程為一元二次方程？

(1)ar-x=Zr2-ax—3：

(2)3—1)州"+21—7=0.

解析：(I)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a—2)x2+(a—l)x+3=0,當(dāng)a—2*0,即a#=2時,

原方程是一元二次方程；(2)住|a|+l=2,且a-IRO知，當(dāng)a=-l時，原方程是一元二次方

程.

解:⑴將方程整理得(a-2)x2+(a-l)x+3=O,=a-2K0,???a豐2.當(dāng)a大2時,原方程為

一元二次方程；

⑵；|a|Il?2,.??a?±l.當(dāng)a-l時,a1-0,不合題意.舍去.，當(dāng)a-1時，原方程

為一元二次方程.

方法總結(jié):用一元二次方程的定義求字母的值的方法:根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2,列

出關(guān)于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

［類型三］一元二次方程的一般形式

/把下列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)

項.

(1)A\X-2)=4『—3x；

(3)關(guān)于x的方程mx2—nx+mx+nx2=q—p(m4-n=#0).

解析：首先對上述三個方程進行整理，通過“去分母”“去括號”“移項”“合并同類項”

等步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

解：(1)去括號，得x2—2x=4x2-3x.移項、合并同類項.得3x2—x=0.二次項系數(shù)為3,

一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為。；

(2)去分母，得2x2—3(x+l)=3(—x—l).去括號、移項、合并同類項，得2x2=0.二次項

系數(shù)為2,一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為0；

(3)移項、合并同類項，得(m+n)x2+(n】-n)x+p—q=0.二次項系數(shù)為m+n,一次項系

數(shù)為m—n.常數(shù)項為p—q.

方法總結(jié)：(1)在確定一元二次方程各項系數(shù)時，首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式.

如果在一般形式中二次項系數(shù)為負(fù)，則最好在方程左右兩邊同乘一I,使二次項系數(shù)變?yōu)檎?/p>

數(shù)；

(2)指出一元二次方程的各項系數(shù)時，一定要帶上前面的符號；

(3)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式后，若沒有出現(xiàn)一次項bx,則b=0；若沒有出現(xiàn)常數(shù)

項c,則c=0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

探究點二：根據(jù)實際問題建立一元二次方程模型

/如圖，現(xiàn)有一張長為19cm,寬為15cm的長方形紙片.需要在四個頂角處剪去邊長是

多少的小正方形，才能將其做成底面積為81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據(jù)翅意列出方程.

解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面.設(shè)出未知數(shù)，利用

長方形面積公式可列出方程.

解：設(shè)需要剪去的小正方形邊長為xcm,則紙盒底面的長方形的長為(19—2x)cm.寬為

(15-2x)cm.

根據(jù)題意，得(19-2x)(l5-2x)=8l.整理得x2-17x+51=0(0<x<).

方法總結(jié)：列方程最重要的是審題.只有理解題意.才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，準(zhǔn)確地找

出已知量和未知量之間的等量關(guān)系.正確地列出方程.在列出方程后.還應(yīng)根據(jù)實際需求.

注明自變量的取值范圍.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

探究點三：一元二次方程的根

/已知關(guān)于x的一元二次方程x2ImxI3-0的一個解是1,求m的值.

解析：將方程的解代入原方程.可使方程的左右兩邊相等.本題將X=1代入原方程.可

得關(guān)于m的一元一次方程，解得m的值即可.

解：根據(jù)方程的解的定義.將x=l代入原方程，得12+mX1+3=0,解得m=-4,即

m的值為-4.

方法總結(jié)：方程的根(解)一定滿足原方程.將根(解)的值代入原方程、即可得到關(guān)于未知

系數(shù)的方程，通過解方程可以求出未知系數(shù)的值，這種方法叫做根的定義法.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第10題

三、板書設(shè)計

本節(jié)課通過實例讓學(xué)生觀察、歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，并從中體會方程

的模型思想.學(xué)生對一元二次方程的一般形式比較容易理解，但是很容易忽視a

=0的時候該方程不是一元二次方程，需要在教學(xué)過程中加以強調(diào)。

1.配方法

1.學(xué)會用直接開平方法解形如(x+m)2=n(n，0)的一元二次方程：(重點)

2.理解配方法的思路，能熟練運用配方法解一元二次方程.(荒點)

一、情境導(dǎo)入

一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度h(m)和下落時間x(s)大致有如下關(guān)系:

h=5x2,問石頭經(jīng)過多長時間落到地面？

二、合作探究

探究點；用直接開平方法解元二次方程

/用直接開平方法解下列方程：

(l).r-16=0;(2)31—2?=0：

(3)——2產(chǎn)=9；(4)(2y-3)2=16.

解析：用直接開平方法解方程時,要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊

是非負(fù)數(shù)的形式.再根據(jù)平方根的定義求解.注意開方后.等式的右邊取“正、負(fù)”兩種情

況.

解：(1)移項，得x2=16.根據(jù)平方根的定義，得乂=±4,即xl=4.x2=-4；

(2)移項，得3x2=27.兩邊同時除以3,得x2=9.根據(jù)平方根的定義，得乂=±3,即xl=

3,x2=-3：

(3)根據(jù)平方根的定義，得x-2=±3,即x-2=3或x—2=-3,即x1=5,x2=-l；

(4)根據(jù)平方根的定義,得2y-3=±4,即2y—3=4或2y—3=-4,即yl=,y2=-.

方法總結(jié)：直接開平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理論依據(jù)是平方根的

定義.它的可解類型有如下幾種：①x2=a(a20);②(x+a)2=b(b20)；③(ax+b)2=c(c20);

④(ax+b)2=(cx4-d)2(|a|=#|c|).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

探究點二：用配方法解一元二次方程

［類型一］用配方法解一元二次方程

/用配方法解下列方程：

(1*一21?—35=0：

(2)3.V+8A—3=0.

解析：當(dāng)二次項系數(shù)是I時，先把常數(shù)項移到右邊，然后左、右兩邊同時加上一次項系

數(shù)一半的平方.把左邊配方成完全平方式，即為(x+m)2=n(n20)的形式.再用直接開平方

法求解；當(dāng)二次項系數(shù)不是1時.先將二次項系數(shù)化為1,再用配方法解方程.

解：(I)移項，得x2—2x=35.配方，得x2—2x+12=35+12,即(x-1)2=36.直接開平方,

得X-1=±6.所以原方程的根是xl=7,x2=-5；

(2)方程兩邊同時除以3,得x2+x—1=0.移項，得x2+x=l.配方,得x2+x+()2=1+

()2,即(x+)2=()2.直接開平方.得x+=±.所以原方程的根是xl=,x2=-3.

方法總結(jié)：運用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是先把一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為

1的一元二次方程，然后在方程兩邊同時添加常數(shù)項，使其等于一次項系數(shù)一半的平方.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第9題

［類型二］利用配方法求代數(shù)式的值

/已知a2-3a+b2—+=0,求a-4的值.

解析：觀察方程可以知道.原方程可以用配方法轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的平方和等于0的形式,

得到這兩個數(shù)都為0,從而可求出a,b的值.再代入代數(shù)式計算即可.

解：原等式可以寫成:(a—)2+(b-)2=0.

/.a—=0,b—=0,解得a=,b=.

方法總結(jié)：這類題目主要是配方法和平方的非負(fù)性的綜合應(yīng)用.通過配方把等式轉(zhuǎn)化為

兩個數(shù)的平方和等于0的形式是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第II題

［類型三］利用配方法求代數(shù)式的最值或判定代數(shù)式的取值范圍

/請用配方法說明：不論X取何值，代數(shù)式x2-5x+7的值恒為正.

解析：本題是要運用配方法將代數(shù)式化為一個平方式加上一個常數(shù)的形式.

解：*.'x2—5x+7=x2—5x+()2+7—()2=(x—)2+,而(x—)220,

533

---

244

二.代數(shù)式x2-5x+7的值恒為正.

方法總結(jié)：對于代數(shù)式是一個關(guān)于x的二次式且含有一次項，在求它的最值時，常常采

用配方法，將原代數(shù)式變形為一個完全平方式加一個常數(shù)的形式，根據(jù)一個數(shù)的平方是一個

非負(fù)數(shù)，就可以求出原代數(shù)式的最值.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第10題

三、板書設(shè)計

利用配方法求代數(shù)

式的最值或判定代配方法

放式的取值范國

本節(jié)課通過觀察、思考、對比使學(xué)生掌握一元二次方程的解

法：直接開平方法和配方法，領(lǐng)會降次一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度進行

探究的習(xí)慣和能力

2.公式法

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程：(難點)

2.會用公式法解一元二次方程；(重點)

一、情境導(dǎo)入

如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a#0),你能否用配方法求出它們的兩根,

請同學(xué)獨立完成下面這個問題.

問題：已知ax2+bx+c=0(a±0)且b2—4ac20,試推導(dǎo)它的兩個根x1=,x2=.

二、合作探究

探究點一：一元二次方程的求根公式

/方程3x2—8=7x化為一般形式是__________,其中a=,b=,c=

.方程的根為.

解析：將方程移項化為3x2-7x-8=0.其中a=3,b=-7,c=-8.因為b2-4ac=49-4

X3X(—8)=l45>0,代入求根公式可得x=.故答案為3x2-7x—8=0,3,—7,—8,x=.

方法總結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0(a手0)的根是由方程的系數(shù)a,b,c確定的,只要

確定了系數(shù)a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

探究點二：用公式法解一元二次方程

/用公式法解下列方程：

⑴-3f—5x+2=0；

(2)2F+3x+3=0；

(3)3/一12x+3=0.

解:(1)將一3*2—5*+2=0兩邊同乘以一1得3*2+5乂-2=?！?飛=3加=53=-2,..山2

-4ac=52-4X3X(-2)=49>0./.x==,Axl=,x2=-2；

⑵???a=2,b=3,c=3,.??b2-4ac=32—4X2X3=9-24=-15V0,,??原方程沒有實數(shù)

根；

(3)Va=3,b=-12,c=3..,.b2-4ac=(-12)2-4X3X3=108./.x===2±,.-.xl=

2+,x2=2一.

方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時，首先應(yīng)將其變形為一般形式，然后確定公式中

a,b.c的值.再求出b2-4ac的值與“0”比較.最后利用求根公式求出方程的根(或說明其沒

有實數(shù)根).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

三、板書設(shè)計

?元.?次方程

的求根公式

一元二次方程的

解法(公式法)

用公式法解一

元二次方程

經(jīng)歷從用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程到解字母系數(shù)的一元二次方程，探

索求根公式，通過對公式的推導(dǎo)，認(rèn)識一元二次方程的求根公式適用于所有的一

元二次方程.體會數(shù)式通性，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.提高學(xué)生

的解方程的能力。

3.因式分解法

1.理解并掌握用因式分解法解方程的依據(jù)：(難點)

2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重點)

一、情境導(dǎo)入

我們知道ab=O.則a=0或b=0,類似的解方程(x+l)(x—1)=0時，可轉(zhuǎn)化為兩個一元

一次方程x+1=0或X-1=0來解，你能求(x+3)(x-5)=O的解嗎？

二、合作探究

探究點：用因式分解法解一元二次方程

[類型一]利用提公因式法分解因式解一元二次方程

/用因式分解法解下列方程：

(l)『+5x=0：

(2)(x—5)(x—6)=A—5.

解析：變形后方程右邊是零.左邊是能分解的多項式.可用因式分解法.

解:⑴原方程轉(zhuǎn)化為x(x+5)=0,

所以x=0或x+5=0,

所以原方程的解為xl=0,x2=—5；

⑵原方程轉(zhuǎn)化為(x-5)(x-6)-(x-5)=0,

所以(x-5)[(x-6)—1]=C,

所以(x-5)(x-7)=0,

所以x—5=0或x—7=0,

所以原方程的解為xl=5.x2=7.

方法總結(jié)：利用提公因式法時先將方程右邊化為0,觀察是否有公因式，若有公因式，就

能快速分解因式求解.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

[類型二]利用公式法分解因式解一元二次方程

/用公式法分解因式解下列方程：

(l)?-6x=-9；

(2)4(.r-3)2-25(A—2)2=d.

解:⑴原方程可變形為x2-6x+9=0,

則(x-3)2=0,

.*.x—3=0,

原方程的解為片=M=3；

(2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0.

[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0,

(7x—16)(—3x+4)=0,

???7x-16=0或-3x+4=0,

?,?原方程的解為解=,x2=.

方法總結(jié)；用因式分解汰解一元二次方程的一般步驟是；①將方程的右邊化為0;②將

方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每一個因式分別為零,就得到兩個一元一次方

程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第7題⑶(4)小題

三、板書設(shè)計

利用提公因式法分解'

：因式解一元i二次方程;

一元二次方程的解

法(因式分解法)

利用公式法分解因

式解一元二次方程

本節(jié)課通過學(xué)生自學(xué)探討一元二次方程的

解法，使他們知道分解因式是一元二次方程

中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法，它避免了復(fù)雜

的計算，提高了解題速度和準(zhǔn)確程度.牢牢

把握用因式分解法解一元二次方程的一般

步驟，通過練習(xí)加深學(xué)生用因式分解法解一

元二次方程的方法

17.3一元二次方程根的判別式

1.理解并掌握一元二次方程根的判別式，能運用判別式，在不解方程的前提下判斷一

元二次方程根的情況：(重點、難點)

2.通過?元二次方程根的情況的探究過程，體會從特殊到?般、猜想及分類討論的數(shù)學(xué)思

想，提高觀察、分析、歸納的能力.

一、情境導(dǎo)入

1.你能說出我們共學(xué)過哪幾種解一元二次方程的方法嗎？

2.能力展示：分組比賽解方程.

(1)X2+4=4X；

(2)『+2t=3：

(3)』一x+2=0.

3.發(fā)現(xiàn)問題

觀察上面三個方程的根的情況，你有什么發(fā)現(xiàn)？

二、合作探究

探究點：一元二次方程根的判別式

［類型一］利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

/已知一元二次方程x2+x=l,下列判斷正確的是()

A.該方程有兩個相等的實數(shù)根

B.該方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.該方程無實數(shù)根

D.該方程根的情況不確定

解析：原方程變形為x2+x—l=0.?.,b2—4ac=l—4XlX(-l)=5>0,...該方程有兩個

不相等的實數(shù)根.故選B.

方法總結(jié)：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的

情況時.要先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式ax2+bx+c=0(a豐0).當(dāng)b2-4ac>0時.方程有兩個

不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2—4ac=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2—4acV0時，方程無

實數(shù)根.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題

[類型二]根據(jù)一元二次方程根況確定字母的取值范圍

/若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x—1=0有兩個不相等的實數(shù)根.則k的取值范圍是

()

A.k>-lB.k>-l且kWO

C.k<lD.k<l且k#=0

解析：由根的判別式知.方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2-4ac>0.同時要求二次項

系數(shù)不為0,即解得k>—l且kHO.故選B.

易錯提醒：利