2024年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應(yīng)用23.2.3方向角問(wèn)題同步練習(xí)新版滬科版

PAGEPAGE123.2第3課時(shí)方向角問(wèn)題一、選擇題1．如圖36－K－1，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處，假如海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，那么海輪航行的路程AB是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里圖36－K－12．［2024·合肥包河區(qū)期末］如圖36－K－2，一只船沿正東方向航行，上午7時(shí)在燈塔A的正北方向C處，上午9時(shí)到達(dá)燈塔的北偏東60°的B處，已知船的航行速度為每小時(shí)20千米，那么A，B之間的距離是()A.eq\f(10\r(3),3)千米B.eq\f(20\r(3),3)千米C.eq\f(40\r(3),3)千米D.eq\f(80\r(3),3)千米圖36－K－23．［2024·百色］如圖36－K－3，在距離鐵軌200m的B處，視察由南寧開(kāi)往百色的“和諧號(hào)”動(dòng)車，當(dāng)動(dòng)車車頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10s后，動(dòng)車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這個(gè)時(shí)段動(dòng)車的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)m/sB．20(eq\r(3)－1)m/sC．200m/sD．300m/s圖36－K－34．［2024·合肥市廬江縣月考］如圖36－K－4，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔60海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為()A．30eq\r(2)海里B．30eq\r(3)海里C．60海里D．30eq\r(6)海里圖36－K－4二、填空題5．如圖36－K－5，C，D分別是一個(gè)湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD＝6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB＝________km.圖36－K－56．如圖36－K－6，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A動(dòng)身，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長(zhǎng))為_(kāi)_______.圖36－K－6三、解答題7．［2024·宣城期末］如圖36－K－7，A，B兩城市相距80km，現(xiàn)安排在這兩座城市間修建一條高速馬路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林愛(ài)護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林愛(ài)護(hù)區(qū)的范圍在以點(diǎn)P為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，則安排修建的這條高速馬路會(huì)不會(huì)穿過(guò)愛(ài)護(hù)區(qū)，為什么？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)圖36－K－78．［2024·蕪湖期末］如圖36－K－8，小島A在港口B的北偏東50°方向，小島C在港口B的北偏西25°方向，一艘輪船以每小時(shí)20海里的速度從港口B動(dòng)身向小島A航行，經(jīng)過(guò)5小時(shí)到達(dá)小島A，這時(shí)測(cè)得小島C在小島A的北偏西70°方向，求小島A距離小島C有多少海里．(結(jié)果精確到1海里．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖36－K－89．［2024·錦州］超速行駛是一種非常危急的違法駕駛行為．如圖36－K－9，在一條筆直的高速馬路MN上，小型車限速為每小時(shí)120千米，設(shè)置在馬路旁的超速監(jiān)測(cè)點(diǎn)C，現(xiàn)測(cè)得一輛小型車在監(jiān)測(cè)點(diǎn)C的南偏西30°方向的A處，7秒后，測(cè)得其在監(jiān)測(cè)點(diǎn)C的南偏東45°方向的B處，已知BC＝200米，B在A的北偏東75°方向，則這輛車超速了嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖36－K－910閱讀理解背景材料：近年來(lái)由于世界各國(guó)大力發(fā)展海洋經(jīng)濟(jì)、加強(qiáng)海洋實(shí)力開(kāi)發(fā)，海洋爭(zhēng)端也呈上升趨勢(shì)．為增加海洋執(zhí)法實(shí)力、維護(hù)海洋領(lǐng)土，近期我國(guó)多個(gè)部門(mén)聯(lián)合進(jìn)行護(hù)航、護(hù)漁演習(xí)．解決問(wèn)題：(1)如圖36－K－10，我國(guó)漁船(C)在某島海疆正被某國(guó)不明船只襲擾，“中國(guó)海政310”船(A)接到陸地指揮中心(B)護(hù)漁吩咐時(shí)，漁船(C)位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國(guó)海政310”船西南方向，“中國(guó)海政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，“中國(guó)海政310”船最大航速為20海里/時(shí)．依據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出“中國(guó)海政310”船趕往漁船所在位置進(jìn)行護(hù)漁至少須要多長(zhǎng)時(shí)間；(2)假如(1)中條件不變，此時(shí)位于“中國(guó)海政310”船(A)南偏東30°海疆有一某國(guó)軍艦(O)，AO＝560eq\r(2)海里，其火力打擊范圍是500海里，假如漁船沿著正南方向接著航行，是否會(huì)駛進(jìn)這只軍艦的打擊范圍？圖36－K－10

1．C2．[解析]D由題意，得CB＝40千米，∠BAC＝60°，則AB＝eq\f(40,sin60°)＝eq\f(80\r(3),3)(千米)．3．[解析]A過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD·tan∠ABD＝200eq\r(3)m；在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝200m，則AC＝AD＋CD＝(200＋200eq\r(3))m，這個(gè)時(shí)段動(dòng)車的平均速度為eq\f(200＋200\r(3),10)＝20(eq\r(3)＋1)m/s.4．[解析]A如圖，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C.在Rt△PAC中，∵PA＝60海里，∠PAC＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)AP＝30海里．在Rt△PBC中，∵CP＝30海里，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝eq\r(2)CP＝30eq\r(2)海里，即海輪所在的B處與燈塔P的距離為30eq\r(2)海里．5．[答案]3eq\r(3)[解析]過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，可求出DE＝3km，AB＝CE＝3eq\r(3)km.6．[答案]2eq\r(2)km[解析]如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，∴AD＝eq\f(1,2)OA＝2km.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2km，∴AB＝eq\r(2)AD＝2eq\r(2)km.即該船航行的距離(即AB的長(zhǎng))為2eq\r(2)km.故答案為2eq\r(2)km.7．解：不會(huì)穿過(guò)愛(ài)護(hù)區(qū)．理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖．由題意得AE∥PM∥BF，∴∠APM＝30°，∠BPM＝45°，∴PM＝eq\f(AM,tan∠APM)＝eq\r(3)AM，BM＝PM.設(shè)BM＝PM＝xkm，則AM＝eq\f(\r(3),3)xkm，eq\f(\r(3),3)x＋x＝80，解得x＝120－40eq\r(3)≈50.72＞50.故這條高速馬路不會(huì)穿過(guò)愛(ài)護(hù)區(qū)．8．解：由題意得，AB＝20×5＝100(海里)，∠ABC＝25°＋50°＝75°，∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，則∠C＝45°.如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，則BD＝AB·sin60°＝100×eq\f(\r(3),2)＝50eq\r(3)(海里)，AD＝AB·cos60°＝100×eq\f(1,2)＝50(海里)．在Rt△BCD中，∠C＝45°，則CD＝BD＝50eq\r(3)海里，∴AC＝AD＋CD＝50＋50eq\r(3)≈137(海里)．故小島A距離小島C約137海里．9．[解析]依據(jù)特別銳角構(gòu)造直角三角形，如圖，利用特別角的三角函數(shù)關(guān)系分段得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出汽車的速度，進(jìn)而可推斷這輛車是否超速．解：這輛車超速了．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.由題意易知∠ACB＝30°＋45°＝75°，∠CAB＝75°－30°＝45°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝60°.在Rt△BCD中，∵BC＝200米，∠ABC＝60°，∴BD＝BC·cos60°＝100米，CD＝BC·sin60°＝100eq\r(3)米． 在Rt△ACD中，∵∠CAB＝45°，∴AD＝CD＝100eq\r(3)米，∴AB＝AD＋BD＝(100eq\r(3)＋100)米，∴這輛車的速度為eq\f(100\r(3)＋100,7)≈39(m/s)．∵120km/h≈33.3(m/s)＜39m/s.∴這輛車超速了．10[解析](1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，通過(guò)AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°求出AD的長(zhǎng)；再通過(guò)AD的長(zhǎng)，∠DAC＝45°，求出AC的長(zhǎng)；依據(jù)路程和最大速度，求出“中國(guó)海政310”船趕往漁船所在位置至少須要的時(shí)間；(2)延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥OE于點(diǎn)F.將點(diǎn)O到航線BC的距離分為兩段EF，F(xiàn)O來(lái)求：一是證明EF＝AD，二是通過(guò)解直角三角形AOF，求出FO，再和殺傷半徑500海里作比較，從而推斷是否會(huì)駛進(jìn)這只軍艦的打擊范圍．解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝AB·sin60°＝eq\f(140\r(6),3)·eq\f(\r(3),2)＝70eq\r(2)(海里)．在Rt△ADC中，AD＝70eq\r(2)海里，∠ACD＝45°，∴AC＝70eq\r(2)×eq\r(2)＝140(海里)，∴“中國(guó)海政310”船趕往海船所在位置進(jìn)行護(hù)漁至少須要140÷20＝7(時(shí))．(2)如圖，延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC