概率論課件 CH5 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 學習資料

第五章大數(shù)定理與中心極限定理弱大數(shù)定律(辛欽大數(shù)定律)依概率收斂定義及性質(zhì)貝努利大數(shù)定律第一節(jié)大數(shù)定律

2

設隨機變量序列X1,X2,…相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學期E(Xi)=μ,i=1,2,…，D(Xk)=s2(k=1,2,...),則對于任意正數(shù)ε，有定理1（辛欽大數(shù)定律）辛欽一、弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定律）34證由于由契比雪夫不等式可得5在上式中令n,并注意到概率不能大于1,即得6E(X1)=E(X2)=...=E(Xn)=m.這種接近是概率意義下的接近.通俗地說,在定理的條件下,n個隨機變量的算術平均,當n無限增加時將幾乎變成一個常數(shù).

例

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.

設，k=1,2,…問對序列{Xk}能否應用大數(shù)定律？即對任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.7二、依概率收斂定義及性質(zhì)

定義性質(zhì)8定理1的另一種敘述:依概率收斂于。即

設隨機變量序列X1,X2,…相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學期E(Xi)=μ,

i=1,2,…，則序列9

設nA

是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)ε>0，有定理2（貝努里大數(shù)定律）或

伯努利證明10

證畢注

貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.(頻率的穩(wěn)定性)或11第二節(jié)中心極限定理中心極限定理例題課堂練習12

中心極限定理的客觀背景

在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布哪？13

如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大.則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.高斯當n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？14

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量.

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.1516二項分布的隨機變量可看作許多相互獨立的0-1分布的隨機變量之和,下面是當x~B(20,0.5)時,x的概率分布圖(演示)17泊松分布相當于二項分布中p很小n很大的分布,因此,參數(shù)l=np當很大時也相當于n特別大,這個時候泊松分布也近似服從正態(tài)分布,下面是l=30時的泊松概率分布圖.(演示)18在c2(n)分布中,如果自由度n很大,也可以認為是多個自由度為1的相互獨立的c2(1)分布的隨機變量的和,因此也近似服從正態(tài)分布.下面是c2(60)的概率密度曲線.x060120一、中心極限定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）19注203、雖然在一般情況下，我們很難求出

的分布的確切形式，但當n很大時，可以求出近似分布.21定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理)2223請注意:24定理3(棣莫佛－拉普拉斯（DeLaplace定理）

設隨機變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有證25

定理表明，當n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).即26二、例題例1于是解27例2.(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設開工率為0.6,并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?28用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，

解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗是觀察該臺車床在某時刻是否工作,工作的概率0.6,共進行200次獨立重復試驗.依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設需N臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）29由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里

np=120,np(1-p)=48由3σ準則，此項為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得30從中解得N≥141.5,即所求N=142.

也就是說,應供應142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故例331解323334例1

根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.三、課堂練習35由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920).設第i只元件的壽命為Xi

,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y

1920)=1-

(0.8)1-=1-0.7881=0.211936例2

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.

設，k=1,2,…至少應取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.37（1)解：設應取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：38欲使即查表得從中解得即至少應取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.