南京一中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)試卷及答案

高二數(shù)學(xué)試卷第頁（共4頁）南京一中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)2025．4命題人：雷蕾校對人：蔣文化審核人：蔣文化注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線l的方向向量為a＝(1，－1，λ)，平面α的一個法向量為n＝(－2，2，1)，若l⊥α，則λ的值為A．－2 B．－eq\f(1,2) C．1 D．42．?dāng)?shù)列－1，3，－7，15，…的一個通項公式可以是A．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*3．曲線y＝2eq\r(x)在x＝4處切線的斜率為A．4B．2C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)4．現(xiàn)有3位老師和3名學(xué)生站成一排，要求任何學(xué)生都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為A．144B．72C．36D．125．已知隨機(jī)變量X的分布列為X024Peq\f(1,3)meq\f(7,6)－2m則D(X)＝A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3) C．eq\f(17,9) D．eq\f(19,9)6．若圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16上恰好有4個不同的點(diǎn)到直線l：y＝kx的距離為3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A．(－eq\f(12,5)，0) B．(0，eq\f(12,5))C．(2－eq\f(2\r(,3),3)，2＋eq\f(2\r(,3),3)) D．(－2－eq\f(2\r(,3),3)，－2＋eq\f(2\r(,3),3))7．已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若∠FPA＝eq\f(π,3)，則|PF|＝A．2 B．2eq\r(,2)C．2eq\r(,3) D．48．已知(x＋m)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8(m∈R)，若a1＝27，則eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do6(i＝1))(iai)的值為A．3 B．22C．43 D．45二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，則A．當(dāng)A，B獨(dú)立時，P(A|B)＝P(A)B．當(dāng)A，B互斥時，P(A|B)＝P(B|A)C．P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝P(A)D．P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝110．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋3x，則A．當(dāng)a＝0時，f(x)在R上遞增B．當(dāng)a＝2時，f(x)有3個零點(diǎn)C．當(dāng)a＝2時，f(x)關(guān)于(2，eq\f(2,3))對稱D．當(dāng)a∈(－eq\r(,3)，eq\r(,3))時，f(x)有2個極值點(diǎn)11．定義：當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋an＋1＝k，當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋an＋1＝－k，k∈Z，則稱{an}為“回旋數(shù)列”．若{bn}為“回旋數(shù)列”，b1＝1，k＝3，設(shè){bn}的前n項和為Sn，從b1，b2，···，b2n中任意抽取兩個數(shù)，設(shè)兩個數(shù)之和大于0的概率為P2n，則A．b8＝20B．S2n＋1＝3n＋1C．P50＝eq\f(25,49)D．P2n＞eq\f(1,2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知{an}為等差數(shù)列，且2a1＋a4＝6，則a2＝eq\o(▲,________)．13．現(xiàn)有6本不同的書分配給甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外兩人每人得1本，則有eq\o(▲,________)種不同的分配方式．14．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)P為側(cè)面ABB1A1上的任意一點(diǎn)，則eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PC1,\s\up8(→))的取值范圍是eq\o(▲,________)．四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在(x－)n的展開式中，已知前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．（1）求展開式中二項式系數(shù)的最大值；（2）求展開式中所有的有理項．16．（本小題滿分15分）假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球與2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球與4個紅球，這些小球除顏色外完全相同．（1）從兩個盒子中分別取出一個球，求取到紅球的概率；（2）每次從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；（3）若先從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機(jī)取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率．17．（本小題滿分15分）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，且C過點(diǎn)（2，eq\r(2)）．（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)D(0，2)的直線l與C相交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，若△OEF的面積不小于2eq\r(2)，求直線l斜率的取值范圍．18．（本小題滿分17分）如圖①，在△ABC中，B＝90°，AB＝4，BC＝2，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，并連接PB，PC，得到四棱錐P－BCED，如圖②，設(shè)平面PDE∩平面PBC＝l．（1）求證：l//DE；（2）求證：平面PBD⊥平面PDE；（3）若點(diǎn)B到平面PDE的距離為eq\r(,3)，求平面PEC與平面PBD的夾角．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)f(x)＝x2－x－alnx．（1）當(dāng)a＝－1時，求f(x)＜0的解集；（2）若f(x)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)a∈N*，若f(x)＞(a－3)x，求a的最大值． 南京一中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)2025．4命題人：雷蕾校對人：蔣文化審核人：蔣文化注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線l的方向向量為a＝(1，－1，λ)，平面α的一個法向量為n＝(－2，2，1)，若l⊥α，則λ的值為A．－2 B．－eq\f(1,2) C．1 D．4【答案】B【解析】由l⊥α得a//n，所以，解得．故選B．2．?dāng)?shù)列－1，3，－7，15，…的一個通項公式可以是A．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*【答案】A【解析】數(shù)列各項正、負(fù)交替，故可用(－1)n來調(diào)節(jié)，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通項公式為an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*．3．曲線y＝2eq\r(x)在x＝4處切線的斜率為A．4B．2C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】因為y′＝2·eq\f(1,2eq\r(x))＝eq\f(1,eq\r(x))，所以曲線y＝2eq\r(x)在x＝4處切線的斜率為eq\f(1,2)．4．現(xiàn)有3位老師和3名學(xué)生站成一排，要求任何學(xué)生都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為A．144B．72C．36D．12【答案】A【解析】先將3位老師排好，有Aeq\o\al(3,3)種排法，形成4個空；再將3名學(xué)生插入4個空中，有Aeq\o\al(3,4)種排法，故共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)排法．5．已知隨機(jī)變量X的分布列為X024Peq\f(1,3)meq\f(7,6)－2m則D(X)＝A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3) C．eq\f(17,9) D．eq\f(19,9)【答案】C【解析】由分布列性質(zhì)知，，解得，則，則，，故選C．6．若圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16上恰好有4個不同的點(diǎn)到直線l：y＝kx的距離為3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A．(－eq\f(12,5)，0) B．(0，eq\f(12,5))C．(2－eq\f(2\r(,3),3)，2＋eq\f(2\r(,3),3)) D．(－2－eq\f(2\r(,3),3)，－2＋eq\f(2\r(,3),3))【答案】D【解析】由圓上恰好有4個不同的點(diǎn)到直線的距離為3，可知圓心到直線的距離，即1，所以，解得，故選D．7．已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若∠FPA＝eq\f(π,3)，則|PF|＝A．2 B．2eq\r(,2)C．2eq\r(,3) D．4【答案】D【解析】如圖，因為，所以，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因為，所以．因為，所以，所以在等邊中，．故選D．8．已知(x＋m)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8(m∈R)，若a1＝27，則eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do6(i＝1))(iai)的值為A．3 B．22C．43 D．45【答案】C【解析】已知，而，．．等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)可得，，再令，可得，即．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，則A．當(dāng)A，B獨(dú)立時，P(A|B)＝P(A)B．當(dāng)A，B互斥時，P(A|B)＝P(B|A)C．P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝P(A)D．P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1【答案】ABD【解析】若A，B獨(dú)立，則，，A正確；若A，B互斥，則，，，B正確；因為，C錯誤，D正確．故選ABD．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋3x，則A．當(dāng)a＝0時，f(x)在R上遞增B．當(dāng)a＝2時，f(x)有3個零點(diǎn)C．當(dāng)a＝2時，f(x)關(guān)于(2，eq\f(2,3))對稱D．當(dāng)a∈(－eq\r(,3)，eq\r(,3))時，f(x)有2個極值點(diǎn)【答案】AC【解析】對于A，，恒成立，故在R上遞增，A正確；對于B，令，得x＝0或x＝3，故B錯誤；對于C，，，故關(guān)于對稱，C正確；對于D，，當(dāng)時，，故恒成立，單調(diào)遞增，無極值，故D錯誤．故選AC．11．定義：當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋an＋1＝k，當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋an＋1＝－k，k∈Z，則稱{an}為“回旋數(shù)列”．若{bn}為“回旋數(shù)列”，b1＝1，k＝3，設(shè){bn}的前n項和為Sn，從b1，b2，···，b2n中任意抽取兩個數(shù)，設(shè)兩個數(shù)之和大于0的概率為P2n，則A．b8＝20B．S2n＋1＝3n＋1C．P50＝eq\f(25,49)D．P2n＞eq\f(1,2)【答案】ACD【解析】因為數(shù)列為“回旋數(shù)列”，，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，，故，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，故A正確；，所以，所以，故B錯誤；從，，，中任意抽取兩個數(shù)，有種取法，其中兩個數(shù)之和大于的取法包含取一個奇數(shù)項與它之后的所有偶數(shù)項，或取一個偶數(shù)項與它之后的所有偶數(shù)項，故有，所以，所以，故C正確；又，故D正確；故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知{an}為等差數(shù)列，且2a1＋a4＝6，則a2＝eq\o(▲,________)．【答案】2【解析】（方法一）設(shè)公差為d，則2a1＋a4＝2a1＋(a1＋3d)＝3(a1＋d)＝3a2＝6，所以a2＝2．（方法二）因為2a1＋a4＝2a1＋(2a3－a2)＝2(a1＋a3)－a2＝3a2＝6，所以a2＝2．13．現(xiàn)有6本不同的書分配給甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外兩人每人得1本，則有eq\o(▲,________)種不同的分配方式．【答案】90【解析】有序部分均勻分組問題：最后2本平均分成兩組，先選擇，再倍縮，有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)．14．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)P為側(cè)面ABB1A1上的任意一點(diǎn)，則eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PC1,\s\up8(→))的取值范圍是eq\o(▲,________)．【答案】【解析】（方法一）如圖取AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，，，，，，當(dāng)，且或時，取最大值4，當(dāng)，且時，取最小值2，所以的取值范圍為．（方法二）取CC1中點(diǎn)為D，由極化恒等式得，又，，所以的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在(x－)n的展開式中，已知前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．（1）求展開式中二項式系數(shù)的最大值；（2）求展開式中所有的有理項．解：（1）展開式中第項為，…………2分所以前三項系數(shù)的絕對值依次為，依題意有，，………………………3分即，整理得，解得（舍去）或．…5分由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中二項式系數(shù)的最大值為．……7分（2）由（1）知，，又，由可得，………………10分故展開式中的有理項為：，，．…………………13分16．（本小題滿分15分）假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球與2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球與4個紅球，這些小球除顏色外完全相同．（1）從兩個盒子中分別取出一個球，求取到紅球的概率；（2）每次從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；（3）若先從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機(jī)取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率．解：（1）記“取到紅球”為事件A，則，即取到紅球的概率為．…………4分（2）依題意，記事件表示第次從第一個盒子里取出紅球，記事件表示兩次取球中有紅球，則，……………………7分．即所求概率為．………………10分（3）記事件表示從第一個盒子里取出紅球，記事件表示從第一個盒子里取出白球，記事件表示從第二個盒子里取出紅球，則．即所求概率為．………………15分17．（本小題滿分15分）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，且C過點(diǎn)（2，eq\r(2)）．（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)D(0，2)的直線l與C相交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，若△OEF的面積不小于2eq\r(2)，求直線l斜率的取值范圍．解：（1）因為兩條漸近線互相垂直，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,4)＝1，即b＝a，…………………2分又過點(diǎn)（2，eq\r(2)），所以eq\f(4,a2)－eq\f(2,b2)＝1，解得a＝b＝eq\r(2)，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．…………5分（2）依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0．因為直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝－4k2＋4×61－k2＞0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠±1，,－\r(3)＜k＜\r(3)，))……7分所以k∈(－eq\r(3)，－1)∪(－1，1)∪(1，eq\r(3))．設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(4k,1－k2)，x1x2＝－eq\f(6,1－k2)，…………………9分所以EF＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(2)\r(3－k2),|1－k2|)．而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以S△OEF＝eq\f(1,2)d·EF＝eq\f(1,2)·eq\f(2,\r(1＋k2))·eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(2)\r(3－k2),|1－k2|)＝eq\f(2\r(2)\r(3－k2),|1－k2|)．…………12分若△OEF的面積不小于2eq\r(2)，即S△OEF≥2eq\r(2)，則eq\f(2\r(2)\r(3－k2),|1－k2|)≥2eq\r(2)，化簡得k4－k2－2≤0，解得－1≤k2≤2，所以－eq\r(2)≤k≤eq\r(2)．………………14分綜上，直線l的斜率的取值范圍為[－eq\r(2)，－1)∪(－1，1)∪(1，eq\r(2)]．…15分18．（本小題滿分17分）如圖①，在△ABC中，B＝90°，AB＝4，BC＝2，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，并連接PB，PC，得到四棱錐P－BCED，如圖②，設(shè)平面PDE∩平面PBC＝l．（1）求證：l//DE；（2）求證：平面PBD⊥平面PDE；（3）若點(diǎn)B到平面PDE的距離為eq\r(,3)，求平面PEC與平面PBD的夾角．解：（1）因為D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，………………2分又平面PDE，平面平面，所以．………………4分（2）因為，所以，由（1）知，，所以，在圖①中，，所以．………6分又，BD，平面PBD，所以平面PBD．又平面PDE，所以平面PBD⊥平面PDE．……………8分（3）如圖，過點(diǎn)B作，垂足為F．由（2）知，平面PBD⊥平面PDE，又平面平面，平面，所以平面PDE，所以點(diǎn)B到平面PDE的距離即為BF的長，即．………10分在中，，所以．又，所以是邊長為2的等邊三角形．取BD的中點(diǎn)O，連接OP，則，．由（1）知，平面PBD，又平面PBD，所以．又，BD，平面BCED，所以平面BCED．………12分（方法一）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OP所在直線分別為x軸、z軸，過O與DE平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面PEC的法向量為，則，令，得，，所以是平面PEC的一個法向量．…………14分又平面PBD，所以平面PBD的一個法向量為，所以，………16分所以平面PEC與平面PBD的夾角為eq\f(π,4)．………17分（方法二）以D為原點(diǎn)，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸，且以過點(diǎn)D與OP平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面PEC的法向量為，則，令，得，，所以是平面PEC的一個法向量．…………14分又是平面PBD的一個法向量，所以，………16分所以平面PEC與平面PBD的夾角為eq\f(π,4)．………17分19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)f(x)＝x2－x－alnx．（1）當(dāng)a＝－1時，求f(x)＜0的解集；（2）若f(x)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)a∈N*，若f(x)＞(a－3)x，求a的最大值．解：（1）當(dāng)a＝－1時，因為f(x)＝x2－x＋lnx，x＞0，所以f'(x)＝2x－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－x＋1,x)＝eq\f(2(x－eq\f(1,4))2＋eq\f(7,8),x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．………………2分又f(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)＜f(1)＝0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)＞f(1)＝0，故f(x)＜0的解集為(0，1)．………