數(shù)字信號(hào)處理 第三章 線性時(shí)不變系統(tǒng)學(xué)習(xí)資料

蔣朝輝jzh0903@中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院

中南大學(xué)控制工程研究所

數(shù)字信號(hào)處理

DigitalSignalProcessing,DSP

第三章：線性時(shí)不變系統(tǒng)3.1系統(tǒng)的基本概念3.2LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述3.3LTI系統(tǒng)的特征信號(hào)3.4LTI系統(tǒng)的分析3.1系統(tǒng)的基本概念3.1.1系統(tǒng)的定義3.1.2系統(tǒng)的分類3.1.3系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)：完成某些特定功能的整體，即對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行某種處理，實(shí)現(xiàn)某種功能的物理結(jié)構(gòu)。若用x(n)表示系統(tǒng)的輸入，y(n)表示系統(tǒng)的輸出，T[.]表示系統(tǒng)為了得到y(tǒng)(n)而對(duì)x(n)施加的處理，則系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系可表示為：或者表示為：

x(n)→y(n)其框圖如下所示：3.1.1系統(tǒng)的定義y(n)=T[x(n)]T

靜態(tài)系統(tǒng)或者無(wú)記憶系統(tǒng)：如果一個(gè)系統(tǒng)任意時(shí)刻的輸出至多至多取決于本時(shí)刻的輸入，而不依賴過(guò)去和將來(lái)時(shí)刻的輸入，比如放大器。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或者有以及系統(tǒng)：其他情況下的系統(tǒng)，如單位延時(shí)系統(tǒng)。一般系統(tǒng)都同時(shí)有輸入、輸出信號(hào)，但有的系統(tǒng)并沒(méi)有明顯的輸入信號(hào)，如信號(hào)發(fā)生器，此時(shí)的輸入可能是控制信號(hào)幅度和頻率等輸出信號(hào)參數(shù)的控制字；同樣，有的系統(tǒng)沒(méi)有明顯的輸出信號(hào)，如比較器，此時(shí)輸出的邏輯電平”0”或者“1”，用以判決輸入信號(hào)是否大于參考信號(hào)。本課程所討論的系統(tǒng)均指離散系統(tǒng)。3.1.1系統(tǒng)的定義現(xiàn)實(shí)世界的信號(hào)處理系統(tǒng)千差萬(wàn)別，多種多樣。為了更深入地理解系統(tǒng)，還需要分門別類地從多個(gè)角度來(lái)看一下各種系統(tǒng)。3.1.2系統(tǒng)的分類

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)T[.]，若輸入為x1(n)時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出為y1(n)，輸入為x2(n)時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出為y2(n)，即y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]設(shè)常數(shù)為a，若系統(tǒng)的輸入增大a倍，其輸出也增大a倍，即：T[ax1(n)]=ay1(n)，則稱該系統(tǒng)具有齊次性或者說(shuō)比例性.若系統(tǒng)的輸入為x1(n)與x2(n)之和，其輸出也為y1(n)與y2(n)之和，即T[x1(n)+x2(n)]=T[x1(n)]+T[x2(n)]==y1(n)+y2(n)則稱該系統(tǒng)具有可加性。如果一個(gè)系統(tǒng)既具有齊次性，又具有可加性，則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。如果將這兩個(gè)條件合在一起，線性系統(tǒng)滿足：T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)不滿足齊次性和可加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)必須同時(shí)滿足齊次性和可加性這兩個(gè)條件，只要有一條不滿足，就是非線性系統(tǒng)。對(duì)于任意的一個(gè)信號(hào)處理系統(tǒng)，其是否是線性系統(tǒng)，都需要按照上面給出的定義來(lái)判斷。比如，放大器是最常用的信號(hào)處理系統(tǒng)之一，其功能是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行一定倍數(shù)的放大或者衰減。用數(shù)學(xué)公式描述為y(n)=λx(n)，其中λ為放大系數(shù)。若λ>1，則表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行放大0<λ<1；若λ=1，則表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行衰減；若，則表示系統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)完全相等。對(duì)于放大器來(lái)說(shuō)，是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)呢？對(duì)于輸入信號(hào)x1(n)與x2(n)，相應(yīng)的輸出信號(hào)分別為：y1(n)=λx1(n)，y2(n)=λx2(n)先看齊次性，若輸入x3(n)=ax1(n)

，則y3(n)=λax1(n)=ay1(n)，滿足齊次性要求。再看可加性，若輸入x4(n)=x1(n)+x2(n)，則y4(n)=λ[x1(n)+x2(n)

]=y1(n)+

y2(n)，滿足可加性要求。因此，上圖所示的放大器系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。3.1.2系統(tǒng)的分類3.1.2系統(tǒng)的分類

時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不隨時(shí)間而變化，或者說(shuō)系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無(wú)關(guān)，即若設(shè)y(n)=T[x(n)]，則對(duì)于任意整數(shù)k，都有y(n-k)=T[x(n-k)]成立。不滿足上述條件的系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)。實(shí)際中，為了判定某個(gè)系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)，首先要根據(jù)輸入x(n)，計(jì)算出其輸出y(n)，然后x(n)將延時(shí)k個(gè)單位時(shí)間，在計(jì)算系統(tǒng)的輸出，記為y(n,k)，并將其與y(n)直接延時(shí)k個(gè)單位時(shí)間得到的y(n-k)相比較，若y(n,k)=y(n-k)，則系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)，否則為時(shí)變系統(tǒng)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制是信號(hào)處理的基本任務(wù)之一，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)等系統(tǒng)中，完成相應(yīng)功能的器件稱為調(diào)制器，用數(shù)學(xué)公式可以表示為y(n)=x(n)cos(ω0n)，其中cos(ω0n)稱為調(diào)制信號(hào)，ω0為調(diào)制頻率。如何判定該系統(tǒng)是否是時(shí)變系統(tǒng)？從定義開始，對(duì)于輸入信號(hào)x(n)，其輸出為y(n)=x(n)cos(ω0n)，如果將輸入延時(shí)k個(gè)單位，其對(duì)應(yīng)的輸出為y(n,k)=x(n-k)cos(ω0n)。將y(n)直接延時(shí)k個(gè)單位，有y(n-k)=x(n-k)cos[ω0(n-k)]顯然y(n,k)≠y(n-k)，因此調(diào)制器系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。3.1.2系統(tǒng)的分類

因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)：系統(tǒng)在任意時(shí)刻n的輸出僅取決于當(dāng)前和以前時(shí)刻的輸入，如x(n)、x(n-1)、x(n-2)、…,而與以后時(shí)刻的輸入x(n+1)、x(n+2)、…無(wú)關(guān)。用數(shù)學(xué)公式表示為：y(n)=T[x(n),x(n-1),x(n-2),…]。非因果系統(tǒng)：輸出不僅取決于當(dāng)前時(shí)刻和以前時(shí)刻的值，還取決于以后時(shí)刻的輸入。非因果系統(tǒng)在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵趯?shí)時(shí)信號(hào)處理中不可能觀察到信號(hào)在未來(lái)時(shí)刻的值。如果信號(hào)被存儲(chǔ)下來(lái)以便進(jìn)行事后處理，那么非因果系統(tǒng)是可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵谔幚磉^(guò)程中信號(hào)的所有值都是已知的。在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，本課程所討論的系統(tǒng)都是實(shí)時(shí)信號(hào)處理系統(tǒng)。3.1.2系統(tǒng)的分類

穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)輸入有界時(shí)，其輸出也是有界的。用數(shù)學(xué)公式可以描述為，如果存在有限的數(shù)Mx和My，使得|x(n)|<Mx<∞和|y(n)|<My<∞對(duì)所有的n都成立。不穩(wěn)定系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)輸入有界時(shí)，其輸出是無(wú)界的。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是必須考慮的一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)椴环€(wěn)定的系統(tǒng)通常會(huì)表現(xiàn)出不規(guī)律和極端的行為，并在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)導(dǎo)致溢出，這些都是我們不希望看到的線性時(shí)不變(LinearTimeInvariant，LTI)系統(tǒng)：既是線性系統(tǒng)，又是時(shí)不變系統(tǒng)。因果性和穩(wěn)定性是現(xiàn)實(shí)世界對(duì)實(shí)時(shí)信號(hào)處理系統(tǒng)的兩個(gè)約束條件。在為了完成某項(xiàng)特定的功能而設(shè)計(jì)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)時(shí)，要特別注意這兩個(gè)約束條件的影響。3.1.2系統(tǒng)的分類[例]判斷是否為線性系統(tǒng)？時(shí)不變系統(tǒng)？因果系統(tǒng)？穩(wěn)定系統(tǒng)？判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)要證明該系統(tǒng)同時(shí)滿足可加性和比例性該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)3.1.2系統(tǒng)的分類該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)3.1.3系統(tǒng)的互聯(lián)很多實(shí)際系統(tǒng)往往可以看成是由幾個(gè)子系統(tǒng)相互聯(lián)結(jié)而成。因此在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，就可以通過(guò)分析各子系統(tǒng)特性，以及他們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系來(lái)分析整個(gè)系統(tǒng)的特性。在進(jìn)行系統(tǒng)綜合時(shí)，也可以先得到簡(jiǎn)單的基本系統(tǒng)單元，再進(jìn)行有效聯(lián)結(jié)，以得到復(fù)雜的系統(tǒng)。系統(tǒng)聯(lián)結(jié)的方式很多，但基本形式可以概括為串聯(lián)、并聯(lián)和反饋3種形式3.2

LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述3.2.1差分方程3.2.2單位沖激響應(yīng)3.2.3兩類最常用的LTI系統(tǒng)3.2.1差分方程在連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域表示中，常用微分方程來(lái)進(jìn)行描述，在離散系統(tǒng)中，由于輸入/輸出都是離散信號(hào)，只有在n為整數(shù)的時(shí)刻才有意義，因此微分也就失去了意義，此時(shí)用差分來(lái)代替，與連續(xù)系統(tǒng)的微分方程類似，因果的LTI離散系統(tǒng)在時(shí)域可用如下的差分方程來(lái)描述：式中am、bm均為常數(shù)，也稱為常系數(shù)差分方程。從直觀上看，上式表明的是系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出，不僅與n以及n之前時(shí)刻的輸入有關(guān)，還與n之前時(shí)刻的輸出有關(guān)。在空曠的山谷中大呼小叫，回音陣陣，聽到的聲音不僅包括當(dāng)前發(fā)出的聲音，也包括之前發(fā)出聲音的回音。這時(shí)，回音數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)單地表述為：式中x(n)為當(dāng)前發(fā)出的聲音，y(n)為當(dāng)前時(shí)刻聽到的聲音。最簡(jiǎn)單的情況是只有一個(gè)回聲x(n-k)，k的取值和山谷的地理環(huán)境有關(guān)，bk是聲音傳播過(guò)程中的衰減。實(shí)際情況是回聲很復(fù)雜，和n以前多個(gè)時(shí)刻的值有關(guān)。這表明，現(xiàn)實(shí)世界中有些系統(tǒng)的輸出不僅和當(dāng)前時(shí)刻n的輸入有關(guān)，還與n之前時(shí)刻的輸入有關(guān)。3.2.1差分方程某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第n個(gè)月初的款數(shù)為y(n)，這個(gè)月初的存款為x(n),上個(gè)月初的款數(shù)為y(n-1)，利息為βy(n-1)，則y(n)=y(n-1)+βy(n-1)+x(n)，即y(n)-(1+β)y(n-1)=x(n)，若設(shè)開始存款月為x=0，則有y(0)=x(0)。上述方程就稱為y(n)與x(n)之間所滿足的差分方程。

所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。

上式為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的一般模型，可知y(n)由兩部分構(gòu)成，一部分是n以及n之前時(shí)刻的輸入，另外一部分是n之前時(shí)刻的輸出。根據(jù)線性系統(tǒng)疊加性的性質(zhì)，很容易想到，對(duì)y(n)的求解，可以先求出輸入為0情況下的輸出，這樣求解出來(lái)的結(jié)果稱為零輸入響應(yīng)。然后再求出n之前時(shí)刻的輸出均為0情況下的輸出，這樣求解出來(lái)的結(jié)果稱為零狀態(tài)響應(yīng)。最后再將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)相加，即得到系統(tǒng)的輸出。3.2.2單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)是另一種常用的LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述方法。單位沖激響應(yīng)：輸入信號(hào)為單位沖激信號(hào)δ(n)時(shí)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出，常用h(n)表示。為什么單位沖激響應(yīng)能表征一個(gè)LTI系統(tǒng)呢？LTI系統(tǒng)滿足疊加性原理，單位沖激信號(hào)δ(n)是一類最簡(jiǎn)單的信號(hào)，我們可以將任意一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)分解為多個(gè)類似δ(n)這樣的簡(jiǎn)單信號(hào)，通過(guò)考察系統(tǒng)對(duì)δ(n)這樣簡(jiǎn)單信號(hào)的輸出來(lái)認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的特性。對(duì)于任意一個(gè)離散信號(hào)x(n)，如圖所示當(dāng)n=k時(shí)，其取值為x(k)，用單位沖激信號(hào)來(lái)表示的話，可寫為x(k)=x(k)δ(n-k)=x(n)δ(n-k)，其中δ(n-k)表示單位沖激信號(hào)的延時(shí)。這樣，將x(n)與δ(n-k)相乘之后，所得到的信號(hào)除了在n=k處取值為x(k)之外，其余各點(diǎn)均為0，如圖c所示。如果重復(fù)進(jìn)行x(n)與δ(n-m)相乘，其中m是另一延時(shí)，m≠k，則所得到的信號(hào)僅在n=m處不為零，而在其余各處均為0，即信號(hào)x(n)與單位沖激信號(hào)的某個(gè)延時(shí)δ(n-m)相乘，實(shí)際上就是將信號(hào)x(n)在n=m處的單個(gè)值x(m)挑選出來(lái)。因此，如果在所有可能的延時(shí)外，即-∞<m<∞，都重復(fù)這樣的操作，然后把得到的結(jié)果相加，即可得到的另一種表達(dá)方式:這樣就將任意的一個(gè)信號(hào)分解為多個(gè)單位沖激信號(hào)的疊加。

3.2.2單位沖激響應(yīng)由LTI系統(tǒng)的特性可知，如果知道了系統(tǒng)對(duì)單位沖激信號(hào)δ(n)的輸出，那么就可以利用疊加性原理知道系統(tǒng)對(duì)任意復(fù)雜信號(hào)的輸出，即：這說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)δ(n)的響應(yīng)，也即是說(shuō)單位沖激響應(yīng)h(n)，是表征系統(tǒng)特性的一個(gè)基本方式，或者說(shuō)，通過(guò)h(n)可以了解一個(gè)系統(tǒng)。過(guò)程分析：先將任意復(fù)雜的信號(hào)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的信號(hào)，然后考察系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)單信號(hào)的響應(yīng)，最后通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單信號(hào)響應(yīng)的疊加，得到系統(tǒng)對(duì)任意復(fù)雜信號(hào)的輸出。單位沖激響應(yīng)h(n)是描述LTI系統(tǒng)最常用的方式。從h(n)這個(gè)角度，可以重新認(rèn)識(shí)一下因果性和穩(wěn)定性這個(gè)現(xiàn)實(shí)LTI系統(tǒng)的約束條件。前面已經(jīng)提到，系統(tǒng)因果性的要求是當(dāng)前的輸出只能與當(dāng)前的以及之前的輸入有關(guān)，而不能與將來(lái)的輸入有關(guān)，利用h(n)這個(gè)概念，系統(tǒng)的因果性可以表述為：h(n)=0，n<0h(n)是單位沖激信號(hào)作為輸入信號(hào)情況下的系統(tǒng)輸出，δ(n)是從零時(shí)刻才有值，如果此時(shí)h(n)在零時(shí)刻之前就有輸出的話，表明系統(tǒng)的輸出和將來(lái)時(shí)刻的輸入有關(guān)，明顯違背了因果性的要求。3.2.2單位沖激響應(yīng)前面已經(jīng)提到，系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求是輸入有界輸出有界(BoundInputBoundOutput，BIBO)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性有時(shí)也簡(jiǎn)稱BIBO特性。利用h(n)這個(gè)概念，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以表述為：即系統(tǒng)的穩(wěn)定性等效于h(n)的絕對(duì)可和。h(n)為我們認(rèn)識(shí)系統(tǒng)提供了一種非常簡(jiǎn)單的測(cè)試手段。在前面的分析過(guò)程可以看出，系統(tǒng)就像是一個(gè)黑匣子，等待我們?nèi)ソ忾_其中的奧秘。在可能的情況下，我們只需對(duì)系統(tǒng)施加一個(gè)最簡(jiǎn)單的單位沖激信號(hào)，只要觀察和記錄其對(duì)應(yīng)的輸出，不需要打開黑匣子觀察其具體的結(jié)構(gòu)，就可以完整地了解整個(gè)系統(tǒng)的情況。生活例子：挑選西瓜，有經(jīng)驗(yàn)的人一般是一手托著西瓜，另一只手敲打西瓜，然后通過(guò)聽西瓜發(fā)出的聲響來(lái)判斷西瓜的好壞。發(fā)出聲音比較清脆的一般是好瓜，聲音比較沉悶的一般就不是太好。這個(gè)過(guò)程就可以等效為尋找系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的過(guò)程。西瓜就可以看作是一個(gè)系統(tǒng)，而且是不能打開看其中構(gòu)造的黑匣子系統(tǒng)。敲打西瓜的過(guò)程就相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)單位沖激信號(hào)δ(n)的過(guò)程，聽聲音就相當(dāng)于觀察h(n)的過(guò)程。

實(shí)際上，確定系統(tǒng)h(n)的問(wèn)題也是一類常見的信號(hào)處理問(wèn)題——系統(tǒng)辨識(shí)。如果能夠?qū)ο到y(tǒng)施加單位沖激信號(hào)的話，系統(tǒng)辨識(shí)的問(wèn)題就相對(duì)簡(jiǎn)單。更常見的情況是，無(wú)法對(duì)系統(tǒng)施加輸入信號(hào)，只能通過(guò)觀察系統(tǒng)的輸出來(lái)確定系統(tǒng)的h(n)，這類問(wèn)題常稱為盲系統(tǒng)辨識(shí)。3.2.3兩類最常用的LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)分為兩類：有限沖激響應(yīng)(FiniteImpulseResponse,FIR)系統(tǒng)和無(wú)限沖激響應(yīng)(InfiniteImpulseResponse,IIR)系統(tǒng)FIR系統(tǒng)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)長(zhǎng)度有限，即h(n)只在某一有限的時(shí)間段內(nèi)的取值不為0，在這個(gè)時(shí)間段之外的取值均為0。以因果FIR系統(tǒng)為例，其單位沖激響應(yīng)可表示為：若用差分方程來(lái)描述的話，系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出僅和n時(shí)刻及以前N-1個(gè)時(shí)刻的輸入有關(guān)，用公式表示如下：3.2.3兩類最常用的LTI系統(tǒng)IIR系統(tǒng)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)，即h(n)的取值在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)都不為0。以因果IIR系統(tǒng)為例，其單位沖激響應(yīng)可表示為：若用差分方程來(lái)描述的話，系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出不僅和n時(shí)刻及以前時(shí)刻的輸入有關(guān)，還與以前時(shí)刻的輸出有關(guān)，用公式表示如下：在數(shù)字信號(hào)處理中，LTI系統(tǒng)常稱為濾波器，因此FIR系統(tǒng)也稱為FIR濾波器，IIR系統(tǒng)也稱為IIR濾波器。3.3

LTI系統(tǒng)的特征信號(hào)3.3.1復(fù)正弦信號(hào)3.3.2對(duì)單位沖激響應(yīng)的再理解

3.3.1復(fù)正弦信號(hào)在信號(hào)處理的背景下，是否有這么一個(gè)“特征不變量”來(lái)深刻地刻畫LTI系統(tǒng)的特點(diǎn)呢？答案就是“復(fù)正弦信號(hào)”，如何理解？對(duì)一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h(n)的LTI系統(tǒng)，若輸入信號(hào)為一復(fù)正弦信x(n)=ejω0n，其中ω0為頻率，根據(jù)式可知其輸出為對(duì)上式令k=n-m，可得可以看出λ為與x(n)無(wú)關(guān)的常數(shù)。由上面的式子可以看出系統(tǒng)的輸入/輸出有如下的關(guān)系：T[x(n)]=λx(n)

，該關(guān)系表征的是系統(tǒng)T[.]的特征值為λ和特征向量為x(n)=ejω0n，數(shù)字信號(hào)處理中稱為特征信號(hào)。

3.3.1復(fù)正弦信號(hào)復(fù)正弦信x(n)=ejω0n的頻率ω0為任意選定，即頻率ω為任意值的復(fù)正弦信號(hào)都滿足T[x(n)]=λx(n)

，因而都是LTI系統(tǒng)T[.]的特征信號(hào)。對(duì)不同的頻率ω，其特征值是不相同的。復(fù)正弦信號(hào)通過(guò)一個(gè)LTI系統(tǒng)后，其頻率保持不變。我們常希望在信號(hào)的傳播、存儲(chǔ)等各個(gè)處理環(huán)節(jié)頻率保持不變，而LTI系統(tǒng)有恰恰具備了頻率不變的特性，這正是LTI系統(tǒng)之所以特別重要的原因所在。因此，很自然地將信號(hào)分解為多個(gè)復(fù)正弦信號(hào)，然后研究系統(tǒng)對(duì)復(fù)正弦信號(hào)的輸出，最后再將系統(tǒng)對(duì)多個(gè)復(fù)正弦信號(hào)的響應(yīng)疊加，就可以得到任意輸入信號(hào)情況下系統(tǒng)的輸出。將信號(hào)分解為多個(gè)復(fù)正弦信號(hào)之和，然后再研究系統(tǒng)對(duì)復(fù)正弦信號(hào)響應(yīng)的研究方法，稱為傅里葉分析。對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行頻率分析的工具是傅里葉變換。對(duì)信號(hào)的頻率分析也稱為頻譜計(jì)算，對(duì)系統(tǒng)的頻率分析稱為頻率響應(yīng)。

3.3.1復(fù)正弦信號(hào)手機(jī)通話：兩部手機(jī)的通話過(guò)程可以等效為一個(gè)y(n)=Ax(n-τ)的系統(tǒng)，即對(duì)著主叫手機(jī)講話，在被叫手機(jī)能聽到和輸入相同的聲音，只是時(shí)間上可能有所延遲，聲音的大小上稍有不同。語(yǔ)音的辨別最主要依靠的就是頻率。例如男聲普遍低沉，主要是由于男聲的頻率普遍較低；女聲普遍高昂，主要是由于女聲的頻率普遍較高。我們肯定不希望自己的聲音在傳播后變調(diào)，讓男聲聽起來(lái)像女聲。設(shè)計(jì)良好的手機(jī)，在信號(hào)比較強(qiáng)的時(shí)候，能滿足這樣的要求。利用前面給出的定義，很容易證明該系統(tǒng)是一個(gè)LTI系統(tǒng)，這正是人們所希望。設(shè)計(jì)有缺陷的手機(jī)，或者在信號(hào)很差的情況下，聽到的聲音有很大的失真，這是人們所不希望的。高保真音樂(lè)：很多音樂(lè)發(fā)燒友對(duì)音質(zhì)要求很高，容不得一點(diǎn)雜音或者變調(diào)的聲音，這時(shí)候更要求所使用的播放器、傳輸線、音響等器材都具有很好的LTI特性，這樣可保證音頻信號(hào)就可以做到頻率不失真。這兩個(gè)例子說(shuō)明，LTI系統(tǒng)的確具有頻率不變性的特點(diǎn)，而且人們往往也有頻率不變的需求

3.3.1復(fù)正弦信號(hào)DVD看電影或者電視劇：情節(jié)冗長(zhǎng)拖沓等感覺(jué)沒(méi)意思的地方，最通常的選擇就是快進(jìn)。在快進(jìn)播放的時(shí)候，能聽到這時(shí)的聲音比較尖，嘰里呱啦的，已經(jīng)不再是正常的聲音了。這是因?yàn)?，?duì)于DVD音頻播放系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，正常播放時(shí)可用y(n)=x(n)這個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)來(lái)描述，其中x(n)表示播放系統(tǒng)的輸入，y(n)表示播放系統(tǒng)的輸出。利用前面的定義和方法，很容易證明該系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)，所播放的聲音聽起來(lái)沒(méi)有失真，即頻率不變。在快進(jìn)的時(shí)候，假定播放速度增加一倍，則快進(jìn)播放過(guò)程可描述為y(n)=x(2n)，這個(gè)系統(tǒng)還是LTI系統(tǒng)嗎？線性？當(dāng)輸入分別為x1(n)、x2(n)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的輸出分別為y1(n)=x1(2n)、y2(n)=x2(2n)，若輸入信號(hào)為x3(n)=a1x1(n)+a2x2(n)，則對(duì)應(yīng)的輸出為y3(n)=a1x1(2n)+a2x2(2n)=a1y1(n)+a2y2(n)，這表明，快進(jìn)播放系統(tǒng)滿足線性的條件，是一個(gè)線性系統(tǒng)。時(shí)不變性？輸入為x(n)時(shí)y(n)=x(2n)。將輸入信號(hào)延時(shí)k個(gè)時(shí)間單位后，對(duì)應(yīng)的輸出為y(n,k)=x(2n-k)，而直接將y(n)延時(shí)k個(gè)時(shí)間單位后得到y(tǒng)(n-k)=x(2n-2k)，顯然y(n,k)≠y(n-k)。這表明，快進(jìn)播放系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)?？爝M(jìn)播放系統(tǒng)y(n)=x(2n)不滿足LTI系統(tǒng)的要求，因此不是一個(gè)LTI系統(tǒng)。從理論上分析，快進(jìn)播放的過(guò)程等效于將信號(hào)的頻率提高了一倍，這與實(shí)際中快進(jìn)播放時(shí)聽到的聲音頻率比較尖銳相一致，因?yàn)樾盘?hào)已經(jīng)完全失真。這也表明非LTI系統(tǒng)沒(méi)有頻率不變的特性。

3.3.2對(duì)單位沖激相應(yīng)的再理解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)完全表征了一個(gè)LTI系統(tǒng)不管是時(shí)域上將信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)，然后用單位沖激響應(yīng)來(lái)表征系統(tǒng)，還是在頻域上將信號(hào)分解成復(fù)正弦信號(hào)，然后用頻率響應(yīng)來(lái)表征系統(tǒng)，所描述的都是同一個(gè)問(wèn)題，因此具有等效性。前面已經(jīng)討論過(guò)，單位沖激信號(hào)的頻譜，在所有頻率上都為1。從LTI系統(tǒng)特征信號(hào)的角度，對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)單位沖激信號(hào)，就相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)輸入所有頻率的復(fù)正弦信號(hào)。單位沖激響應(yīng)就表征了系統(tǒng)對(duì)所有頻率的響應(yīng)，因此單位沖激響應(yīng)也就很自然地表征了一個(gè)LTI系統(tǒng)。無(wú)論將信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)，還是分解為復(fù)正弦信號(hào)，其背后解決問(wèn)題的方法都完全一致：先將復(fù)雜信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)或者復(fù)正弦信號(hào)，然后在考察系統(tǒng)對(duì)當(dāng)個(gè)信號(hào)的響應(yīng)，最后再利用LTI系統(tǒng)的疊加性和時(shí)不變性，將多個(gè)簡(jiǎn)單信號(hào)的響應(yīng)疊加，得到系統(tǒng)對(duì)任意復(fù)雜信號(hào)的響應(yīng)。兩種不同的信號(hào)分解方法，導(dǎo)致對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的不同分析方式，雖然表現(xiàn)形式完全不同，背后的物理意義也有所差別，但兩者卻有很強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系——時(shí)域與頻域的互易性。3.4

LTI系統(tǒng)的分析3.4.1Z變換的定義3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)3.4.3零極圖3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解3.4.6兩種特殊LTI系統(tǒng)的分析3.4.1

Z變換的定義對(duì)于LTI系統(tǒng)，如果從信號(hào)的單位沖激信號(hào)分解的角度，可以從時(shí)域來(lái)分析；如果從信號(hào)的復(fù)正弦信號(hào)的分解角度，可以從頻域來(lái)分析；當(dāng)然也可以利用解差分方程的方法來(lái)分析。本節(jié)將引入一種新的工具，即Z變換，利用這個(gè)工具，將架起上述三種分析方法的橋梁，使得LTI系統(tǒng)的分析變得簡(jiǎn)練、直觀、有效。Z變換是一種非常數(shù)學(xué)化的工具，其定義及作用都與連續(xù)系統(tǒng)分析中的拉普拉斯變換非常類似。雖然Z變換是從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)引入的，但利用這個(gè)方法，可以讓LTI系統(tǒng)的分析變得很直觀。3.4.1

Z變換的定義從DTFT到z變換序列的傅里葉變換其存在的充分條件是序列絕對(duì)可和，對(duì)于不滿足絕對(duì)可和的x(n)，乘以衰減因子r-n(r

為正實(shí)常數(shù)

)，使得x(n)r-n

滿足絕對(duì)可和，則令z=r

e

j

(r>0)，則Z為復(fù)變量，為方便，x(n)的z變換也常用如下公式表示：3.4.1

Z變換的定義相應(yīng)的即令z=r

e

j

(r>0)，則d

z=j

r

e

j

d

=j

z

d

的積分區(qū)間為(

-

,

)，對(duì)應(yīng)的復(fù)變量z

=r

e

j

的積分就是沿一條閉合曲線C的曲線積分，即3.4.1

Z變換的定義很明顯，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，式所示的X(z)就是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題，并非所有的無(wú)窮級(jí)數(shù)都是收斂的，或者說(shuō)并非所有的無(wú)窮級(jí)數(shù)都是可以求和的。對(duì)給定的信號(hào)x(n)，由上面所定義的Z變換X(z)并不總是存在的。對(duì)于x(n)，X(z)有限時(shí)，z的取值范圍稱為收斂域(RegionofConvergence,ROC)。從數(shù)學(xué)概念上講，當(dāng)涉及z變換時(shí)，應(yīng)當(dāng)指出他的收斂域，因?yàn)槿绻麤](méi)有其他條件的約束，不同的信號(hào)，其X(z)的表達(dá)式可能相同，但收斂域不同。只有給定了收斂域的X(z)，才和x(n)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。實(shí)際上，現(xiàn)實(shí)中處理的信號(hào)一般都是因果信號(hào)，而且實(shí)時(shí)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，因此有單邊z變換：在這種情況下，即便不指出z變換的收斂域，x(n)和X(z)之間也存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就是一般討論具體問(wèn)題時(shí)，不必另外指明收斂域的原因所在。3.4.1

Z變換的定義為了加深對(duì)Z變換的理解，通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明例1：?jiǎn)挝粵_激信號(hào)δ(n)的z變換很顯然，無(wú)論z的取值如何，X(z)都是存在的，即此時(shí)的收斂域是整個(gè)z平面。δ(n)的z變換很簡(jiǎn)單，無(wú)論z的取值為多少，其值都為1.例2：復(fù)正弦信號(hào)ejωn的z變換很顯然，上式中X(z)存在的條件是，也就是說(shuō)收斂域。下表列出了典型信號(hào)的Z變換及其對(duì)應(yīng)的收斂域，在后面的討論中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，說(shuō)的Z變換都是值下表所定義的單邊Z變化，因此不再單獨(dú)指出其對(duì)應(yīng)的收斂域。3.4.1

Z變換的定義3.4.1

Z變換的定義已知一個(gè)信號(hào)的z變換如下，求其對(duì)應(yīng)的逆變換，也即求對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)。為簡(jiǎn)單起見，將上式分子分母都乘以z2，得到：

由上表可知，上式最好能做如下變形式中，a和b是未知常數(shù)。利用待定系數(shù)法可以得到a=1,b=-1，因此上式又可以寫為根據(jù)上表，可以得到X（z）的逆變換為：3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)在了解了Z變換的基本概念之后，接下來(lái)的問(wèn)題就是如何利用Z變換來(lái)分析一個(gè)LTI系統(tǒng)。在前面多次強(qiáng)調(diào)，一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)可以完全表征系統(tǒng)本身，其Z變換為：

在后面的討論中將會(huì)看到，由上式定義的H(z)也是一個(gè)非常重要的概念，在信號(hào)處理中給它取了一個(gè)專用名稱，即系統(tǒng)傳遞函數(shù)，也稱為系統(tǒng)函數(shù)或者傳遞函數(shù)。

在前面提到，當(dāng)系統(tǒng)用h(n)表征時(shí)，其輸入/輸出關(guān)系可以表達(dá)成：

于是在Z變換的背景下，上式可變?yōu)椋?.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)在因果信號(hào)和因果系統(tǒng)的背景下，上式可以變?yōu)?/p>

上式可做一個(gè)簡(jiǎn)單的變形，即可得到：再令k=n-m，上式則變?yōu)椋哼@表明，通過(guò)Z變換，將系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系由上式復(fù)雜求和變成了簡(jiǎn)單的相乘，這無(wú)疑給分析帶來(lái)了方便。3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)根據(jù)上式，還可以用下面這種方式來(lái)定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)這個(gè)定義雖然和前面的定義看起來(lái)有點(diǎn)不太相同，一個(gè)是從h(n)直接求Z變換的角度得到的，一個(gè)是從系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系得到的。但這兩者所代表的意義是完全相同的。一個(gè)LTI系統(tǒng)可以用常系數(shù)差分方程來(lái)描述，在Z變換的背景下，這個(gè)常系數(shù)差分方程又有怎么樣的理解呢？為了解釋這個(gè)問(wèn)題，先了解一下Z變換的一個(gè)位移特性。假定已經(jīng)知道x(n)對(duì)應(yīng)的Z變換為X(z),那么x(n-1)的Z變換可以表示成：上式表明，對(duì)信號(hào)x(n)進(jìn)行單位延時(shí)，其對(duì)應(yīng)的z變換乘以z-1。這也是前面介紹延時(shí)運(yùn)算時(shí)，用z-1表示單位延時(shí)的原因。擴(kuò)展到k個(gè)單位延時(shí)的情況，有：3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)有了這個(gè)基礎(chǔ)再來(lái)分析常系數(shù)差分方程，對(duì)其兩邊進(jìn)行Z變換，有：對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的合并，可以得到：這表明，利用Z變換這個(gè)工具，可以很方便的從系統(tǒng)的差分方程得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)，從而可以很方便的得到h(n)。也就是說(shuō)利用Z變換，可以很方便的在h(n)與差分方程之間切換。由此可以看出，Z變換這個(gè)工具，的確在LTI系統(tǒng)的不同描述方法之間架起了橋梁。3.4.3零極圖根據(jù)前面的討論可知，用Z變換的方法，一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性可以用傳遞函數(shù)H(z)來(lái)描述。通過(guò)H(z)，我們?nèi)绾蝸?lái)分析系統(tǒng)呢？本節(jié)將要介紹的零極圖就是建立在Z變換的基礎(chǔ)上的直觀分析工具。從前面可以看出，H(z)是復(fù)變量z-1的多項(xiàng)式之比。為了分析方便，可以將改寫為

式中，N(z)表示分子多項(xiàng)式，D(z)表示分母多項(xiàng)式。3.4.3零極圖系統(tǒng)的零極點(diǎn)是指滿足分子多項(xiàng)式N(z)=0的z值，通常用zk表示第k個(gè)零點(diǎn)。系統(tǒng)的極點(diǎn)是指滿足分母多項(xiàng)式D(z)=0的z值，通常用pk表示第k個(gè)極點(diǎn)。由數(shù)學(xué)的基本知識(shí)可以知道，

N(z)和

D(z)都可以進(jìn)行因式分解，上式可變?yōu)椋菏街蠯=b0，也稱為系統(tǒng)的零極點(diǎn)表達(dá)式，由此看出，除了參數(shù)K以外，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由他全部的零極點(diǎn)來(lái)唯一確定，因此也可以說(shuō)零極點(diǎn)是一種描述系統(tǒng)的方法,根據(jù)系統(tǒng)的零，極點(diǎn)分布，就可以大致了解系統(tǒng)的特性。這里需要說(shuō)明的是，零，極點(diǎn)可能是實(shí)數(shù)，純虛數(shù)或者負(fù)數(shù)，由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母各項(xiàng)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以零極點(diǎn)若為虛數(shù)或者負(fù)數(shù)則一定是共軛成對(duì)出現(xiàn)。將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)全部標(biāo)注在z平面上得到的圖形，稱為系統(tǒng)的零級(jí)圖。如圖所示：圖中用“×”表示極點(diǎn)，“。”表示零點(diǎn)。對(duì)于圖中的例子，極點(diǎn)在z=0.6±j0.5和z=-0.8,零點(diǎn)在z=0.6±j0.3和z=0.43.4.3零極圖零極點(diǎn)一個(gè)很重要的特征是單位圓，即由Z=|1|所定義的圓，后面的討論中將會(huì)看到，單位圓在系統(tǒng)的分析中起著非常重要的作用。由前面的討論，若想用零極點(diǎn)的方法來(lái)描述和分析系統(tǒng)，最關(guān)鍵的是計(jì)算分子多項(xiàng)式N(z)和分母多項(xiàng)式D(z)的根，對(duì)于簡(jiǎn)單的一階及二階多項(xiàng)式，還可以很方便地計(jì)算出多項(xiàng)式的根，但對(duì)于三階以上的高階多項(xiàng)式，求根是一個(gè)很困難的任務(wù)，在實(shí)際中常常是利用數(shù)值計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)。在后續(xù)的分析中會(huì)再進(jìn)一步介紹下面看一下用零級(jí)圖是如何分析系統(tǒng)的？3.4.3零極圖通過(guò)前面的討論可知，系統(tǒng)函數(shù)H(z)是單位沖激響應(yīng)h(n)的Z變換。而對(duì)H(z)而言，除了常數(shù)k以外，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零，極點(diǎn)來(lái)唯一確定，因此h(n)的特性也可以由零極圖來(lái)大致確定。下面以系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為單階極點(diǎn)這種比較普遍的情況為例來(lái)說(shuō)明。若系統(tǒng)只有一個(gè)一階實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)函數(shù)有如下的形式：從零極圖看單位脈沖響應(yīng)式中，K為常數(shù)，z=a為系統(tǒng)極點(diǎn)，由表可知它所對(duì)應(yīng)的單位沖激響應(yīng)形式為:右圖給出了a在不同取值情況下的h(n)當(dāng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，h(n)隨著n的增加而逐步衰減；當(dāng)極點(diǎn)在單位圓上時(shí)，h(n)為常數(shù)；當(dāng)極點(diǎn)在單位圓外時(shí)，h(n)隨著n的增加而逐步放大；當(dāng)極點(diǎn)為負(fù)數(shù)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致h(n)在正數(shù)與負(fù)數(shù)之間交替變化；當(dāng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，則極點(diǎn)越靠近單位圓，h(n)衰減越慢，反之亦反之；當(dāng)極點(diǎn)在單位員外時(shí)，則極點(diǎn)越靠近單位圓，h(n)放大越慢，反之亦反之。單位沖激響應(yīng)h(n)的形狀主要由極點(diǎn)決定3.4.3零極圖前面分析了極點(diǎn)為實(shí)數(shù)時(shí)的情況，下面再來(lái)看極點(diǎn)為復(fù)數(shù)時(shí)的情況。若系統(tǒng)有兩個(gè)共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)函數(shù)可寫為：從零極圖看單位脈沖響應(yīng)式中，c為與系統(tǒng)零點(diǎn)有關(guān)的復(fù)數(shù)，c*為c的共軛，表示系統(tǒng)極點(diǎn)。因此，由z反變換可知其對(duì)應(yīng)的單位沖激響應(yīng)的形式為：式中，K、θ為常數(shù)，與系統(tǒng)的零點(diǎn)有關(guān)。由由上圖可知，

h(n)的形狀主要取決于極點(diǎn)與單位圓的關(guān)系。系統(tǒng)的零點(diǎn)對(duì)h(n)也會(huì)有影響，單相對(duì)極點(diǎn)來(lái)說(shuō)影響小得多。從上式可以看出零點(diǎn)主要影響h(n)的幅度和相位。從上面的討論可知，系統(tǒng)的零極圖確實(shí)可以很直觀地反映單位沖激響應(yīng)h(n)的形狀。3.4.3零極圖現(xiàn)實(shí)中的實(shí)時(shí)信號(hào)處理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，在介紹Z變換定義是已指出，對(duì)于因果系統(tǒng)，即便不指明收斂域，h(n)及其對(duì)應(yīng)的Z變換H(z)之間也存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，怎么理解？假定∣z

∣=r0是在收斂域內(nèi)，即那么，如果r1>r0，則有這說(shuō)明，系統(tǒng)在∣z

∣=r1處必定在收斂域內(nèi).從零極圖看系統(tǒng)因果性從直觀上來(lái)理解，因?yàn)閞1-n的衰減程度比r0-n更高。上面兩式表明，對(duì)因果序列而言，其收斂域必定是從某個(gè)圓開始，一直到z=∞處的區(qū)域，即∣z

∣>rk，如右圖所示。這個(gè)rk又是如何確定的？與零、極點(diǎn)是否有關(guān)系？從系統(tǒng)極點(diǎn)的定義可知，所謂極點(diǎn)指的是H(z)=∞時(shí)z的取值，此時(shí)顯然H(z)不收斂。因此，因果系統(tǒng)的收斂域必定不能包含任意一個(gè)極點(diǎn)。若用rm表示系統(tǒng)所有的極點(diǎn)當(dāng)中離單位圓圓心最遠(yuǎn)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的半徑，即，那么，當(dāng)∣z

∣>rm時(shí)，H(z)都收斂，如右圖中的陰影部分為收斂域。這說(shuō)明只要知道一個(gè)因果系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，該系統(tǒng)的收斂域就完全確定了，而極點(diǎn)的取值是直接從H(z)得到的。H(z)確定，極點(diǎn)就確定，收斂域就確定，可得到唯一的h(n)，這就是對(duì)因果系統(tǒng)不必再額外指明收斂域的原因。3.4.3零極圖系統(tǒng)的穩(wěn)定性等效于h(n)絕對(duì)可和，即。如何從零極圖上來(lái)理解系統(tǒng)的穩(wěn)定性？由z變換定義可知，只有當(dāng)H(z)的收斂域包含單位圓∣z

∣=1時(shí)，h(n)絕對(duì)可和，這時(shí)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。從系統(tǒng)的因果性可知，因果系統(tǒng)的收斂域與離單位圓圓心最遠(yuǎn)的極點(diǎn)有關(guān)。要保證單位圓在收斂域內(nèi)，必須要保證離單位圓圓心最遠(yuǎn)的極點(diǎn)值要小于1。這也就要求所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，此時(shí)h(n)絕對(duì)可和，從而系統(tǒng)穩(wěn)定。從零極圖上，只要觀察極點(diǎn)與單位圓之間的關(guān)系就可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這使得系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷變得非常直觀，為數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大的方便。實(shí)際上，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與單位圓的這種關(guān)系，還可以從另外一個(gè)角度理解。先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的單極點(diǎn)系統(tǒng)：利用H(z)與差分方程之間的關(guān)系，可以很容易寫出這個(gè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的差分方程如下：從零極圖看系統(tǒng)穩(wěn)定性3.4.3零極圖很顯然，這個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)處理過(guò)程如下：系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸出是當(dāng)前時(shí)刻的輸入加上2倍系統(tǒng)上一時(shí)刻輸出。這個(gè)系統(tǒng)顯然是不穩(wěn)定的，因?yàn)楫?dāng)前的輸出需要放大上一個(gè)時(shí)刻的輸出，這也就是說(shuō)，系統(tǒng)存在自激過(guò)程，從概念上可以理解，自激過(guò)程是不穩(wěn)定的。從分析極點(diǎn)的角度看，這個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)是2，在單位圓外，與零極圖的分析是一致的。極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的要求，對(duì)一階極點(diǎn)而言，實(shí)際上就是直觀上要求系統(tǒng)不能自激。對(duì)于高階極點(diǎn)的情況，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，高階極點(diǎn)可以進(jìn)行因式分解，即高階極點(diǎn)可以分解成一個(gè)一階極點(diǎn)并聯(lián)或者串聯(lián)而成的系統(tǒng)，在這樣的系統(tǒng)中只要有一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，整個(gè)系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。這與零極圖上要求的所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)是對(duì)應(yīng)的。對(duì)于更一般的既包含零點(diǎn)又包含極點(diǎn)的系統(tǒng)，可以看成一個(gè)全零點(diǎn)系統(tǒng)和全極點(diǎn)系統(tǒng)串聯(lián)而成，與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無(wú)關(guān)，其穩(wěn)定性分析和結(jié)論與高階全極點(diǎn)系統(tǒng)完全一致。從零極圖看系統(tǒng)穩(wěn)定性3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)在前面的討論中已經(jīng)知道復(fù)正弦信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征信號(hào)，其對(duì)應(yīng)的特征值我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)討論過(guò)了，這個(gè)特征值也稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，從這個(gè)角度也是理解和分析LTI系統(tǒng)的一個(gè)重要方面。頻率響應(yīng)也是數(shù)字信號(hào)處理中非常重要的一個(gè)概念，通常用H(ejω)表示，考慮到實(shí)際系統(tǒng)的因果性可以將改寫成更一般的表達(dá)式：此式是從h(n)計(jì)算頻率響應(yīng)H(ejω)

的一般公式，通常也稱為h(n)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)。從H(ejω)計(jì)算h(n)通常稱為逆傅里葉變換，用數(shù)學(xué)公式表示如下：頻率響應(yīng)H(ejω)一般為復(fù)數(shù)，可用它的實(shí)部和虛部來(lái)表示：ω3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)也可以用幅度和相位來(lái)表示：上式中

|H(ejω)|稱為幅度響應(yīng)，有時(shí)也稱為幅頻響應(yīng)或幅頻特性。φ(ω)稱為相位響應(yīng)，有時(shí)候也稱為相頻響應(yīng)或者相頻特性，正如h(n)完全表征了LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性一般，H(ejω)完全表征了LTI系統(tǒng)的頻域特性。幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)則分別代表了H(ejω)的某一個(gè)方面，兩者合起來(lái)才是對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的完整描述。ω幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)與實(shí)部虛部的關(guān)系如下：它所表征的是系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)幅度的放大或者衰減，下圖給出了一個(gè)LTI系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，這是一個(gè)理想的低通濾波器，可以看出，當(dāng)信號(hào)頻率-ωc

~ωc，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)是1，此時(shí)信號(hào)完全通過(guò)系統(tǒng)，當(dāng)信號(hào)頻率小于-ωc或大于ωc時(shí)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)是0，此時(shí)信號(hào)被完全抑制，這表明系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)實(shí)際上是表示了LTI系統(tǒng)的頻率選擇性。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)越大，則對(duì)應(yīng)的頻率信號(hào)的選擇性越好，此時(shí)信號(hào)能更好地通過(guò)系統(tǒng)，頻率響應(yīng)越小，則對(duì)應(yīng)頻率信號(hào)的選擇性越差，此時(shí)信號(hào)更難通過(guò)系統(tǒng)。從圖中可以看到幅頻響應(yīng)是周期性的，并且周期為2π，這點(diǎn)非常好理解，可以從數(shù)學(xué)公式上看：顯然H(ejω)具有周期性，并且周期為2π，因此很自然的得到，幅頻響應(yīng)也具有相同的周期性。另一方面，離散系統(tǒng)可以看作是從對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)采樣得到的，前面已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，時(shí)域的采樣等效于頻域的周期延拓，采樣頻率?s對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率就是2π，因此離散LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是周期性的，且周期為2π。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω幅頻響應(yīng)從上圖還可以得出幅頻響應(yīng)具有偶對(duì)稱的性質(zhì)，即|H(ejω)|=|H(e-jω)|，實(shí)際上，對(duì)于實(shí)系數(shù)的h(n)，幅頻響應(yīng)都具有偶對(duì)稱的性質(zhì)，這點(diǎn)在數(shù)學(xué)方面很容易證明。關(guān)于幅頻響應(yīng)還需要說(shuō)明，在工程實(shí)際中，幅頻響應(yīng)通常都是以dB為單位，這樣還需要取對(duì)數(shù)：另外就是在分析具體問(wèn)題的時(shí)候，通常只考慮一個(gè)周期內(nèi)的幅頻響應(yīng)，這是因?yàn)椴蓸佣ɡ肀ＷC了有用的信號(hào)頻譜都在一個(gè)周期內(nèi)。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)與實(shí)部、虛部的關(guān)系如下：它所表征的是系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)相位的超前或滯后。下圖給出了一個(gè)LTI系統(tǒng)的相頻響應(yīng)曲線，和幅頻響一樣，相頻響應(yīng)也是周期性的，并且周期為2π，這點(diǎn)在前面已經(jīng)說(shuō)明，因此通常也只列出一個(gè)周期的相頻響應(yīng)，相頻特性也有對(duì)稱性的特點(diǎn)不過(guò)是奇對(duì)稱，即:φ(ω)=-φ(-ω)3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)另外一個(gè)顯著的特點(diǎn)是具有模糊性，而且模糊的周期也是2π。這種模糊性體現(xiàn)在相頻響應(yīng)曲線上，就是相位經(jīng)常有2π的跳躍，如上圖為所示，對(duì)于模糊造成的相頻響應(yīng)曲線的不連續(xù)。也可以通過(guò)數(shù)學(xué)上稱為解纏繞的方法，得到連續(xù)的相頻應(yīng)曲線，如圖b所示。前面已經(jīng)介紹了相頻響應(yīng)的一些基本概念，下面我們從物理上理解相頻響應(yīng)，相頻響應(yīng)在物理上反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的處理時(shí)間。例1：假設(shè)有甲乙丙3個(gè)同學(xué)，甲同學(xué)學(xué)習(xí)非常用功；乙平時(shí)除了學(xué)習(xí)還喜歡關(guān)心其他的事情，丙則經(jīng)常有點(diǎn)迷迷糊糊，3個(gè)人都報(bào)名參加了一個(gè)考試，到考試那天甲乙都很早就起床收拾妥當(dāng)去考點(diǎn)了，丙照常睡懶覺(jué)，等起來(lái)的時(shí)候都快到考試時(shí)間了，匆匆忙忙就往考點(diǎn)奔，這天考試人很多，在進(jìn)口處有保安檢查證件。甲乙準(zhǔn)備充分很順利的進(jìn)入了考場(chǎng)，丙則因?yàn)樘^(guò)匆忙，加上平時(shí)經(jīng)常犯迷糊，因?yàn)樽C件一時(shí)找不著連考場(chǎng)都沒(méi)進(jìn)去。甲因?yàn)槠綍r(shí)刻苦很快就答完試卷出來(lái)了，乙則一直忙到考試結(jié)束。

如果將考場(chǎng)當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，考生當(dāng)做系統(tǒng)的輸入，我們看到甲乙兩個(gè)信號(hào)都能通過(guò)系統(tǒng)而丙則不能通過(guò)系統(tǒng)，這反映的是系統(tǒng)的選擇性，我們還看到甲很快就出來(lái)了，乙則慢一些這反映的是系統(tǒng)對(duì)不同信號(hào)的處理時(shí)間。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω相頻響應(yīng)這里需要說(shuō)明的是，雖然相頻響應(yīng)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的處理時(shí)間，但并不是說(shuō)相頻響應(yīng)越大，系統(tǒng)的處理時(shí)間越長(zhǎng)，從一個(gè)簡(jiǎn)單的正弦信號(hào)ejωn可以知道，其相位為ωn，也即是說(shuō)相位不僅和時(shí)間有關(guān)，還和頻率有關(guān)，在信號(hào)處理中，群延時(shí)(GroupDelay)用來(lái)表征系統(tǒng)延時(shí)時(shí)間的另一個(gè)概念，其數(shù)學(xué)定義是如下：需要注意的是，按照上式求解τg(ω)時(shí)，φ(ω)不是按計(jì)算得到的原始值，而是經(jīng)過(guò)相位解模糊之后的連續(xù)值。很明顯，τg(ω)更具體地表達(dá)了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的時(shí)間延時(shí)。那么，群延時(shí)和相頻響應(yīng)到底有何不同？先看一個(gè)具體的例子，假設(shè)一個(gè)信號(hào)是由兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，其波形如下圖a所示。若將此信號(hào)通過(guò)一個(gè)反向器，即對(duì)信號(hào)乘以-1的系統(tǒng)，反相器相頻響應(yīng)為φ(ω)=π，通過(guò)這個(gè)系統(tǒng)后的信號(hào)波形如下圖b所示；若將此信號(hào)通過(guò)一個(gè)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，即系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(n)=δ(n-n0),其中n0為常數(shù)。無(wú)失真系統(tǒng)的群延時(shí)為τg(ω)=0，通過(guò)這個(gè)系統(tǒng)后的信號(hào)波形如下圖c所示。對(duì)比三個(gè)信號(hào)的波形可以看出，相比原始信號(hào)，通過(guò)反相器之后得到的信號(hào)已經(jīng)與原始信號(hào)在細(xì)節(jié)上完全不同，而通過(guò)無(wú)失真系統(tǒng)后，信號(hào)在細(xì)節(jié)上與原始信號(hào)完全一樣，只是時(shí)間上有所延時(shí)。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω相頻響應(yīng)從上面這個(gè)例子可以看出，相頻響應(yīng)和群延時(shí)雖然都反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的延時(shí)，但兩者的意義還是有所不同，相頻響應(yīng)反應(yīng)的是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)延時(shí)的相對(duì)值，群延時(shí)反映的是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)延時(shí)的絕對(duì)值。對(duì)于頻率成分比較復(fù)雜的信號(hào)，相頻響應(yīng)為常數(shù)反而會(huì)造成信號(hào)的失真，群延時(shí)為常數(shù)的系統(tǒng)才不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生失真。在實(shí)際信號(hào)處理當(dāng)中，群延時(shí)往往是用來(lái)衡量系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)是否產(chǎn)生失真，因此有的地方也稱為包絡(luò)延時(shí)。3.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω

Z變換與頻率響應(yīng)Z變換更多的是一種數(shù)學(xué)工具，其物理意義并不明顯。但這種數(shù)學(xué)工具能為我們分析信號(hào)和系統(tǒng)提供極大的便利。實(shí)際上從Z變化出發(fā)，可以很容易得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即頻率響應(yīng)H(ejω)就是系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓z=ejω上的取值，用公式表示為：稍微展開一點(diǎn)，通過(guò)傅里葉變換計(jì)算得到的系統(tǒng)頻率響應(yīng)物理意義明確，并且能反映系統(tǒng)在頻域的特性。但傅立葉變換最大的問(wèn)題在于其收斂條件比較嚴(yán)苛，對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)而言，只有在時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可和的信號(hào)才存在。在連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)中為了解決這個(gè)問(wèn)題，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出了拉普拉斯變換；與此類似在離散信號(hào)和系統(tǒng)中，為了解決傅里葉變換收斂條件苛刻的問(wèn)題引入了Z變化。Z變換可以說(shuō)是針對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的拉普拉斯變換。實(shí)際上如果將離散信號(hào)和系統(tǒng)看作是經(jīng)由連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)采樣得到的話，Z變換中的z平面與拉普拉斯中的s平面存在z=esTs，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系其中Ts為采樣周期。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω在前面的介紹中已經(jīng)知道根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極圖，可以很方便地了解系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(n)的大致特征，也可以很方便地利用零極圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而且我們還知道，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以看作系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的取值，因此本節(jié)將學(xué)習(xí)零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系。在介紹零極圖理解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)之前，先介紹一下向量的基本概念。通過(guò)前面的討論已經(jīng)知道，因?yàn)閺?fù)正弦信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征信號(hào)，而且H(ejω)也通常為復(fù)數(shù)，因此在討論頻率問(wèn)題的時(shí)候要經(jīng)常和復(fù)數(shù)打交道，在數(shù)學(xué)上復(fù)數(shù)看起來(lái)比實(shí)數(shù)復(fù)雜一些，但通過(guò)向量這個(gè)工具，復(fù)數(shù)會(huì)變得非常直觀，假定有一個(gè)復(fù)數(shù)：在復(fù)平面上可以很方便地表示成一條帶箭頭的線段，如圖所示，圖中橫軸為實(shí)部，縱軸為虛部。這條帶箭頭的線段通常稱為向量，有時(shí)候也稱為矢量，向量通常用粗體的大寫字母表示，如圖所示向量可寫為XC。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω除了用上式實(shí)部、虛部表示以外，復(fù)數(shù)也可以用幅度和相位表示：其中，分別表示復(fù)數(shù)的幅度和相位。這種表達(dá)方式也可以很方便地體現(xiàn)在向量表示中，即向量的長(zhǎng)度表示復(fù)數(shù)的幅度，向量和實(shí)軸的夾角表示復(fù)數(shù)的相位，如上圖所示。了解了向量的基本概念后，再來(lái)看零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)前面的討論，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成零極點(diǎn)的形式可以做下式的簡(jiǎn)單變形：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是H(z)在單位圓上的取值：ω上式中，ejω是一個(gè)復(fù)數(shù)，可以用向量OE來(lái)表示，如下圖所示。對(duì)于不同的ω，E點(diǎn)在單位圓上的不同位置變化。零點(diǎn)zk和極點(diǎn)pk也可以用向量表示。在下圖中有兩個(gè)零點(diǎn)，位置分別在A點(diǎn)和B點(diǎn)，分別用向量OA和OB來(lái)表示，極點(diǎn)也有兩個(gè)，位置分別在C點(diǎn)和D點(diǎn),分別用向量OC和OD來(lái)表示。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω根據(jù)向量的運(yùn)算規(guī)則，ejω-zk可以很方便地表示為一個(gè)由零點(diǎn)zk的位置指向單位圓上ejω位置的向量。在上圖中，對(duì)位于A點(diǎn)的零點(diǎn)來(lái)說(shuō)，ejω-zk對(duì)應(yīng)的向量為AE，為了方便起見，用Uk來(lái)表示ejω-zk，即：同理，對(duì)極點(diǎn)來(lái)說(shuō)，ejω-pk可用向量Vk表示。利用向量的運(yùn)算可改寫為：3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω于是幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為：

(1)

(2)上式表示的是K為正數(shù)的情況，若K為負(fù)數(shù)，則式(1)中的K應(yīng)該變?yōu)閨K|，相應(yīng)的式(2)右邊還要加上一個(gè)π。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω利用向量的觀點(diǎn)，很容易理解接近單位圓的零點(diǎn)會(huì)引起在這個(gè)點(diǎn)附近的單位圓上的頻率的幅頻響應(yīng)變小。從上圖可以非常清楚地看出，當(dāng)頻率ω在0附近時(shí)，因?yàn)榱泓c(diǎn)A點(diǎn)靠近單位圓，此時(shí)的Uk比較小，顯然這時(shí)的幅度響應(yīng)比較小。與此相反的是，接近單位圓的極點(diǎn)會(huì)引起在這個(gè)點(diǎn)附近的單位圓上的頻率的幅度響應(yīng)變大，從上圖明顯可以看出來(lái)，當(dāng)頻率ω在π/2附近時(shí)，因?yàn)闃O點(diǎn)C靠近單位圓，此時(shí)Vk比較小，因?yàn)閂k為分母，因此此時(shí)的頻率響應(yīng)反而比較大。這里需要特別提醒的是，利用向量進(jìn)行系統(tǒng)頻率響應(yīng)分析時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)通常要變成

這種形式，否則可能得到一些不準(zhǔn)確的結(jié)論。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解ω例1

假定一個(gè)簡(jiǎn)單的單極點(diǎn)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：若想對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)進(jìn)行定性分析，首先畫出系統(tǒng)函數(shù)的零級(jí)圖，如下圖所示，圖中A為極點(diǎn)，從極點(diǎn)位置在單位圓內(nèi)可以判斷該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解為了得到這個(gè)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的大致曲線，可以選幾個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解可以看出，當(dāng)E從0開始沿著單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，向量AE的長(zhǎng)度單調(diào)遞增，一直到ω=π。幅頻響應(yīng)是向量AE長(zhǎng)度的倒數(shù)，因此|H(ejω)|在ω=0~π范圍內(nèi)單調(diào)遞減。從零級(jí)圖還可以知道，越靠近極點(diǎn)的位置，|H(ejω)|的變化速度越快，越遠(yuǎn)離極點(diǎn)的位置，|H(ejω)|的變化速度越慢。另外幅頻響應(yīng)是偶對(duì)稱的。根據(jù)這些特點(diǎn)及上面計(jì)算出的幾個(gè)特殊值可以畫出系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的草圖，如下圖所示，圖中相鄰的兩個(gè)點(diǎn)直接用直線相連。從幅頻響應(yīng)曲線上看，這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，而且在峰值附近比較尖銳，選擇性比較好，這主要得益于極點(diǎn)離單位圓比較近。3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解

全通系統(tǒng)第一類特殊的LTI系統(tǒng)是全通系統(tǒng)。所謂的全通系統(tǒng)指的是系統(tǒng)頻率響應(yīng)|H(ejω)|對(duì)所有頻率ω均為常數(shù)。最簡(jiǎn)單的全通系統(tǒng)是h(n)=δ(n-n0)的無(wú)失真?zhèn)鬏?。這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，其極點(diǎn)為0。我們知道，為0的極點(diǎn)的幅度響應(yīng)沒(méi)有任何影響，影響的只是相位響應(yīng)。對(duì)更一般的極點(diǎn)不為0的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從零極圖的觀點(diǎn)來(lái)看，若想要對(duì)所有的ω幅度響應(yīng)均為常數(shù)，最簡(jiǎn)單的就是在極點(diǎn)位置同時(shí)放置一個(gè)零點(diǎn)，這樣極點(diǎn)的影響被零點(diǎn)抵消，系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。假定有一個(gè)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為：其特點(diǎn)是分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)相同，但排列順序相反，因此上式也可以改寫成如下多項(xiàng)式形式：

3.4.6兩種特殊LIT系統(tǒng)的分析

全通系統(tǒng)其中：很顯然，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)其頻率響應(yīng)為：也就是說(shuō)上式表示的是一個(gè)全通系統(tǒng)。從上式可以明顯看出，如果pk為系統(tǒng)的極點(diǎn)，那么

1/pk必為系統(tǒng)的零點(diǎn)，即零點(diǎn)和極點(diǎn)關(guān)于單位圓共軛倒置。這也表明，除了零極點(diǎn)在相同的位置兩者能夠抵消之外，零極點(diǎn)關(guān)于單位圓共軛倒置的時(shí)候在幅度響應(yīng)上也能抵消。3.4.6兩種特殊LIT系統(tǒng)的分析

全通系統(tǒng)下圖給出了全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布規(guī)律。圖(a)為極點(diǎn)為實(shí)數(shù)的情況，圖(b)為極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)的情況。在圖中，A為極點(diǎn)其對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為D點(diǎn)，而極點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為C點(diǎn)。3.4.6兩種特殊LIT系統(tǒng)的分析

全通系統(tǒng)從零級(jí)圖上,零極點(diǎn)關(guān)于單位圓共軛倒置卻能在幅度響應(yīng)上相互抵消的結(jié)論并不是太直觀。以圖(a)為例，從直觀上零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度U1顯然和極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度V1不相等?？蔀槭裁催€能抵消呢？要解釋這點(diǎn)，稍微還原一下向量理解的過(guò)程。由零極圖分布，這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：為了用向量來(lái)分析其頻率響應(yīng)，通常要將上式變形為：也就是說(shuō)，在用向量對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)進(jìn)行理解的過(guò)程中，a的影響并沒(méi)有直觀