北京市東城區(qū)九年級數學上冊期末試卷（含答案解析）

北京市東城區(qū)九年級數學上冊期中試卷

（含答案）

（時間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.若反比例函數的圖象經過點（3,-2）,則該反比例函數的表達式

為（）

A.y=-B.y=--C.y=—D.y=--

XXXX

2.已知一個扇形的半徑是1,圓心角是120°,則這個扇形的弧長是

（）

A.B.nC?2D.等

633

3.如圖，為了測量某棵樹的高度，小剛用長為2m的竹竿作測量工具，

移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時,

竹竿與這一點相距6m,與樹距15m,那么這顆樹的高度為（）

A.5mB.7mC.7.5mD.21m

4.如圖，AB是。0的直徑，點C,D在。0上.若NABD=55°,則/

BCD的度數為（）

AB

D

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.二次函數y=ax2+bx4-c（aWO）的圖象如圖所不，一元二次方程

ax2+bx+c=0（aWO）的根的判別式為△=b?-4ac,則下列四個選項正

確的是（）

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,A>0

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,A<0

6.如圖，。。的半徑為4,將。0的一部分沿著AB翻折，劣弧恰好

經過圓心0,則折痕AB的長為（）

B.2正C.6D.4V3

7.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A,B,C都在

小正方形的頂點上，則cosNA的值為（）

A.唯B.2C.坐D.春

552

8.如圖，在RtaABC中，ZA=90°,AB=AC=4.點E為RtZ^ABC邊上

一點，點E以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)，沿著C-A-B的路徑

運動到點B為止.連接CE,以點C為圓心，CE長為半徑作。C,OC

與線段BC交于點D,設扇形DCE血積為S,點E的運動時間為t,則

在以下四個函數圖象中，最符合扇形面積S關于運動時間t的變化趨

勢的是（）

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

9.請寫出一個頂點在x軸上的二次函數解析式：.

10.已知點（xi,y.）,（x,y）在反比例函數y=-當yi<y<0

22X2

時，X1，X2的大小關系是.

11.如圖，角Q的一邊在x軸上，另一邊為射線0P,點P（2,2加），

貝ljtana=.

12.如圖，點D為4ABC的AB邊上一點，AD=2,DB=3.若NB=NACD,

貝IJAC-.

13.如圖，AC,AD是正六邊形的兩條對角線，在不添加任何其他線

段的情況下，請寫出兩個關于圖中角度的正確結論：（1）;

14.二次函數y=-x?+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，不等

式-x2+bx+c<0的解集為.

15.已知。0的半徑為1,其內接4ABC的邊AB=行，則NC的度數

為.

16.閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題:

尺規(guī)作圖：作已知角的角平分線.

已知：如圖，ZBAC.求作：NBAC的角平分線AP.

小霞的作法如下：

(1)如圖，在平面內任取一點。；

(2)以點。為圓心，A0為半徑作圓，交射線AB于點D,交射線AC

于點E；

(3)連接DE,過點0作射線0P垂直于線段DE,交。()于點P；

(4)過點P作射線AP.

所以射線AP為所求.

老師說：“小霞的作法正確.”

請回答：小霞的作圖依據是.

三、解答題(本題共72分)

17.(6分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數尸-2x的圖

象與反比例函數尸《的圖象的一個交點為A(-1,n).求反比例函

數尸《的表達式.

18.（6分）已知二次函數y=x?+4x+3.

（1）用配方法將y=x?+4x+3化成y=a（x-h）的形式;

（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出這個二次函數的圖象.

5-

4-

3-

2-

1-

1111111II1>

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

19.（6分）已知：如圖，在aABC中，D,E分別為AB、AC邊上的點,

且AD二/AE,連接DE.若AC二3,AB6求證：AADE^AACB.

20.（6分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=8,ZA=120°，求BC

21.（5分）己知：如圖，。0的直徑AB的長為5cm,C為。0上的一

個點，NACB的平分線交。。于點D,求BD的長.

A

c

R

22.（5分）在一次社會大課堂的數學實踐活動中，王老師要求同學

們測量教室窗戶邊框上的點C到地面的距離即CD的長，小英測量的

步驟及測量的數據如下：

（1）在地面上選定點A,B,使點A,B,D在同一條直線上，測量出

A、B兩點間的距離為9米；

（2）在教室窗戶邊框上的點C點處，分別測得點A,B的俯角N

ECA=35°,NECB=45°.請你根據以上數據計算出CD的長.（可能用

到的參考數據：sin35°20.57cos35°七0.82tan35°^0.70）

23.（5分）已知：如圖，ABCD是一塊邊長為2米的正方形鐵板，在

邊AB上選取一點M,分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板

料.當AM的長為何值時，截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小？

24.（5分）已知：如圖，AB是半圓。的直徑，D是半圓上的一個動

點（點D不與點A,B重合），ZCAD=ZB

（1）求證：AC是半圓。的切線；

（2）過點。作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

AD=6,求BD的長.

25.（5分）如圖，AB=6cm,ZCAB=25°,P是線段AB上一動點，過

點P作PM1AB交射線AC于點M,連接MB,過點P作PN1MB于點N.設

A,P兩點間的距離為xcm,P,N兩點間的距離為ycm.（當點P與點

A或點B重合時，y的值均為0）

小海根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律

進行了探究.

下面是小海的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、面圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

m097007760090

（說明：補全表格時相關數值保留兩位小數）

（2）建立平面直免坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標

的點，畫出該函數的圖象；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：當y=0.5時，與之對應的x

值的個數是.

26.（7分）已知一次函數y尸-1,二次函數y2=x2-mx+4（其中m

>4）.

（1）求二次函數國象的頂點坐標（用含m的代數式表示）；

（2）利用函數圖象解決下列問題：

①若m=5,求當yi>0且丫2與0時，自變量x的取值范圍；

②如果滿足y>>0且y2<0時自變量x的取值范圍內有且只有一個整

數，直接寫出m的取值范圍.

27.（8分）已知：如圖，AB為半圓。的直徑，C是半圓。上一點，

過點C作AB的平行線交于點E,連接AC、BC、AE,EB.過點C

作CGJ_AB于點G,交EB于點H.

（1）求證：NBCG=NEBG；

⑵若sinNCAB二哈求券的值.

28.（8分）一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓，在平面直角

坐標系xOy中，設單位圓的圓心與坐標原點0重合，則單位圓與x軸

的交點分別為（1,0）,（-1,0）,與y軸的交點分別為（0,1）,（0,

-1）.

在半面直角坐標系xOy中，設銳角a的頂點與坐標原點。重合，a的

一邊與x軸的正半軸重合，另一邊與單位圓交于點P（x“Y1）,且點

P在第一象限.

（1）XL（用含a的式子表示）；y尸（用含a的式子

表示）；

（2）將射線0P繞坐標原點0按逆時針方向旋轉90°后與單位圓交

于點Q（x2,y2）.

①判斷山與X2的數量關系，并證明；

②y1+y2的取值范圍是：.

答案

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.若反比例函數的圖象經過點（3,-2）,則該反比例函數的表達式

為（）

A_6n_6_3_3

A.y=—B.V~Cr.y=-Dn.y《

【分析】函數經過一定點，將此點坐標代入函數解析式尸工（kwo）

x

即可求得k的值.

【解答】解：設反比例函數的解析式為尸上（kWO）,函數的圖象經

x

過點（3,-2）,

?，?-2=易得k=-6,

?,.反比例函數解析式為y=一2.

X

故選：B.

【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式：設出含有待定

系數的反比例函數解析式尸區(qū)（k為常數，kWO）；把已知條件（自

x

變量與函數的對應值）代入解析式，得到待定系數的方程；解方程,

求出待定系數；寫出解析式.

2.已知一個扇形的半徑是1,圓心角是120。，則這個扇形的弧長是

（）

A.小B.JiC.2D.等

633

【分析】根據弧長公式1二喏進行解答即可.

loU

【解答】解：根據弧長的公式1=聆，

故選：D.

【點評】本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式即可解答該題.

3.如圖，為了測量某棵樹的高度，小剛用長為2m的竹竿作測量工具，

移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時,

竹竿與這一點相距6m,與樹距15m,那么這顆樹的高度為（）

【分析】先判定△OAB和AOCD相似，再根據相似三角形對應邊成比

例列式求解即可.

【解答】解：如圖，

VAB±OD,CD1OD,

???AB〃CD,

AAOAB^AOCD,

.迪二邁

**CD~OD，

VAB=2m,0B=6m,0D=6+15=21m,

?_2_=_6_

**CD-21'

解得CD=7m.

這顆樹的高度為7m,

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，讀懂題目信息，確定出相似

三角形是解題的關鍵.

4.如圖，AB是。。的直徑，點3D在。0上.若NABD=55°,則N

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】先根據圓周角定理求出NADB的度數，再由直角三角形的性

質求出NA的度數，進而可得出結論.

【解答】解：連接AD,

TAB是。0的直徑，

???NADB=90°.

VZABD=55°,

ZDAB=90°-55°=35°,

AZBCD=ZDAB=35°.

故選：C.

c

B

D

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是

解答此題的關鍵.

5.二次函數yW+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的根的判別式為△=b?-4ac,則下列四個選項正

確的是()

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,A>0

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,A<0

【分析】根據拋物線的性質即可求出答案.

【解答】解：由圖象與y軸的交點位置可知：c<0,

由圖象與x軸的交點個數可知：△>(),

由圖象的開口方向與對稱軸可知：a>0,崢>0,

從而可知：b<0,

故選：A.

【點評】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數

的圖象與性質，本題屬于基礎題型.

6.如圖，。。的半徑為4,將。0的一部分沿著AB翻折，劣弧恰好

經過圓心0,則折痕AB的長為()

B.2V3C.6D.4VS

【分析】過。作垂直于AB的半徑OC,設交點為D,根據折疊的性質

可求出0D的長；連接0A,根據勾股定理可求出AD的長，由垂徑定

理知AB=2AD,即可求出AB的長度.

【解答】解：過0作0CLAB于D,交。。于C,連接0A,

RtZXOAD中,0D=CD=10C=2,0A=4,

根據勾股定理，得：AD二而后茄^二2%，

由垂徑定理得，AB=2AD二4立，

故選：D.

【點評】本題考查的是翻轉變換的性質、矩形的性質，掌握翻轉變換

是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應

邊和對應角相等是解題的關鍵.

7.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A,B,C都在

小正方形的頂點上，則cosNA的值為（）

A.唯B.2&坐D.春

552

【分析】過B作BDLAC于D,根據勾股定理得到AB的長，然后由銳

角三角函數定義解答即可.

【解答】解：如圖，過B作BDJ_AC于D,則點D為格點，AD=①

由勾股定理知：AB2=32+l2=10,

/.AB=VIo,

.??RtZ^ADB中，cosNA二瞿二至二四，

ABV105

故選：C.

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，銳角A的鄰邊b與斜邊c

的比叫做NA的余弦，記作cosA.

8.如圖，在Rtz^ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,點E為RtAABC邊上

一點，點E以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)，沿著C-A-B的路徑

運動到點B為止.連接CE,以點C為圓心，CE長為半徑作。C,OC

與線段BC交于點D,設扇形DCE面積為S,點E的運動時間為t,則

在以下四個函數圖象中，最符合扇形面積S關于運動時間t的變化趨

勢的是（）

BD

a-Ab-|/\

C-|Ad-U

€ql2*4507BfO|lij43O7lf

【分析】根據RtZ\ABC中，ZA=90°,AB二AC=4,點E以每秒1個單

位的速度從點C出發(fā)，沿著C-A-B的路徑運動到點B為止，可得函

數圖象先上升再下降，根據當0WtW4時，扇形面積S二

紇X￡t二和,可得前半段函數圖象為開口向上的拋物線的一部

分,故B選項錯誤；根據當4VtW8時;隨著t的增大，扇形的半徑

增大，而扇形的圓心角減小，可得后半段函數圖象不是拋物線，放C

選項錯誤；再根據當t=8時?，點E、D重合，扇形的面積為0,故D

選項錯誤；運用排除法即可得到結論.

【解答】解：???RtaABC中，ZA=90°,AB=AO4,點E以每秒1個

單位的速度從點C出發(fā)，

2

???當0WtW4時，扇形面積S二繪奈土■二2t2,

3608

???前半段函數圖象為開口向上的拋物線的一部分，故B選項錯誤；

當4Vt48時，隨著t的增大，扇形的半徑增大，而扇形的圓心角減

小，

???后半段函數圖象不是拋物線，故C選項錯誤;

?.?當廿8時，點E、D重合，

???扇形的面積為0,故D選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題主要考查了動點問題的函數圖象，用圖象解決問題時，

要理清圖象的含義即會識圖.函數圖象是典型的數形結合，圖象應用

信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還

可以提高分析問題、解決問題的能力.

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

9.請寫出一個頂點在x軸上的二次函數解析式：y=2（x+1）2（答

案不唯一）.

【分析】頂點在x軸上的函數是尸a（x-h）2的形式，舉一例即可.

【解答】解：頂點在x軸上時，頂點縱坐標為0,即k=0,例如y=2

（x+1）2.（答案不唯一）

【點評】頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+匕頂點坐標是（h,k）,此題考查了

其中一種函數，要充分理解各函數的關系.

10.已知點（X1,y）,（X2,y）在反比例函數y=2上，當y〈y2Vo

2X

時，Xi，X2的大小關系是X1>X2.

【分析】先根據反比例函數y二日中k=2可知此函數的圖象在一、三象

限，再根據力〈72<0,可知A、B兩點均在第三象限，故可判斷出

Xi,X2的大小關系.

【解答】解：?.?反比例函數y=《中k=2>0,

.??此函數的圖象在一、三象限，

Vyi<y2<0,

???A、B兩點均在第三象限,

???在第三象限內y隨x的增大而減小,

/.Xi>X2.

故答案為X]>X2.

【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，先根據題意

判斷出反比例函數圖象所在的象限是解答此題的關鍵.

11.如圖，角a的一邊在X軸上，另一邊為射線0P,點P（2,2代），

則tana-M.

【分析】如圖作PE，x軸于E.根據tana二累計算即可.

【解答】解：如圖作PEJLx軸于E.

VP（2,2避），

0E=2,PE=25，

，tana=器=^^=小

故答案為證.

【點評】本題考查解直角三角形、銳角三角函數等知識，解題的關鍵

是熟練掌握三角函數的定義，屬于中考常考題型.

12.如圖，點D為4ABC的AB邊上一點，AD=2,DB=3.若NB=NACD,

貝|JAC^V1C

【分析】由NB=NACD、ZA=ZA,可證出△ACDsaABC,根據相似三

角形的性質可得出黑二部，代入數據即可求出AC的值.

ADAC

【解答】解：VZB=ZACD,NA=NA,

AAACD^AABC,

?AC_ADgnAC_2

**AB-ACJ12+3-ACJ

「.AO?或AC=-V10(不合題意，舍去).

故答案為：V10-

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，根據相似三角形的性

質找出關于AC的方程是解題的關鍵.

13.如圖，AC,AD是正六邊形的兩條對角線，在不添加任何其他線

段的情況下，請寫出兩個關于圖中角度的正確結論：(1)NBAC二

ZBCA；(2)NDAF=NADE.

【分析】根據正六邊形的特點可得到：區(qū)為圖形是正六邊形，所以

AB=BC,所以三角形ABC是等腰三角形，根據等腰三角形的性質可得

NBAC=NBCA.因為EF〃AD,AF=ED,所以四邊形ADEF是等腰梯形,

根據等腰梯形的性質可得NDAF=NADE.

【解答】解：由分析可知，兩個關于圖中角度的正確結論：（1）ZBAC=

ZBCA；(2)ZDAF=ZADE.

故答案為：NBAO/BCA；ZDAF=ZADE.

【點評】考查了多邊形內角與外角，要結合題目中所提供的已知條件,

特別是該圖形為正六邊形，得出結論.

14.二次函數尸-x?+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，不等

式-x2+bx+c<0的解集為*<-1或乂>5.

【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標

為（-1,0）,然后寫出拋物線在x軸下方所對應的自變量的范圍

即可.

【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x=2,

而拋物線與x軸的一個交點坐標為（5,0）,

所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1,0）,

所以不等式-x=bx+cVO的解集為x<-1或x>5.

故答案為xV-1或x>5.

【點評】本題考查了二次函數與不等式（組）：利用兩個函數圖在直

角標中的上下位置系自變量的取范，可作圖利用點直觀解也可把個函

數解析式列成不式求解.

15.已知。。的半徑為1,其內接AABC的邊AB=行，則NC的度數為

45°或135°.

【分析】過圓心作AB的垂線，在構建的直角三角形中，易求得圓心

角NAOB的度數，由此可求出NC的度數.(注意NC所對的弧可能是

優(yōu)弧，也可能是劣弧)

【解答】解：如圖，連接()A、0B,過()作()DJ_AB于D.

在RtZXOAD中,AD=哮，OA=1,

.?.sinNAOD唔g,

A02

AZAODM50,NA0B=135°.

點C的位置有兩種情況：

①當點C在如圖位置時，ZC=1ZAOB=45°；

②當點C在E點位置時，ZC=ZE=180°-45°=135°.

故答案為：45°或135°.

【點評】本題主要考查了垂徑定理以及解直角三角形的應用.注意點

C的位置有兩種情況，不要漏解.

16.閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題：

尺規(guī)作圖：作已知角的角平分線.

已知；如圖，ZBAC.求作；NBAC的角平分線AP.

小霞的作法如下：

（1）如圖，在平面內任取一點0；

（2）以點0為圓心，A0為半徑作圓，交射線AB于點D,交射線AC

于點E；

（3）連接DE,過點0作射線0P垂直于線段DE,交。。于點P；

（4）過點P作射線AP.

所以射線AP為所求.

老師說：“小霞的作法正確.“

請回答：小霞的作圖依據是（據垂直于弦的直徑平分弦，并且平

分弦所對的兩條?。唬?）同弧或等弧所對的圓周角相等；（3）角

平分線的定義.

【分析】根據作圖的依據解答即可.

【解答】解：小霞的作圖依據是（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且

平分弦所對的兩條??；（2）同弧或等弧所對的圓周角相等；（3）

角平分線的定義；

故答案為：（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧;

（2）同弧或等弧所對的圓周角相等；（3）角平分線的定義

【點評】此題考查作圖-復雜作圖問題，關鍵是根據作圖的依據解答.

三、解答題(本題共72分)

17.(5分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-2x的圖

象與反比例函數y二代的圖象的一個交點為A(-1,n).求反比例函

X

【分析】把A的坐標代入y二-2x,求出n,得出A的坐標，再把A的

坐標代入反比例函數的解析式求出k即可.

【解答】解：???點A(-1,n)在一次函數尸-2x的圖象上，

???n二(-2)X(-1)=2,

???點A的坐標為(-1,2),

??,點A在反比例函數y=K的圖象上，

X

，k=(-1)X2=-2.

??.反比例函數的解析式為y=-2

x

【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法

求反比例函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征.用待定系數

法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法.同學們要熟練掌握這

種方法.

18.(5分)已知二次函數y=x?+4x+3.

(1)用配方法將y=x，4x+3化成y=a(x-h)的形式；

(2)在平面直角坐標系xOy中，畫出這個二次函數的圖象.

【分析】(1)利用配方法易得y=(x+2)2-1,則拋物線的頂點坐標

為(-2,-1),對稱軸為直線x=-2；

(2)利用描點法面二次函數圖象；

【解答】解：⑴y=(xMx)+3

二(X2+4X+4-4)+3

=(x=2)2-1；

(2)如圖：

【點評】本題考查了二次函數的三種形式：一般式：尸ax?+bx+c(a,

b,c是常數，aWO)；頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數，a

#0),其中(h,k)為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式

得到拋物線的頂點坐標為(h,k)；交點式：y=a(x-x到(x-x2)(a,

b,c是常數，aWO),該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式得到拋物線

與x軸的兩個交點坐標(x1,0),(x2,0).也考查了二次函數圖象與

性質.

19.（5分）已知：如圖，在△ABC中，D,E分別為AB、AC邊上的點，

且AD=^AE,連接DE.若AC=3,AB=5.求證：△ADEs^ACB.

【分析】根據已知條件得到，由于NA=NA,于是得到△ADEsaACB；

【解答】證明：...AC=3,AB=5,AD*

.ACAB

AD^AE，

VZA=ZA,

AAADE^AACB.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，垂直的定義，熟練掌

握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

20.（5分）已知：如圖，在aABC中，AB=AC=8,ZA=120°，求BC

【分析】過點A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性質即可解決問題.

【解答】解：過點A作ADLBC于D.

BD

VAB=AC,ZBAC=1200，

AZB=ZC=30°,

BC=2BD,

在Rt^ABD中，ZADB=90°,ZB=30°,AB=8,

cosB常,

.\BD=ABcos30o=8X淳4第，

ABC-8V3.

【點評】本題考查等腰三角形的性質、解直角三角形等知識，解題的

關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

21.（5分）已知：如圖，。。的直徑AB的長為5cm,C為。0上的一

個點，NACB的平分線交。。于點D,求BD的長.

【分析】根據直徑所對的圓周角是直角可得NACB二NADB=90°,再根

據角平分線的定義可得NDAONBCD,然后求出AD二BD,再根據等

腰直角三角形的性質其解即可;

【解答】解：TAB為直徑，

AZADB=90°,

?"D平分NACB,

??.ZACD=ZBCD,

??.俞前

???AD=BD,

在等腰直角三角形ADB中，

BD=ABsin45°=5X嘩=5也

乙—

2

/?BD=5V2?

~2

【點評】本題考查了直徑所對的圓周角等于直角，等腰直角三角形的

判定與性質，關鍵是根據直徑所對的圓周角是直角可得NACB二N

ADB=90°.

22.(5分)在一次社會大課堂的數學實踐活動中，王老師要求同學

們測量教室窗戶邊框上的點C到地面的距離即CD的長，小英測量的

步驟及測量的數據如下：

(1)在地面上選定點A,B,使點A,B,D在同一條直線上，測量出

A、B兩點間的距離為9米；

(2)在教室窗戶邊框上的點C點處，分別測得點A,B的俯角N

ECA=35°,ZECBM50.請你根據以上數據計算出CD的長.(可

能用到的參考數據:sin35°-0.57cos35°-0.82tan35°?

0.70)

【分析】設CD=x,在RtACDB中，CD=BD=x,在RtACDA中tanZCAD=

根據圖中的線段關系可得AD二AB+BD,進而可得9+x二溫,再

解即可.

【解答】解：由題意可知：CDLAD于D,

ZECB=ZCBD=45°,

ZECA=ZCAD=35°,

AB=9.

設CD二x,

???在RtaCDB中，/CDB=90°,ZCBDM50,

/.CD=BD二x,

???在RtaCDA中，ZCDA=90°,NCAD=35°,

JtanNCAD二空，

VAB=9,AD=AB+BD,

解得x=21,

答：CD的長為21米.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，關鍵是讀懂題意，把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.

23.（5分）已知：如圖，ABCD是一塊邊長為2米的正方形鐵板，在

邊AB上選取一點M,分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板

料.當AM的長為何值時，截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小?

【分析】設AM的長為x米，則MB的長為(2-x)米，由題意得出

y=x2+(x-2)2=2(x-1)2+2,利用二次函數的性質求解可得.

【解答】解：設AM的長為x米，貝ijMB的長為(2-x)米，

以AM和MB為邊的兩個正方形面積之和為y平方米.

根據題意，y與x之間的函數表達式為y=x2+(x-2)2=2(x-1)2+2,

因為2>0

于是，當x=l時，y有最小值，

所以，當AM的長為1米時截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小.

【點評】本題考查了二次函數的最值，二次項系數a決定二次函數圖

象的開口方向.①當a>0時，二次函數圖象向上開口，函數有最小

值；②aVO時，拋物線向下開口，函數有最大值.

24.(5分)已知：如圖，AB是半圓。的直徑，D是半圓上的一個動

點(點D不與點A,B重合)，ZCAD=ZB

(1)求證：AC是半圓。的切線；

(2)過點0作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

AD=6,求BD的長.

【分析】(1)經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.欲

證AC是半圓0的切線，只需證明NCAB=900即可；

(2)由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEFsaBAD；然后根據

相似三角形的對應邊成比例，求得BD的長即可.

【解答】解：(1);AB是半圓直徑,

AZBDA=90°,

AZB+ZDAB=90°,

XVZDAC=ZB,

.\ZDAC+ZDAB=90°,

即NCAB=90°,

JAC是半圓。的切線.

(2)由題意知，OE〃BD,ZD=90°,

ND=NAFO=NAFE=90°,

AOE±AD,

AZAFE=ZD=ZAF0=90°,AF=1AD=3,

又二AD=6

???AF=3?

又???NB=NDAE,

AAAEF^ABAD,

?更二”而EF二4

,*ADBD'叩匕「心

【點評】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質.要證某

線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），

再證垂直即可.

25.（5分）如圖，AB=6cm,ZCAB=25°,P是線段AB上一動點，過

點P作PM1AB交射線AC于點M,連接MB,過點P作PN1MB于點N.設

A,P兩點間的距離為xcm,P,N兩點間的距離為ycm.（當點P與點

A或點B重合時，y的值均為0）

小海根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律

進行了探究.

下面是小海的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的兒組值，如下表:

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

m097007760090

(說明：補全表格時相關數值保留兩位小數)

(2)建立平面直集坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標

的點，畫出該函數的圖象；

(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：當y=0.5時，與之對應的x

值的個數是一2個.

【分析】(1)利用取點，測量的方法，即可解決問題；

(2)利用描點法，畫出函數圖象即可；

(3)作出直線尸0.5與圖象的交點，交點的個數是2個.

【解答】解：(1)通過取點、畫圖、測量可得x=2.00cm時，y=0.91cm；

(2)利用描點法，圖象如圖所示.

o2356

(3)由圖可知，當y=0.5時，與之對應的x值的個數是2個.

故答案為2個.

【點評】本題考查了動點問題的函數圖象，坐標與圖形的關系等知識,

解題的關鍵是理解題意，學會用測量法、圖象法解決實際問題.

26.(7分)己知一次函數y尸2x-1,二次函數丫24-mx+4(其中m

>4).

(1)求二次函數匿象的頂點坐標(用含ni的代數式表示)；

(2)利用函數圖象解決下列問題：

①若m=5,求當yi>0且丫2式0時，自變量x的取值范圍；

②如果滿足y>>0且y2^0時自變量x的取值范圍內有且只有一個整

數，直接寫出m的取值范圍.

【分析】(1)利用配方法求二次函數的頂點坐標；

(2)①把m=5代入丫2,畫圖象，并求與x軸交點A、B、C三點的坐

標，根據圖象可得結論；

2

②根據題意結合圖象可知x=3,把x=3代入y2=x-mx+4<0,當x=4

時,y2=x2-mx+4>0即可求得m的取值;

22

【解答】解：(1)Vy2=x-mx+4=(x--^-+4,

???二次函數圖象的頂點坐標為：(費，-金+4)…

24

2

(2)①當m=5時,yi=-^-x-1,y2=x-5x+4.…(4分)

如圖,當y尸0時,1x-1=0,x=2,

VA(2,0),

2

當y2=0時,x-5x+4=0,

解得:x=l或4,

AB(1,0),C(4,0),

因為y1>0,且y2〈0,由圖象，得：2<xW4.…(5分)

②當山>0時?,自變量x的取值范圍：x>2,

??,如果滿足y>0且y?W0時的自變量x的取值范圍內恰有一個整數,

/.x=3,

2

當x=3時，y2=3-3m+4^0,

解得m2警，

當x=4時，y2>0,即16-4田+4>0,m<5?

???m的取值范圍是：學，<5.…(7分)

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式