第六章　必刷大題12　數(shù)列的綜合問(wèn)題【微信公眾號(hào)：偷著學(xué)】

必刷大題12數(shù)列的綜合問(wèn)題第六章匯報(bào)人：20XX1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1).(1)求a1，a2，a3，a4；123456因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1)，所以a1＝－1，a2＝3，a3＝－5，a4＝7.123456由an＝(－1)n(2n－1)，可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋an＋1＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝2，所以S2024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2023＋a2024)＝2＋2＋…＋2＝2×1012＝2024.(2)求數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)和S2024.123456123456所以(n＋2)Sn＝nan＋1，因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，123456即bn＋1＝2bn，又b1＝S1＝2，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以bn＝2n.123456因?yàn)閚∈N*，1234561234563.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋2＝2an.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；123456由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＋2＝a1＋2＝2a1，解得a1＝2，當(dāng)n＝2時(shí)，S2＋2＝2a2，即a1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＋2＝2an，可得Sn－1＋2＝2an－1，兩式相減，可得an＝2an－2an－1，整理，得an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.123456由(1)可得，an＝2n，an＋1＝2n＋1，在an與an＋1之間插入n個(gè)數(shù)，使得這n＋2個(gè)數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列，則有an＋1－an＝(n＋1)dn，123456兩式相減，1234561234564.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S3＝5a1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；a3＝a1＋2d＝7，S3＝3a1＋3d＝5a1，解得a1＝3，d＝2，故an＝2n＋1.1234561234561234561234565.(2023·邯鄲統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1(n∈N*).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；123456由題意知，在數(shù)列{an}中，an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1，n≥2，兩式相減可得an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2，由條件知，a2＝3a1＋1＝4a1，故an＋1＝4an(n∈N*).∴{an}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.∴an＝4n－1(n∈N*).123456由(1)知，an＝4n－1(n∈N*)，如果滿(mǎn)足條件的bm，bk，bp存在，∵2k＝m＋p，123456123456∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，解得k2＝mp，∵2k＝m＋p，∴k＝m＝p，與已知矛盾，∴不存在滿(mǎn)足條件的三項(xiàng).1234566.在數(shù)列{bn}中，令Tn＝b1b2·…·bn(n∈N*)，若對(duì)任意正整數(shù)n，Tn總為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列{bn}是“前n項(xiàng)之積封閉數(shù)列”.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列.(1)判斷：當(dāng)a1＝2，q＝3時(shí)，數(shù)列{an}是否為“前n項(xiàng)之積封閉數(shù)列”；T2＝a1a2＝2×6＝12，若T2為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則存在m∈N*，使得T2＝am，即12＝2·3m－1，所以m＝log36＋1?N*，所以{an}不是“前n項(xiàng)之積封閉數(shù)列”.3456(2)證明：a1＝1是數(shù)列{an}為“前n項(xiàng)之積封閉數(shù)列”的充分不必要條件.1201充分性：因?yàn)門(mén)n＝a1a2·…·an(n∈N*)，所以T1＝a1，當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，因?yàn)閍1＝1，所以an＝qn－1，所以Tn＝a1a2·…·an＝q0＋1＋2＋…＋(n－1)＝

，123456所以數(shù)列{an}是“前n項(xiàng)之積封閉數(shù)列”，所以充分性成立.必要性：當(dāng)a1＝q≠1時(shí)，an＝a1qn－1＝qn，所以Tn＝a1a2·…·an＝q1＋2＋…＋n＝

，12