線性代數(shù)習(xí)題集(帶答案)

第一部分專項(xiàng)同步練習(xí)

第一章行列式

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列排列是5階偶排列的是().

(A)24315(B)14325(C)41523(D)24351

2.如果〃階排列//…，的逆序數(shù)是攵，則排列4…上，的逆序數(shù)是(

(A)k(B)〃T(C)y-/:(D)^y^—攵

3.〃階行列式的展開式中含q岡2的項(xiàng)共有()項(xiàng).

(A)0]B)”2(C)(〃-2)!(D)(/7-1)!

0001

001C

4.=().

010c

1000

(A)0(B)-l(C)1(D)2

0010

0100

5.=(

0001

1000

(A)0(B)-l(C)1(D)2

2xx-11

-1-x12

6.在函數(shù)〃x)=中d項(xiàng)的系數(shù)是().

32—x3

0001

(A)()(B)-l(C)1(D)2

^12《32卬《3%-2%2

=!，則。=

7.若。二a2la22a2a21a23“21—2。22=(

2?2

心a32%32。"％3

(A)4(B)-4(C)2(D)-2

8.若八%《2他2（

=a,則).

a2l出2%Mi

(A)k7(C)k2a(D)—Ea

9.己知4階行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次為

-2,5,1/,則x=().

(A)0(B)-3(C)3(D)2

-8743

6-23-1”.

10.若。一I,則D中第一行元的代數(shù)余子式的和為（).

111

43-75

(A)-l(B)-2(C)-3(D)()

3040

11.若DJ111

,則。中第四行元的余子式的和為（）.

0-100

53-22

(A)-l(B)-2(C)-3(D)0

X[+々+憶q=o

12.%等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí),齊次線性方程組<2十/=。有非零解?

kx}+x2+x3=0

)

(A)-l(B)-2(C)-3(D)0

二、填空題

2

1.2〃階排歹I」24…(2〃)13…(2〃-1)的逆序數(shù)是.

2.在六階行列式中項(xiàng)須處外3。26所帶的符號是.

3.四階行列式中包含。2243且?guī)д柕捻?xiàng)是.

4.若一個(gè)〃階行列式中至少有/一〃+1個(gè)元素等于0,則這個(gè)行列式的值等于

1110

……0101

5.仃列式。111

0010

010???0

002???0

6.行列式.......

000???n-\

n00…0

9.已知某5階行列式的值為5,將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所

有元素，則所得的新行列式的值為

135-2n-l

1200

16.已知行列式。二103??0,D中第一行元的代數(shù)余子式的和為

100??n

k,、十2人2十二0

17.齊次線性方程組,2.VJ+kXy=（）僅有零解的充要條件是

百-x2+x:,=°

%+2X2+壬3=0

18.若齊次線性方程組2X2+5&=0有非零解，貝二

-3xf-2X2+=()

三、計(jì)算題

b

xyx+y

b2c~

2.yx+yx?

1)3c3

x+yxy

b+c+da+c+da+b+da+b+c

x4生…生r-21

01X1%x%…4r-21

101.Vqax…a,r-21

3.解方程4.2

x110..?............

，

1X10a}a2%…V1

a\a2。3…at,-11

111

31-771???

6.112-b?.?1

?.???????

111?.?

111…1

瓦q4…q

7.b\b2a2…a2;8.

?.???????

a

b\h2仄…n

210…00

1+x；??中〃121…00

l+%2??012…00

9.々%.；10.

????????...........???

%??1+舅000...21

000…12

\-aa000

-1\-aCl00

11.D=0-1\-aa0

00-1\-aa

000-1\-a

6

四、證明題

11

2

4+7a-

1a

2_

〃

+〃l

〃

明

正o

?11

2-

c+2c

Cc

l

±

d2+d-

屋d

4+%X4+仇G

2X仇

*出+一%+Q=

X仇

生

+A田+q

11

ab

3.—(b—a)(c—a)(d—a)(c—b)(d-b)(d—c)(a+b+c+d).

a-b2

a4b4

111

4

壽

4.

/=!

<-2

a：

11

5.設(shè)出Ac兩兩不等，證明b=0的充要條件是a+"+c=O.

b'

參考答案

一.單項(xiàng)選擇題

ADACCDABCDBB

二.填空題

1.n;2.；3.4/22%43；4.0;5.0;6.(-1)"一〃??；

4

7.(-1)=々)/-I)…%;8.—3M;9.-160;10.x;11.U;12.-2;

13.0;14.0;15.12,-9;16.H!(1-^-);17.&：-2,3;18"=7

k=\k

三.計(jì)算題

1.-(?+Z?+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b](d-c)；2.-2(x3+>,3)；

n-1

3.A:--2,0,1；4.n(x-4)

hl

5.自+

6.-(2+b)(—)…((〃一2)-。)

篇I）4T

7.（-1）〃立（4-七）；8.Cr+￡4)fj(x-4);

￡=1Jt=lk=\

9.1十之4；

10.〃+1;

hi

11.

四.證明題（略）

8

第二章矩陣

一、單項(xiàng)選擇題

1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。

(a)同二時(shí)(b)A2-B2+(c)(A-B)A=A2-AB

(d)(AB)1=ArBr

2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時(shí)，B=CO

(a)AB=BA(b)|A|^0(c)方程組AX=O有非零解(d)B、C可逆

3.若A為n階方陣，女為非零常數(shù),則⑼=()。

(a)k\A\(b)網(wǎng)⑷(c)r|A|(d)\k[\A\

4.設(shè)A為n階方陣，且隔=0,貝|()o

(a)A中兩行(列)對應(yīng)元素成比例(b)A中任意一行為其它行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零(d)A中必有一行為其它行的線性組合

5.設(shè)A,B為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是()o

(a)|(A+8)[=[A[+B](b)|(AB)r|=|A||B|

(c)|(A-|+B)7'|=|A-,|+|B|(d)(A+B)-1=A-,+B-1

6.設(shè)A為n階方陣，A*為A的伴隨矩陣，則()o

(a)(a)⑷=甲|(b)W卜同(c)(d)⑷

7.設(shè)A為3階方陣，行列式同=1,A*為A的伴隨矩陣，貝IJ行列式

(2A)-J2A[=()o

(d)

8.設(shè)A,B為n階方矩陣，A2=Z?2,則下列各式成立的是()。

(a)A=B(b)A=-B(c)網(wǎng)=慟(d)|呢二|歐

9.設(shè)A,B均為n階方矩陣，則必有()。

(a)|4+q=同+向(b)AB=BA(c)|44=|胡(d)|A|2=|B|2

10.設(shè)A為〃階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是()o

(a)12H=2"(b)(24廣=2A-i

(c)[(A-,)-,]7，=[(Ar)Tr，(d)[(A7/]-1=[(A-,)T]T

。12-3〃32

11.如果Aa2\a22,則4=()o

a3\。32

00、0-3、'()0-3、10(R

(a)010(b)010(c)010(d)010

、一301I。0I7J01，0-3

3n

12.己知A=22o，則()o

1b

(a)A1-A(b)A-]=4*

100、「13、」00、113、

(c)A001202(d)001A二202

01°，、31b、01(),3*

13.設(shè)C,/為同階方陣,/為單位矩陣，若ABC=J,則)o

(a)ACB=I(b)CAB=J(c)CBA=l(d)BAC=I

14.設(shè)A為〃階方陣，且141Ho，則()o

10

(a)A經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂?

(b)由AX=B4,可得X=N

(c)當(dāng)(A|/)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?/|B)時(shí)，有4一1=8

(d)以上(a)、(b)、(c)都不對

15.設(shè)A為〃zx〃階矩陣，秩(A)=,?</?<〃，則()o

(a)A中r階子式不全為零(b)4中階數(shù)小于r的子式全為零

(I0、

(c)A經(jīng)行初等變換可化為」(d)4為滿秩矩陣

(00)

16.設(shè)A為〃?x〃矩陣，C為〃階可逆矩陣，B=AC,則()。

⑸秩(A)>秩(B)(b)秩(A)=秩(B)

(c)秩(A)<秩(B)(d)秩(A)與秩(4)的關(guān)系依C而定

17.A,8為n階非零矩陣，且AB=0,則秩(A)和秩(B)()。

(a)有一個(gè)等于零；b)都為n(c)都小于n(d)一個(gè)小于n,一個(gè)等于n

18.n階方陣A可逆的充分必要條件是()o

(a)r(A)=r<n(b)A的列秩為n

(c)4的每一個(gè)行向量都是非零向量(d)伴隨矩陣存在

19.n階矩陣A可逆的充要條件是()。

(a)A的每個(gè)行向量都是非零向量

(b)A中任意兩個(gè)行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線性表示

(d)對任何n維非零向量X,均有AXH()

二、填空題

1.設(shè)A為n階方陣，/為n階單位陣,且4=/,則行列式刈=______

0ab

2.行歹U式一。0c=

-b-c0

Uo1、

3.設(shè)2A=020,則行列式|(4+3/尸(42-9/)|的值為_______

<001J

T一叵

4.設(shè)A=%-2,且已知46=/,則行列式卜”=

V3\_

<T2>

5.設(shè)A為5階方陣，K是其伴隨矩陣，且同=3,則A“=

6.設(shè)4階方陣4的秩為2,則其伴隨矩陣A"的秩為

…他、

a2blab…。2a

7.非零矩陣22的秩為

4blaf,b2…。力“'

8.設(shè)A為100階矩陣，且對任何100維非零列向量X,均有AX/O,則A的秩

為—

9.若A=（勺）為15階矩陣，則"A的第4行第8列的元素是

10.若方陣A與4/相似，則A=

2

12.lim01

?->0°3

00

三、計(jì)算題

1.解下列矩陣方程（X為未知矩陣）.

12

(c

<223、乙2、’010、(\

c

1)1-10X=22)100X2

2L<0-2;<10

,310、701

3)X(/-3其中3=404；C=212

<422)J21

(\01]

4)AX=A2+x-/,其中A=020

J°b,

9

’423、

5)AX=A+2X,其中4=110

C23).

2.設(shè)A為〃階對稱陣，且1=0,求4.

(\-10、

3.已知A=021,求(A+2/)(M—4/)T

J。-I

2\<3公00、’12、A4

4.設(shè)A=,4=，4=,A4=,求

(0u(23J0oj、oA"

T12、

5.設(shè)A=224，求一秩為2的方陣B,使45=().

036,

「211]p1P

6.設(shè)A=101,B=121,求非奇異矩陣。，使A=C75c.

1oj11

J1o>

7.求非奇異矩陣P,使Pl尸為對角陣.

/、C1一21

（2

1）A=“2）2）A=1-21-03-11,

8.已知三階方陣A的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為

（0,0,1）。（一1,1,0了,（一2』,1）7,求矩陣人

‘5-32、

9.設(shè)A=6-44,求A100.

、4-45,

四、證明題

1.設(shè)A、B均為〃階非奇異陣，求證A3可逆.

2.設(shè)屋二01為整數(shù)），求證/-A可逆.

3.設(shè)《4,…，％為實(shí)數(shù)，且如果巴.工0,如果方陣A滿足

屋+qA"i+…+4_]A+aJ=0,求證A是非奇異陣.

4.設(shè)〃階方陣A與B中有一個(gè)是非奇異的,求證矩陣AB相似于BA.

5.證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.

6.證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.

7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.

8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴

隨矩陣.

9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.

10.證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對稱矩陣和一個(gè)反對稱矩陣的和。

14

第二章參考答案

一：1.a；2.b；3.c：4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；

13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

15

92ai4ai8

，A?1.1或T;2.0；3.-44.1；5.81；6.0；7.1；8.100；

i=l

2、

10.I：12.0：11.

<00;

1

O\-

2-1r1-4-3、(20

H22

9?3；3）、1-5-3;4)、03

-O271o

-64J

20J02)

’1-210、

3-8-6031

01-21

5)、9-9-62.0；-1-3-1

3.001-2

1-212-904.

001;

-3-1-r0I01-3

「71、

5.11i不唯一；6.100;7.1)、2)、-211

I

J0001J122

riooioo_

(3203+2(21)2_2K_3K310°-1

8.00；9.2(2Hxi+3m)—44-2100-2(3,fl0)2(3,00-l)

-112(3,0°-1)2(1-3100)2(3,00)-l

第三章向量

一、單項(xiàng)選擇題

1.%,出,出，四,人都是四維列向量，且四階行列式

a2a3閡=〃0?a、%|二〃川行列式

.%%A+A|=()

(a)m+n(b)m-n(c)—m+n(d)-m-n

2.設(shè)A為〃階方陣，口網(wǎng)=0,則()o

m)4中兩行(列)對應(yīng)元素成比例

(b)A中任意一行為其它行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零

(d)A中必有一行為其它行的線性組合

3.設(shè)A為〃階方陣，r(A)=r<〃，則在A的〃個(gè)行向量中()o

3)必有廠個(gè)行向量線性無關(guān)

(b)任意，個(gè)行向量線性無關(guān)

(c)任意〃個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組

(d)任意一個(gè)行向量都能被其它尸個(gè)行向量線性表示

4.〃階方陣A可逆的充分必要條件是()

(a)r(A)=r<n

S)A的列秩為〃

16

(c)A的每一個(gè)行向量都是m廄向量

(d)4的伴隨矩陣存在

5.〃維向量組％,%，,凡線性無關(guān)的充分條件是()

(4)%,%，,4都不是零向量

(b)%,%，,a中任一向量均不能由其它向量線性表示

(c)即％，……，&中任意兩個(gè)向量都不成比例

(4)生,％，……,4中有一個(gè)部分組線性無關(guān)

6.〃維向量組四,％,……,4"之2)線性相關(guān)的充要條件是()

3)%,%,,a，中至少有一個(gè)零向量

(/?)apa2,,a$中至少有兩個(gè)向量成比例

(c)%,%，...,巴中任意兩個(gè)向量不成比例

3)%,4,...，4中至少有一向量可由其它向量線性表示

7.〃維向量組%,%，，4(34s《〃)線性無關(guān)的充要條件是()

(〃)存在一組不全為零的數(shù)k\,k?,……人使得勺%+k2a2+……ksas

S)%,%，……，巴中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)

(。)四。2,……中存在一個(gè)向量,它不能被其余向量線性表示

...,a5中任一部分組線性無關(guān)

8.設(shè)向量組名,...的秩為廣,則()

……中至少有一個(gè)由一個(gè)向量組成的部分組線性無關(guān)

(/?)%,%,...,凡中存在由廠+1個(gè)向量組成的部分組線性無關(guān)

⑹%,4,.....,%中由，,個(gè)向量組成的部分組都線性無關(guān)

3)%,見，……，&中個(gè)數(shù)小于，?的任意部分組都線性無關(guān)

9.設(shè)%,。2,……，見均為〃維向量，那么下列結(jié)論正確的是()

(。)若。+k2a2+k5as=0,則%,%,...,巴線性相關(guān)

S)若對于任意一組不全為零的數(shù)KK，.....K，都有

4%+k2a2+w(),貝ij。1,%，.....,4線性無關(guān)

(c)若囚,%，...線性相關(guān)，則對任意不全為零的數(shù)4M2,，右，都有

ba、+k2a2+.....k、a、=0

(d)若+0a2+0%=0,則...，見線性無關(guān)

10.已知向量組%,4，的，明線性無關(guān)，則向量組()

(〃)%+%■+%，%+%，%+%線性無關(guān)

(/?)%_%，%_%，%-四線性無關(guān)

(C)%+。2，。2+23，。3+。4，。4一%線性無關(guān)

(4)%+%,%+%，。3-%，%-%線性無關(guān)

1L若向量/?可被向量組囚,%，……，仁線性表示，貝I()

3)存在一組不全為零的數(shù)配冊……,上使得￡=%a+/%+……k。、

18

(Z?)存在一組全為零的數(shù)匕,％2,.....,k*使得klal+k2a2+....ksas

(c)存在一組數(shù)人,心,...人使得夕=匕%+%2a2+......k"

(d)對夕的表達(dá)式唯一

12.下列說法正確的是()

(4)若有不全為零的數(shù)4/2,.....,k5,使得匕％+Z2a2+......k$a,=0,則

%,%，...,a$線性無關(guān)

S)若有不全為零的數(shù)十,&,...人，使得匕。］+%2%+......《%工0,則

%,%,...,a,線性無關(guān)

(c)若％……，巴線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量線性表示

(4)任何〃+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)

13.設(shè)/?是向量組%=(1,0,0)\%=(。，I，。)「的線性組合，則￡二()

3)(0,3,0)，0)(2,0,1/(c)(0,0,l)T(6/)(0,2,1),

14.設(shè)有向量組%=(1,-1,2,4)<%=(0,3,1,2)工

r

a3=(3,0,7,14)/，a4=(1,-2,2,0),as=(2,1,5,10)丁，則該

向量組的極大線性無關(guān)組為()

3)。1，%，。3(〃)%,%,%

⑹%，%，。5%，％，a>

r

15.設(shè)a=(4,%，a3y，0=?b?,Z?3),ax=(apa2),,=(/?),b2),,

下列正確的是()

(a)若。，尸線性相關(guān)，則以,月也線性相關(guān)；

3)若a,儂性無關(guān)，則四,四也線性無關(guān)；

?若囚,左線性相關(guān)，則a,"也線性相關(guān)；

3)以上都不對

二、填空題

1.若防=(1,1,1)7,a2=(1,2,3)。a3=(1,3,力7線件相關(guān)?則［=

0

2.n維零向量一定線性關(guān)。

3.向量a線性無關(guān)的充要條件是______。

4.若%,出。3線性相關(guān)，則%,%，..,a$(s>3)線性關(guān)。

5.n維單位向量組一定線性。

6.設(shè)向量組%,%，……，4的秩為A則%,%,……，4中任意r個(gè)的向

量都是它的極大線性無關(guān)組。

7.設(shè)向量%二(1,0,1),與%=(1，1，正交，貝ija=-----------。

8.正交向量組一定線性。

9,若向量組即%，，%與用量2,.......血等價(jià)，則%,%,...,%的秩與

.......>Pt的秩o

10.若向量組%,%，……,巴可由向量組四，色，……，口線性表示，則

一(%,%，...，&)/(4血,...血)。

rr

11.向量組％=(q,1,0,o),a2=(a2,1,1,0),%=(%,1,I,1)丁的

線性關(guān)系是____。

12.設(shè)n階方陣A=(%,%，…，％)a\=a2+%，則IN=-----------?

13.設(shè)%=(0,y,-3)、%=*，°，0)"若a和尸是標(biāo)準(zhǔn)正交向量，則x

20

和y的值.

14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是

三、計(jì)算題

1.設(shè)%=(1+4,1,1)\%=(1，1+4D"。3=0,1，1+團(tuán)丁，

0=(0,A,22)7,問

(1)%為何值時(shí)，夕能由4,唯一地線性表示?

(2)%為何值時(shí)，夕能由四,%,&線性表示，但表達(dá)式不唯一?

(3)4為何值時(shí),P不能由四,%,出線性表示？

r

2.設(shè)%=(1,0,2,3),，a2=(1,I,3,5),，a3=(1,1,a+2,l),

%=(1,2,4,々+2)")=(1,1,〃+3,5尸問：

(1)。泊為何值時(shí)，夕不能表示為四,%,%，%的線性組合？

(2)。力為何值時(shí)，P能唯一地表示為%,%,%，%的線性組合？

r

3.求向量組%=(1,-1,0,4兒a2=(2,1,5,6)1%=(1,2,5,2),

%=(1,—1,-2,0)T,%=(3,0,7,14)『的一個(gè)極大線性無關(guān)組，

并將其余向量月該極大無關(guān)組線性表示。

4.設(shè)%二(L1,1)1%=(1,2,3)『，a3=(1,3,/)/，t為何值時(shí)%,出,如線性相

關(guān)，I為何值時(shí)%,出,出線性無關(guān)？

5.將向量組%=(1,2,0)1%=(-1,0,2兒％=(0,1,2)，標(biāo)準(zhǔn)正交化。

四、證明題

1.設(shè)4=%+%,用2=3%-%,#3=2%-%，試證綜尸2血線性相關(guān)。

2.設(shè)a”。2,...,a“線性無關(guān),證明%+%，%+%，...,ae十%在n為奇數(shù)時(shí)

線性無關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。

3設(shè)％,%,...，4,夕線性相關(guān),而％,。2,......，見線性無關(guān),證明夕能由

%,鬼，...，%.線性表示且表示式唯一。

4.設(shè)囚,。2,。3線性相關(guān)，。2，。3，出線性無關(guān)，求證明不能由線性表示。

5.證明：向量組%，%,……,4(s22)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向

量是其余向量的線性組合。

6,設(shè)向量組%,%，.....，4中四工0,并且每一個(gè)里都不能由前個(gè)向量線性

表示(i=2,3,…,s),求證4線性無關(guān)。

7.證明：如果向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。

8.設(shè)a0,a5是線性無關(guān)向量組，證明向量組

。。，夕。+%，。0+°2,…，°。+%也線'性無關(guān)。

22

第三章向量參考答案

一、單項(xiàng)選擇

l.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.blO.cll.c12.d13.a

14上15.a

二、填空題

1.52.相關(guān)3.。工04.相關(guān)5.無關(guān)6.線性無關(guān)7.-1

8.無關(guān)9.相等10.<11.線性無關(guān)12.013.x=±\.y=

14.對應(yīng)分量成比例

三、解答題

1.解：設(shè)+工3。3

(1+2)X]+X2+X3=0

貝！J對應(yīng)方程組為，％[+(1+2)%2+工3=2

X,++(1+尤)工3=萬

1+義11

其系數(shù)行列式|4|=11+丸1=萬(幾+3)

111+2

(1)當(dāng)-3時(shí)，/，()，方程組有唯一解，所以僅可由四,%.%唯一

地線性表示;

。110)pI10、

(2)當(dāng)4=0時(shí)?，方程組的增廣陣A=1110-0000

J110)(0000;

r(A)=r(A)=1<3,方程組有無窮多解，所以月可由%,%外線性表示，

但表示式不唯一；

(3)當(dāng);1=-3時(shí)，方程組的增廣陣

「2110、n-21-3、

A=1-21-3->0-33-12,r(A)*r(A),方程組無解,

1-29J100

0-18,

所以夕不能由線性表示。

2.解:以為列構(gòu)造矩陣

’11111

<11111、

0111

01121

001上0

23a+24b+34

\-a2

<351a+85;000b

I.4

(1)當(dāng)。=±1且-W耐，夕不能表示為%,%，4，%的線性組合；

(2)當(dāng)aw±l,〃任意時(shí)，夕能唯一地表示為%,%，%，%的線性組合。

12113。0-102、

cm-112-1001101

3.解：(a,,a”%,a,,a)=

~s055-270001-1

462014(00000,

%,%，%為一個(gè)極大無關(guān)組，且％=-%+%+0%，%=2%+%-。4

111

4.解：同,％,%|=?23=r-5,

13t

當(dāng)/=5時(shí)%,%，%線性相關(guān)，當(dāng)/工5時(shí)%,%，出線性無關(guān)。

5.解：先正交化：

令四二%二(1,2,0)7

」Arz42

2

=FA=---

22A夕

l55

■\

T

、

小A11-

33

A9A,p-

.-a2-6-6-

,A]29/

再單位化:

24

片,%,乙為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

四、證明題

1.證：???3（回+為）一4（2氏一夕3）=0

???-5笈+3尸2+4四=0

???P，&自線性相關(guān)

2.證：設(shè)&1（%+%）+A（%+%）+~+%”（%+四）=0

則（匕+左）%+.+k2）%+…（Li+k.）%=0

VaPa2,.......線性無關(guān)

k\+3=0

匕+&=0

kn{+k=0

10001

11000

01100

其系數(shù)行列式

?????????，”土湍

00010

00011

???當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，卜也,人只能為零，a：%，,a〃線性無關(guān);

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，心也,……M”可以不全為零，%,%，……，?！本€性相關(guān)。

3.證：???如%，……,4,4線性相關(guān)

???存在不全為零的數(shù)占……人,火使得

仁明+k2a2+...+ksas+k/3=0

若攵=(),則屋a,+.............+￡a=0,(K，k”...，人不全為零)

與%,%，...,%線性無關(guān)矛盾

所以攵。()

于是夕=4%-與%-……~^s

KKk

二夕能由4,%，...,4線性表示。

設(shè)/=卜出+Z2a2+............十人氏①

。=I、%+12a2+...+1a②

則①-②得(k{-Z1)a)+(k2—12)a2+...4-(ks—ls)as=0

%,%，...,a,線性無關(guān)

:.k「L=0,(z=1,2,…，s)

???尤=4，(i=l,2,…,S)即表示法唯一

4.證：假設(shè)出能由%，%，線性表示

%,。3，4線性無關(guān)，?二。2，。3線性無關(guān)

：線性相關(guān)，，%可由%，。3線性表示，

/.凡能由巴,%線性表示，從而見.。3,。4線性相關(guān)，矛盾

26

，出不能由線性表示。

5.證：必要性

設(shè)向量組四,％,……,4線性相關(guān)

則存在不全為零的數(shù)，a,使得占％+&%+...+右q=。

不妨設(shè)冗工0,則4=—，k因―k等辦—……—芋k?！?，

hk「ks

即至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

充分性

設(shè)向量組％,%,……，氏中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合

不妨設(shè)=4%+&%+...

貝!）匕%+k2a2++攵$_|4_]-as=0,

所以生,%，，/線性相關(guān)。

6.證：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)s二l時(shí)，四w0,線性無關(guān)，

當(dāng)s=2時(shí)，<%不能由4線性表示，，%,%線性無關(guān)，

設(shè)§=1-1時(shí)，%,%，...線性無關(guān)

則s=i時(shí)，假設(shè)%,火，,%線性相關(guān)，???%%，…，見線性無關(guān)，風(fēng)可

由四,%，,4_[線性表示，矛盾，所以四,%，,見線性無關(guān)。得證

7.證：若向量組四,%，，%中有一部分組線性相關(guān),不妨設(shè)囚,%，，％（r<s）

線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)……使得

+a

k0i+k2a2+...^rr=0

于是匕%+k2a2+.......+k,a,+Oar+I+…+0a、=0

因?yàn)樨?22,....,勺,0，一、。不全為零

所以四,%,..,a,線性相關(guān)。

8.證：設(shè)《凡)+kt(a()+%)+左2(%)+%)+…+A(%)+%)=0

貝ij(ko+kx+k2+???+%,)%)+占/+k2a2+…+勺/=0

因線性無關(guān),

k0+k]+攵2+…+%$=0

%=0

所以<22=0解得kn=k、=k2=…=k、=0

長=0

所以向量組織),4+%、4)+%「?，4+a$線性無關(guān)。

28

第四章線性方程組

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)〃元齊次線性方程組4X=0的系數(shù)矩陣的秩為,，則AX=O有非零解的充

分必要條件是()