高等數(shù)學(xué)課件

目錄

一、函數(shù)與極限..................................................................2

1、集合的概念................................................................2

2、常量與變量................................................................3

2、函數(shù)......................................................................4

3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)...........................................................4

4、反函數(shù)....................................................................5

5、復(fù)合函數(shù).................................................................6

6、初等函數(shù).................................................................6

7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù).....................................................7

8、數(shù)列的極限................................................................8

9、函數(shù)的極限................................................................9

10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則......................................................11

一、函數(shù)與極限

1、集合的概念

一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給

定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能

構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素、

如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于A,記作：aCA,否則就說(shuō)a不屬于A,記作：a任A。

⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或白然數(shù)集）。記作N

⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N'或N+。

⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。

⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。

⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“{}”括起來(lái)表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。

集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就

說(shuō)A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作ACB（或BnA）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中

的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A=B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A,我們稱集合A是集合

B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作0,并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即ACA

②、對(duì)于集合A、B,C,如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運(yùn)算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A

UB。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）

即AUB={x|xCA,或xWB}。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A

FIB。

即ACB={x|x￡A,且xdB}。

⑶、補(bǔ)集：

①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。

通常記作U。

②補(bǔ)集：對(duì)了一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U

的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA。

即CuA={x|xeu,且xeA}。

集合中元素的個(gè)數(shù)

⑴、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。

⑵、用card來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A={a,b,c},則card(A)=3。

⑶、?般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B,有

card(A)+card(B)=card(AUB)+card(AnB)

我的問(wèn)題：

1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)人={x|x是參加一百米跑的同學(xué)),B={x|x是參加二百米跑的同學(xué)},C

={x|x是參加四百米跑的同學(xué)}。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的

運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。(1)、AUB：⑵、AOB.

2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C={(x,y)]尸x}表示直線丫=*,從這個(gè)角度看，集合D={(x,y)|方程組：

2x-y=l,x+4產(chǎn)5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系。

3、已知集合人=僅|1忘*遼3},B={x|(x-l)(x-a)=Oh試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A

=B成立？

4、對(duì)于有限集合A、B、C,能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？

5、無(wú)限集合人={1,2,3,4,1??,n,???},B={2,4,6,8,…，2n,…},你能設(shè)計(jì)一種比較

這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？

2、常量與變量

⑴、變量的定義：我們?cè)谟^察某?現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不

起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為

變量.注：在過(guò)程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我

們則把它看作常量。

⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是

指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。

區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示

閉區(qū)間aWxWb[a,b]-i------1—t

開區(qū)間a<x<b(a,b)——i—>

半開區(qū)間aVxWb或aWxVb(a,b]或[a,b)-------1~~T

-------1—t

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：

[a,+<=°)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：aWx<+8；

(-8,b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-8<x<b；

(-8,+OO).表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-8<X<+8

注：其中-8和+8,分別讀作〃負(fù)無(wú)窮大"和"正無(wú)窮大"，它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。

⑶、鄰域：設(shè)a與6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且6>0.滿足不等式|x-a|<5的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)a的

6鄰域，點(diǎn)a稱為此鄰域的中心，8稱為此鄰域的半徑。

2、函數(shù)

⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確

定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y

叫做函數(shù)值(或因變量)，變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用

記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來(lái)表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系，它們是可以

任意采用不同的字母來(lái)表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有個(gè)確定的值和它

對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。

⑵、函數(shù)相等

由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)

關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全?致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。

⑶、域函數(shù)的表示方法

a):解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，

半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2

b)：表格法：將?系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在

實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。

c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來(lái)表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表

示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：

3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)

⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間/的所有x值總有|f(x)|成立，其中M是一個(gè)與x無(wú)關(guān)

的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無(wú)界。

注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

例題：函數(shù)COSX在(-8,+8)內(nèi)是有界的.

⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x,

及X”當(dāng)x,〈X2時(shí)，有75),則稱函數(shù)/⑸在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)力

在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)七及xz,當(dāng)x,Vx?時(shí)，有/(*>)才⑷

則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。

例題：函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)增加的。

⑶、函數(shù)的奇偶性

如果函數(shù)J"）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足/代切=/（*），則/&）叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)/（“）

對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足/O=-/⑸，則J8叫做奇函數(shù)。

注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

⑷、函數(shù)的周期性

對(duì)于函數(shù)/口），若存在一個(gè)不為零的數(shù)/,使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都

成立，則了㈤叫做周期函數(shù)，/是*1）的周期。

注：我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。

例題：函數(shù)疝是以2”為周期的周期函數(shù)：函數(shù)tgx是以n為周期的周期函數(shù)。

4、反函數(shù)

⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)尸=」（］），若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取值y.時(shí)，變量x在函數(shù)的

定義域內(nèi)必有一值X。與之對(duì)應(yīng)，即/（*?）=九，那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用K=2）來(lái)表

示，稱為函數(shù)〃"㈤的反函數(shù).

注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)彳=?^的反函數(shù)。

⑵、反函數(shù)的存在定理：若在（a,b）上嚴(yán)格增（減），其值域?yàn)镽,則它的反函數(shù)必然在R

上確定，且嚴(yán)格增（減）.

注：嚴(yán)格增（減）即是單調(diào)增（減）

例題：y=x）其定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)椋?,+8）.對(duì)于y取定的非負(fù)值，可求得*=±.若我們不

加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間（-8,+8）上，函數(shù)不是嚴(yán)格增（減），故其沒有反

函數(shù)。如果我們加上條件，要求x》0,則對(duì)y》0、x=W就是y=/在要求x20時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)

在此要求下嚴(yán)格增（減）.

⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同-坐標(biāo)平面內(nèi)，與X=的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。

例題：函數(shù)尸=2,與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線

y=x對(duì)稱的。如右圖所示:

5、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：而u又是x的函數(shù)：*=■*),且必)的函數(shù)

值的全部或部分在/蒯)的定義域內(nèi)，那末，y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)

》=」&)及“=?<X)復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作/=力?切，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

例題：函數(shù)>=811a1111與函數(shù)**=2+2是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。

因?yàn)閷?duì)于*=2+一的定義域(一8,+8)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值(都大于或等于2),使

都沒有定義。

6、初等函數(shù)

⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、恭函數(shù)、三

角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來(lái)把它們總結(jié)?下:

函

數(shù)

函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)

名

稱

里

指

數(shù)y#0a):不論x為何值,y總為正數(shù)；

函b):當(dāng)x=0時(shí),y=l.

數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè)，并過(guò)

對(duì)

(1,0)點(diǎn)

數(shù)

■詼X,2:當(dāng)2>1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為

函?y=loga#0

負(fù)；在區(qū)間(-,+8)的值為正；在定義

數(shù)

域內(nèi)單調(diào)增.

令a=m/n

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函

廨

數(shù)；

函/=La為任意實(shí)數(shù)

b):當(dāng)嗎n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)；

數(shù)

c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-°°,0)無(wú)意

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一

義.

部分。

a):正弦函數(shù)是以2“為周期的周期

_x=ax

角夕=.*(正弦函數(shù))函數(shù)

函

這里只寫出了正弦函數(shù)

數(shù)b)：正弦函數(shù)是奇函數(shù)且L1

反1

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我

7=arcotix(反正弦函數(shù))1

角們此函數(shù)值限制在［-B/2,n/2］上，

函這里只寫出了反正弦函數(shù)并稱其為反正弦函數(shù)的主值.

數(shù)

(2)、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用-

個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

例題：=是初等函數(shù)。

7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)

*=0&0=UM)=0?0=0vcot0=ltan0=0

shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)

班'*一必，=1sh3x4-co?ax=l

它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)

雙曲函數(shù)也有和差公式:

&(x±A)=cAxc*y土加血

歡（x切=加土的

I土如期

（2）、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).

+其定義域?yàn)椋海╛8,+8）；

a）：反雙曲正弦函數(shù)

■?AX=H*+J—）其定義域?yàn)椋嚎?+8）；

b）：反雙曲余弦函數(shù)

.1.1+x

="n.-----

C）：反雙曲正切函數(shù)21-X其定義域?yàn)椋海?1,+D；

8、數(shù)列的極限

我們先來(lái)回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。

（1）、數(shù)列：若按照一定的法則，有第?個(gè)數(shù)a”第二個(gè)數(shù)a”…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整

數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)a“那末，我們稱這列有次序的數(shù)a"a”…，a”，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)

叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)a.叫做數(shù)列的般項(xiàng)或通項(xiàng).

注：我們也可以把數(shù)列4看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：a.=7S）,它的定義域是全體正整數(shù)

（2）、極限：極限的概念是求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。

例：我們可通過(guò)作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。

設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A,：再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A“

再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A：,；依次循下去（?般把內(nèi)接正6X2='邊形的面積記為A.）可得?

系列內(nèi)接正多邊形的面積：A、,即，犯，…，An,…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正

多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，An也無(wú)限接近某?確定的數(shù)值（圓的面積），這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)

列A”Aa,A3,???,An,1??當(dāng)n—8（讀作n趨近于無(wú)窮大）的極限。

注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）的割圓術(shù)。

⑶、數(shù)列的極限：?般地，對(duì)于數(shù)列*】?丐?“,?本??”■來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù)e（不論其多么

?。偞嬖谡麛?shù)N,使得對(duì)于n>N時(shí)的一切三不等式卜?一“卜"都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列入

的極限，或者稱數(shù)列尾收斂于a.

記口/作生：**?或■—abz

注：此定義中的正數(shù)e只有任意給定，不等式卜,一.R,才能表達(dá)出與a無(wú)限接近的意思。且

定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)e是有關(guān)的，它是隨著e的給定而選定的。

⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，卜.面我們?cè)俳o出它的?個(gè)幾何解釋，

以使我們能理解它。數(shù)列三極限為a的?個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列”】?馬?…，。?…在數(shù)軸上用它

們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的e鄰域即開區(qū)間（a-e,a+e）,如下圖所示：

因不等式k?一與不等式。一“勺々4"“等價(jià)，故當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)三都落在開區(qū)間

（a-e,a+e）內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有N個(gè)）在此區(qū)間以外。

注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。

⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列三，若存在著正數(shù)M,使得一切尾都滿足不等式I羽IWM,則稱數(shù)

列三是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列%是無(wú)界的。

定理：若數(shù)列三收斂，那末數(shù)列女，一定有界。

注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列1,

-1,11-1,?">是有界的，但它是發(fā)散的。

9、函數(shù)的極限

前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1-8內(nèi)的正整數(shù)，

若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.

函數(shù)的極值有兩種情況：a）：白變量無(wú)限增大；b）：自變量無(wú)限接近某?定點(diǎn)X”如果在這時(shí)，函數(shù)

值無(wú)限接近于某?常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢？

下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念！

⑴、函數(shù)的極限（分兩種情況）

a）:白變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意給定的正數(shù)e（不論其多么小），總存在著正數(shù)X,使得對(duì)于適

合不等式kK的-切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/㈤都滿足不等式

g-不￡

?-fco/（x）=J

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)〃-JW當(dāng)x~8時(shí)的極限，記作：一

下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比-T：

數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義

存在函數(shù)/=與常數(shù)A,任給一正數(shù)

存在數(shù)列■與常數(shù)A,任給-正數(shù)e>0,

e>0,總可找至IJ一正數(shù)X,對(duì)于適合kK的

總可找到一正整數(shù)N,對(duì)于n>N的所有**都滿足

一切x,都滿足-本'，函數(shù)

H-"ve則稱數(shù)列,一當(dāng)x~8時(shí)收斂于A記：

/=/（"）當(dāng)x-8時(shí)的極限為A,記：

=A

ira/（x）=jl

6—A

從匕表我們發(fā)現(xiàn)了什么？？試思考之

b）:自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來(lái)看一個(gè)例子.

例/=

ax~i時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=i處無(wú)定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)

來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把X~1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出,

如下圖：

ojea—MI-iJMIJDI1.1-

1JR1J89a-2-0012.012.1—

從中我們可以看出x-1時(shí)，f8-2.而且只要x與1有多接近，JS）就與2有多接近.或說(shuō)：只

要/（x）與2只差一個(gè)'微量e，就-定可以找到-個(gè)6，當(dāng)時(shí)滿足依“）-2|<6定義：設(shè)

函數(shù)在某點(diǎn)X。的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A,如果對(duì)任意給定的e（不論其多么?。偞?/p>

在正數(shù)6,當(dāng)0<k-4<6時(shí)，V（*）-4ve則稱函數(shù)當(dāng)x~x?時(shí)存在極限，且極限為A,

Emy（x）=A

記：—O

注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻揦-X。的過(guò)程，與X=X。出的情況無(wú)關(guān)。此

定義的核心問(wèn)題是：對(duì)給出的e,是否存在正數(shù)6,使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。

有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為A,其證明方法是怎樣的呢？

a）：先任取e>0；

b）:寫出不等式伙e；

c）:解不等式能否得出去心鄰域0V卜一巧1<3,若能;

d）:則對(duì)于任給的e>0,總能找出8,當(dāng)0<k-01<6時(shí)，E成立，因此

10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。

⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x-x。（或x-8）時(shí)，

fanUS土爪叨=A±Bfa=

則：

fcn儂=4.(”Q)

一B

fan4/（/=?4為常數(shù)）fanL/?l"=-.g為正整強(qiáng))

推論：■—

在求函數(shù)的極限時(shí)，利用I：述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。

,,3X1+x-l

hm

例題：求**i43+xi-x+3

-￥y-1_______：3/+學(xué)一-1=3+1-1=3

**l4?V?-7T3fan4K3+faix1-fanx-Ffan3-41I-1-1+3-7

解答:■"H??IzlML

5*T，+2

例題：求1》7P+5x'-3

此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母

都沒仃極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)。

342

3^-4?+2-一f+/

■n.--------=km______=-3

?-7三+”'一337

r+-----=-

解答：K/

注：通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，

應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。

函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來(lái)學(xué)習(xí)?下左、右的概念。

我們先來(lái)看一個(gè)例子：

-Lx<0

0=?Q*=0

例：符號(hào)函數(shù)為llxX

對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),X從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概

念。

定義:如果x僅從左側(cè)（xVx0）趨近X。時(shí)，函數(shù),（"）與常量A無(wú)限接近，則稱A為函數(shù)/（>）當(dāng)*

黑/（才=，

時(shí)的左極限.記:

如果x僅從右側(cè)（x>x。）趨近X0時(shí)，函數(shù)/（K）與常量A無(wú)限接近，則稱A為函數(shù),5）當(dāng)XTg時(shí)

的右極限.記：3/?='

注：只有當(dāng)X-X。時(shí)，函數(shù),U）的左、右極限存在且相等，方稱在x~x0時(shí)有極限

函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)X。的某一鄰域內(nèi)的一切X,X。點(diǎn)本身可以除外（或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的切X）有

〃⑸且氏乂

那末f存在，且等于A

注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.

注：有極限的函數(shù)不?定單調(diào)有界

兩個(gè)重要的極限

匕（1+3?=.

—:****X

注：其中e為無(wú)理數(shù),它的值為：e=2.718281828459045

im-----=1

二：***x

注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.

注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.

例題：求Z**

解答：令2,則x=-2t,因?yàn)閄f8,故t—8,

則三嶺=區(qū)（1+/由（1+/堂0少產(chǎn)=一

注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時(shí)，若用t代換1/x,則t~0.

無(wú)窮大量和無(wú)窮小量

無(wú)窮大量

我們先來(lái)看一個(gè)例子：

己知函數(shù)”,當(dāng)x-0時(shí)，可知-8,我們把這種情況稱為趨向無(wú)窮大。為

此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)丫=/?）,在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)M一個(gè)任意大

的數(shù)），總可找到正數(shù)6,當(dāng)

0<^-52時(shí)，火磷>"成立，則稱函數(shù)當(dāng)*~*勺時(shí)為無(wú)窮大量。

fanD=8

記為：（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）

同樣我們可以給出當(dāng)X-8時(shí)，JQ）無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=/Q）,當(dāng)X充分大時(shí)有定義，

對(duì)于任意給定的正數(shù)M-個(gè)任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù)M當(dāng)護(hù)"時(shí)，必命w成立，則稱函

fan/（x）=co

數(shù)當(dāng)x~8時(shí)是無(wú)窮大量，記為：Z.

無(wú)窮小量

以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。

定義：設(shè)有函數(shù),對(duì)于任意給定的正數(shù)e（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)6（或正數(shù)粉，使得對(duì)

于適合不等式一“卜'（或卜A"）的?切X,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式"（畸"，則稱函

數(shù)/⑸當(dāng)"T，或Xf8）時(shí)為無(wú)窮小量.

fan/（x）=0fan/（x）=0

記作：『（或一）

注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是?個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無(wú)窮小量的唯一常量。

無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互

為倒數(shù)關(guān)系的.

關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理

定理一:如果函數(shù),8在*T,或X-8）時(shí)有極限A,則差/&）-4=區(qū)力是當(dāng)XT~（或

Xf8）時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。

定理二：無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理

a）：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；b）：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；c）：常數(shù)與無(wú)

窮小量的積也是無(wú)窮小量.

無(wú)窮小量的比較

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)

是怎樣的呢？好！接卜.來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。

定義：設(shè)a,B都是時(shí)的無(wú)窮小量，且B在我的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

Em—=0

a）：如果人■戶，則稱a是。的高階無(wú)窮小或P是a的低階無(wú)窮??；

f_an—a_

b）：如果7",則稱a和P是同階無(wú)窮??；

fan--I

c）：如果.8。，則稱a和B是等價(jià)無(wú)窮小，記作：asB（a與B等價(jià)）

JMI

Hix

例：因?yàn)閞*3x3,所以當(dāng)x-0時(shí)，X與3x是同階無(wú)窮小;

Wm=0

因?yàn)閕03x,所以當(dāng)XfOH寸，一是3x的高階無(wú)窮??；

..sinx

ml------

因?yàn)?°X所以當(dāng)x-0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小。

等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)

設(shè)md””,且嶗存在則嘮*菅

注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可

以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。

■max

fan-------

例題:1.求Ztanbx

..ax<s

hn----=hm--=-

解答：當(dāng)x~*0時(shí)，sinaxsax,tanbx^bx,故：***taKlbxbxb

_tanx-mx

例題：2.求***tan'lx

_tanx—snx_tan.xfl-cosJQ..",*）1

Em-------=-------=tan——---------=Lin—=—=-=—

解答.tans3x*??tans3x?**（3J054

注；22，2

注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。

函數(shù)的一重要性質(zhì)一連續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的

反映，就是函數(shù)的連續(xù)性

在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念一增量

設(shè)變量X從它的一個(gè)初值XI變到終值X2,終值與初值的差X2-XI就叫做變量X的增量，記為：4x即：

4X=XLX,增量4x可正可負(fù).

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子:函數(shù)＞=/0在點(diǎn)xt.的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在領(lǐng)域內(nèi)從Xo變到Xo+Z\x

時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從」（"?）變到/（”■+&）,其對(duì)應(yīng)的增量為:

a=/(\+g-/(q)

這個(gè)關(guān)系式的兒何解釋如下圖:

現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)4x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量Ay也趨向于零，即:

那末就稱函數(shù)7在點(diǎn)而處連續(xù)。

函數(shù)連續(xù)性的定義:

如果有既加"如■）稱函數(shù)在點(diǎn)

設(shè)函數(shù)，=/3在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,

x?處連續(xù)，且稱x?為函數(shù)的＞=/（0的連續(xù)點(diǎn).

下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a,b]

存在且等于,即：&J。）,

那末我們就稱函數(shù)/1?）

內(nèi)有定義，如果左極限

在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)/白）在區(qū)間[a,b）內(nèi)有定義，如果右極限Al,存在且等于/1）,即:

g那末我們就稱函數(shù)yQ）在點(diǎn)a右連續(xù).

一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在（a,b）連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間

[a,b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。

注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).

注：連續(xù)函數(shù)圖形是?條連續(xù)而不間斷的曲線。

通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)耍是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)

什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn)

函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).

它包括三種情形：a）：/W在X。無(wú)定義；

b）：在x-X。時(shí)無(wú)極限：

c）：/（*）在x-x0時(shí)有極限但不等于/（“?）：

下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型:

jr.

JT=-X=—

例i：正切函數(shù)7=的”在2處沒有定義，所以點(diǎn)2是函數(shù)尸的間斷點(diǎn)，因

fantanx=?□X

F，我們就稱2為函數(shù)7=由"的無(wú)窮間斷點(diǎn);

=』—

1y

例2：函數(shù)*在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次，我

1

y=sn-

們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)M的振蕩間斷點(diǎn)；

x-l,x<30

='（tx=o

（）

例3：函數(shù)Ix+L3￡K>0*當(dāng)x-0時(shí)，左極限—fcn?/?=-1，右極限—/x=1，從

這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)X=O是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)

在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾

何圖形表示出來(lái)如下：

間斷點(diǎn)的分類

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果X。是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把X。稱為

函數(shù)/Q）的第一類間斷點(diǎn)；不是第?類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).

可去間斷點(diǎn)

若血是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限既'O’存在，那末x。是函數(shù)/（“）的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函

數(shù)不連續(xù)原因是：J’“不存在或者是存在但ZR片33"。我們令Z知，則

可使函數(shù)/G）在點(diǎn)X。處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)X。稱為可去間斷點(diǎn)。

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性

我們通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：

a）：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；

b）：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是?個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；

c）：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）；

反函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù)，那末它的反函數(shù)”=也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間

上單調(diào)增（單調(diào)減）且連續(xù)

例：函數(shù)在閉區(qū)間2*2上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)/=""3*1”在閉區(qū)間11,1］

上也是單調(diào)增且連續(xù)的。

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)*=火0當(dāng)x-x?時(shí)的極限存在且等于a,即：現(xiàn)b""..而函數(shù)尸在點(diǎn)u=a

連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)＞=」配目1當(dāng)x~x?時(shí)的極限也存在且等于即：既'9）

1

Im

例題：求???

%3（1+*尸=C）M（氏+=

12

注：函數(shù)y=8?l+*A可看作，=皿*與"=0+工尸復(fù)合而成，且函數(shù)爐=8**在點(diǎn)u=e

連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。

設(shè)函數(shù)==火左）在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且?＜%）=、，而函數(shù)＞在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的

初等函數(shù)的連續(xù)性

通過(guò)前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；

一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾

條重要的性質(zhì)，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明）

例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間［0,2”］上連續(xù)，則在點(diǎn)x=貝/2處，它的函數(shù)值為1,且大于閉區(qū)間［0,28］

上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3n/2處，它的函數(shù)值為T