高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)全套講義（學(xué)生）

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

第1課時(shí)集合的概念及運(yùn)算

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能選擇自然語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言，

集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用，

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；了解全集與空集

的含義.

3.理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義，會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集；理解在給

定集合中一個(gè)子集補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用文氏圖表達(dá)集

合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

4.集合問(wèn)題常與函數(shù)，方程，不等式有關(guān)，其中字母系數(shù)的函數(shù)，方程，不等

式要復(fù)雜一些，綜合性較強(qiáng)，往往滲透數(shù)形思想和分類(lèi)討論思想.

【基礎(chǔ)知識(shí)部分】

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表

示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aGM,或者a&M,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛x|x具有的性質(zhì)｝，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

(5)集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有

任何元素的集合叫做空集().

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

AcB(l)ACA

(或A中的任一元素都

子集⑵?cA

屬于B(3)若AcB且BcC,則AcC

B2A)(4)若AcB且BcA,則A=B或

ACBAcB,且B中至⑴OcA(A為非空子集)

真子集(或少有一元素不屬于

(2)若AcB且BcC,則AcC

B>A)A

A中的任一元素都

集合(l)ACB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BCA

一元素都屬于AQ

⑺已知集合A有n(nNl)個(gè)元素，則它有2〃個(gè)子集，它有2〃-1個(gè)真子集，它有2”T個(gè)

非空子集，它有2”-2非空真子集.

⑻交集、并集、補(bǔ)集

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

⑴AAA=A

{x|x@A,且S)

An⑵AA0二

交集

x￡B}(3)AHBeA

AABcB

⑴AUA=A

{x|xGA,或

AU⑵AU0=A

并集

xEB)⑶AUB=A

AUB_B

1An(q,A)=Xrt

{xxGU,且xWA}瘤(AAB)=(vA)U(,B)

補(bǔ)集dA|jG)

癌(AUB)=(yAn(B)2AU(Q,A)=U

【范例解析】

例.已知R為實(shí)數(shù)集，集合A={x2x-3x+2S.若BUCA=R,

BOCA={x|0<x<l或2Vx<3},求集合B

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.集合{(x,y)|0SxS2,gy<2,x,y￡Z}用列舉法表示.

2.設(shè)集合A={x|x=2k-l,k￡Z},B={x|x=2k,k￡Z},貝UACB=

3.已知集合乂={0,1,2}。=以?xún)H=2皿￡乂},則集合MCN=

4.設(shè)全集1={1,3,5,7,9},集合A={l,|a-5|,9},CiA={5,7},則實(shí)數(shù)a的值為

【反饋演練】

1.設(shè)集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},則(AnB)UC=-

2.設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合

P+Q={a+b|aEP,bGQ},^P={0.2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是個(gè).

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3.設(shè)集合P={x|x2-x-6<0},Q={x|2a<x<a+3}.

⑴若PUQ=P,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若PCQ=%求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若PoQ={xOWx<3},求實(shí)數(shù)a的值.

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第2課命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.了解命題的逆命題，否命題與逆否命題的意義；會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.

2.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，“且”，“非”的含義；能用“或”，“且”，“非”表述

相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

3.理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義；能用全稱(chēng)量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)

內(nèi)容.理解對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義；能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞

的命題進(jìn)行否定.

【基礎(chǔ)知識(shí)部分】

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.

2、“若p,則q”形式的命題中的p稱(chēng)為命題的條件，q稱(chēng)為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，

則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆

命題。若原命題為“若p,則q"，它的逆命題為“若q,則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定

和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互否命題.中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)

為原命題的否命題.若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為“若-p,則-q”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定

和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互為逆否命題。其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另

一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆否命題。若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為“若-q,

則-P”。

晝解______工逆______逆命題

若盥

否萬(wàn)戶(hù)否

否命題—、、逆否命題

若P則一q互逆若二q則一P

6、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

⑴兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

⑵兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

7、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pt.

當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pAq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題

是假命題時(shí)，pAq是假命題.

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pvq.

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pvq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)

命題都是假命題時(shí)，pvq是假命題.

對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作-p.若p是真命題，則-p

必是假命題；若p是假命題，則-p必是真命題.

8、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用“V”表

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示.

含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題.

全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立"，記作，"vxeM5P(X)”.

短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞，用“3”表

示.含有存在量詞的命題稱(chēng)為特稱(chēng)命題.

特稱(chēng)命題“存在m中的一個(gè)x,使p(x)成立"，記作"xeM^x)”.

9、全稱(chēng)命題p:VxeM,p(x),它的否定-p:3x￡M,-p(x)°全稱(chēng)命題的否

定是特稱(chēng)命題。

特稱(chēng)命題p:3x￡M,p(x),它的否定-p:Vx￡M,-p(x)。特稱(chēng)命題的否定

是全稱(chēng)命題。

10、常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一一個(gè)也沒(méi)有

個(gè)

都是不都是至多有一至少有兩個(gè)

個(gè)

大于不大于至少有n至多有(nT)

個(gè)個(gè)

小于不小于至多有n至少有(n+1)

個(gè)個(gè)

對(duì)所有X,存在某X,

成立不成立P或q-p且-q

對(duì)任何X,存在某X,

不成立成立p且q―/7或F

【范例解析】

例1.寫(xiě)出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題并判斷真假.

(1)平行四邊形的對(duì)邊相等；

(2)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分；

(3)設(shè)a,b,c,d?R,若a=b,c=d,貝1Ja+c=b+d.

例2.寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”,“p且q”，“非p”形式的命題，并判

斷真假.

(l)p:2是4的約數(shù)，q:2是6的約數(shù)；

(2)p:矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，q:矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；

(3)p:方程x2-x+l=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同，q:方程x2-x+l=0的兩實(shí)根

的絕對(duì)值相等.

例3.寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假.

(Dp：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；

(2)p:每一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；

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(3)p:存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于180。；

(4)p:有的四邊形沒(méi)有外接圓；

(5)p:某些梯形的對(duì)角線(xiàn)互相平分.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.下列語(yǔ)句中：①x2-3=0;②你是高三的學(xué)生嗎？③3+1=5;④5x-3>6.

其中，不是命題的有-

2.一般地若用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，則它的逆命題可表示

為,否命題可表示為,逆否命題可表示為；

原命題與互為逆否命題，否命題與互為逆否命題.

【反饋演練】

1.命題“若a￡M,則baM”的逆否命題是.

2.已知命題p:VxGR,sinxWl,貝U-p:

3.若命題m的否命題n,命題n的逆命題p,則p是m的.

4.命題“若a>b,貝(J2”>2b-l”的否命題為.

5.分別寫(xiě)出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.

⑴設(shè)a,b￡R,若ab=O,則a=O或b=O;

(2)設(shè)a,b￡R,若a>0,b>0,則ab〉O.

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第3課時(shí)充分條件和必要條件

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.理解充分條件，必要條件和充要條件的意義；會(huì)判斷充分條件，必要條件和

充要條件.

2.會(huì)證明簡(jiǎn)單的充要條件的命題，進(jìn)一步增強(qiáng)邏輯思維能力.

【基礎(chǔ)知識(shí)部分】

1、充要條件

(1)充分條件：若p-*q,則P是q充分條件.

(2)必要條件：若q-p,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若p—>q,且q-13,貝1Jp是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

2、從集合的觀點(diǎn)理解充要條件，有以下一些結(jié)論：

若集合PWQ,貝UP是Q的充分條件；

若集合P=Q,則P是Q的必要條件；

若集合P=Q,貝UP是Q的充要條件；

【范例解析】

例.用''充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”

填空.

(2)(x-4)(x+l)>0是T20的條件;

X+1

(3)a=B是tana=tan0的條件；

(4)x+y,3是*1或后2的條件.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.若,貝Up是g的充分條件.若,貝Up是q的必要條

件，若,貝3是q的充要條件.

2.用”充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”

填空.

(1)已知p:x>2,g:x22,那么p是g的條件.

(2)已知p:兩直線(xiàn)平行，g:內(nèi)錯(cuò)角相等，那么p是g的條件.

(3)已知p:四邊形的四條邊相等，g:四邊形是正方形，那么p是q的一

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_條件.

3.若x《R,則x>l的一個(gè)必要不充分條件是

【反饋演練】

1.設(shè)集合乂=300/3}。=國(guó)0002},則“a￡M”是“a￡N

_________條件

2.已知p:l〈x〈2,g:x(x-3)<0,則p是g的條件.

3.已知條件p:A={x￡Rlx2+ax+m},條件q:B={x￡R|x2-3x+2N}.若p

是-p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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第二章函數(shù)A

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高中函數(shù)以具

體的腰函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象，適當(dāng)研

究分段函數(shù)，含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解.

1.活用“定義法”解題.定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn).利用定義，

可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿(mǎn)足函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等.

2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透.“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.當(dāng)你所研究的問(wèn)題較

為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建

議：畫(huà)個(gè)圖像!利用圖形的直觀性，可迅速地破解問(wèn)題，乃至最終解決問(wèn)題

3.強(qiáng)化“分類(lèi)討論思想”應(yīng)用.分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也

是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法.進(jìn)行分類(lèi)

討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類(lèi)的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科

學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”

4.掌握“函數(shù)與方程思想”.函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在

整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高.函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)

化問(wèn)題和解決問(wèn)題.

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第1課函數(shù)的概念

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言

刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函

數(shù)的定義域和值域.

2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

【基礎(chǔ)知識(shí)部分】

函數(shù)的概念

m、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x,在集合B

中都有唯一確定的數(shù)*x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合AB以及A到B的對(duì)應(yīng)法則。

叫做集合A1UB的一個(gè)函數(shù)，記作fA—B.

②函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

映射的概念

①B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B中都

有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合AB以及A到B的對(duì)應(yīng)法則。叫做集合A

到B的映射，記作f:A—B.

?合定一個(gè)集合A到集合B的映射，且aGAbGB.如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

【范例解析】

例1.設(shè)有函數(shù)組:U.Jf(x)=-——-,g(x)=x+l;②gx)=qx+lWx-l,

X-I

g(x尸&21；

③f(x)=7x2-2x+l,g(x)=|x-l|;④f(x)=2x-1,g(t)=2t-1.其中耘同一個(gè)

函數(shù)的.

2

例2.求下列函數(shù)的定義域：?y=-^—+^x-\；②f(x)=r——

2TH/log,(2-x)

例3.求下列函數(shù)的值域：

(l)y=.x2+4x-2,xe[0,3]；

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(2)y=—^—(xc/?)；

JT+1

(3)y=x-2dx+l.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

i.設(shè)有函數(shù)組：(Dy=x,y=NR;(Dy=x,y=ix;③y=4x,

(x>0),

其中表示同一個(gè)函數(shù)的有.

(x<0),

其中能表示為M到N的函數(shù)關(guān)系的有

3.寫(xiě)出下列函數(shù)定義域：

⑵小)=￡的定義域?yàn)?/p>

(l)f(x)=l-3x的定義域?yàn)椋?/p>

(3)〃X)=47T+L的定義域?yàn)?4)/(幻=華工的定義域?yàn)?/p>

x

P(x)

4.已知三個(gè)函數(shù)：(1)1，(2)y=2頻)(nEN*);(3)y=logwP(x).寫(xiě)出使

而

各函數(shù)式有意義時(shí)，P(x),Q(x)的約束條件:

(1)———⑵一

5.寫(xiě)出下列函數(shù)值域：

(l)f(x)=x2+x,xe{1,2,3};值域是

⑵f(x)=x2-2x+2;值域是

(3)f(x)=x+l,xe(l,2).值域是

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【反饋演練】

1.函數(shù)f⑨=J1-2X的定義域是.

2.函數(shù)/(燈=-----------------的定義域?yàn)開(kāi)__________________

2

log2(-x+4.V-3)

3.函數(shù)y=—(xeR)的值域?yàn)?/p>

I+T**

4.函數(shù)v=2x-3+J13-4x的值域?yàn)?/p>

5.函數(shù)y=、log。5(4x矽x)的定義域?yàn)開(kāi)_______________

I「+3

6.記函數(shù)f(x)=.2------的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a—l)(2a—x)](a<l)的定義域?yàn)锽.

Vx+1

⑴求A:

(2)若B6A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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第2課函數(shù)的表示方法

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

L會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法，列表法，解析法)表示函數(shù).

2.求解析式一般有四種情況：(1)根據(jù)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；(2)給出函數(shù)

特征，利用待定系數(shù)法求解析式；(3)換元法求解析式；(4)解方程組法求解析式.

【基礎(chǔ)知識(shí)部分】

函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)4b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,滿(mǎn)足aSSb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做Hb]:滿(mǎn)足

a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(4b);滿(mǎn)足aWx<b,或a<x<b的實(shí)數(shù)x的

集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做(a,b),(a,b];滿(mǎn)足x》a,x>a,xWb,x<b的實(shí)數(shù)x的集

合分別記做[a,+0],(a,+00),(-0o,b],(-0o,b).

注意：對(duì)于集合｛x[a<x<b｝與區(qū)間(ab),前者a可以大于或等于b,而后者必須

a<b.

【范例解析】

例1.已知二次函數(shù)y=f(x)的最小值等于4,且f(0)=f(2)=6,求f(x)的解析式.

例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是

2km,甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x

(分)的關(guān)系.試寫(xiě)出y=f(x)的函數(shù)解析式.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.設(shè)函數(shù)f(x尸2x+3,g(x)=3x-5,則f(g(x)=；g(f(x))=

13/140

2.設(shè)函數(shù)/'(、)=」-,g(x)=x2+2,貝1Jg(-1)=才g⑵仁，

14-X

f[g(x)]=-

3.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f⑶=7,f⑸=-1,貝旺⑴二

4.設(shè)/'(%)=<1，則/V(—)]=____________.

-~~r，|x|>l2

11+X*

5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為

【反饋演練】

1.若/(》)=彳二g(x)=三1貝Ijf(2x)=()

A.2f(x)B.2fk+)g(C.2g

D.2[f(x)-g(x)]

2.已知=2x+3且f(m)=6,則m等于.

3.已知函痂X)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且出*)=\斗2K求函數(shù)g(x)的解析式

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第3課函數(shù)的單調(diào)性

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大(小)值及其幾何意義；

2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性.

函數(shù)的單調(diào)性

定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量y'y=f(X)/(2)利用已知函數(shù)的

的值X1、X當(dāng)xi<X2時(shí),都

2,//g)單調(diào)性

有f(x)〈f(xz),那么就說(shuō)(3)利用函數(shù)圖象(在

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).某個(gè)區(qū)間圖

1I1.

°時(shí)X：X象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某y*產(chǎn)。)(2)利用已知函數(shù)的

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量單調(diào)性

)

的值Xi、Xg,當(dāng)Xi<X2時(shí)，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(x)>f(X),那么就說(shuō)某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

。＞X：X象下降為減)

(4)利用復(fù)合函數(shù)

【范例解析】

例1.求證：⑴函數(shù)f(x)=-2x斗3x-l在區(qū)間(-00』上是單調(diào)遞增函數(shù)；

4

2r-]

(2)函數(shù)f(x)=-—在區(qū)間(-00,-1)和(-1,+0)上都是單調(diào)遞增函數(shù).

x+1

例2.確定函數(shù)/(■<)=的單調(diào)性.

Jl-2x

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.下列函數(shù)中：

①/'(x)=L@f(x)=x2+2x+l；③f(x)=-x;④f(x)=|x-l|.

X

其中，在區(qū)間(0,2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有.

2.函數(shù)產(chǎn)x)的遞增區(qū)間是.

3.函數(shù)尸楨_及_3的遞減區(qū)間是

4.已知函數(shù)y=f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且f(a+l)>f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值

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范圍.

5.已知下列命題：

①定義在R上的函數(shù)f(X)滿(mǎn)足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；

②定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)>f(l),則函數(shù)f(x)在R上不是減函數(shù)；

③定義在R上的函數(shù)gx)在區(qū)間Go,0)上是增函數(shù)，在區(qū)間［0,+00)上也是增函數(shù)，則函

數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

④定義在R上的函數(shù)gx)在區(qū)間(?00,0)上是增函數(shù)，在區(qū)間(0,+0)上也是增函數(shù)，則函

數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

其中正確命題的序號(hào)有.

【反饋演練】

1.已知函數(shù)/(x)=---，則該函數(shù)在R上單調(diào)遞，(填“增”“減”)值域?yàn)?/p>

2r+l

2.已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在(-00,-2)上是減函數(shù)，在(-2,+00)上是增函數(shù)，則

f(D=_____

3.函數(shù)尸JF2-x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為

4.函數(shù)Nx)=|x2-l|+x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

5.已知函數(shù)f(x)=竺土1在區(qū)間(-2,+00)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x+2

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第4課函數(shù)的奇偶性

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性;

2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條

件；不具備上述對(duì)稱(chēng)性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

函數(shù)的奇偶性

定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

y

任意一個(gè)X,都有f(一x)=W)判斷定義域是否關(guān)于

f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函-a原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

數(shù).03X(2)利用圖象(圖象

17關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

f

任意一個(gè)X,都有f(-x)=f(X),判斷定義域是否關(guān)于

(_a.f(_a))^.i,f(a))

那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

-X

(2)利用圖象(圖象

-aoaX關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng))

【范例解析】

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1+2*}2

⑴f(x)=；(2)f(x)=lg(x+^x2+l)

(3)/(x)=lgr+lg-^；"、/1+x

-x2+x(x>0),

(5)f(x)=x2+|x-l+l;(6)f(X)=

x2+x(x<0).

例2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x+2,求函數(shù)

f(x)的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

——1

L給出4個(gè)函數(shù):①f(x)=x5+5x;②/(.V)=-~~—;(3)f(x)=-2x+5;@

X

f(x)=e8-e.

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其中奇函數(shù)的有:偶函數(shù)的有;既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有

2.設(shè)函數(shù)/(x)=(白?卜+'"為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=.

X

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A.y=-x3,x￡RB.y=sinx,x￡RC.y二x,x￡R

□)，=(J)乜GR

【反饋演練】

1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在區(qū)間(8,北X))上為減函數(shù)，且函數(shù)y4(x+8)為偶函數(shù),

則()

A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)

2.在R上定義的函數(shù)奴)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x),若f(x)在區(qū)間［1,2］是減函數(shù)則

函數(shù)f(x)()

A.在區(qū)間園-1］上是增函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

c在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

雎區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間［3闖上是減函數(shù)

3.設(shè)則使函數(shù)y=x"的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a的值為

4.設(shè)函數(shù)f(x)(xGR)為奇函數(shù)，/⑴=；,f(x+2)=f(x)+f(2),則f(5)=

5.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-00,0)上是減函數(shù)，且f(2)=0,則使得

f(x)<0的x的取值范圍是

6.已知函數(shù)/1⑺二竺上(a,6,ceZ)是奇函數(shù).又f(D=2,f(2)<3,求a,b,c的

hx+c

值；

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第5課函數(shù)的圖像

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì);

2.掌握畫(huà)圖像的基本方法：描點(diǎn)法和圖像變換法.

作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫(huà)出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖；

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

〃>o.左移》個(gè)單位

y=f(x)移用個(gè)中.位^y=f(x+h)

〃)A>O,I:移助單位v-

y-j(x)ho.卜移用個(gè)單位>v-八刃+k

②伸縮變換

y=f(x)>y=Af(x)

③對(duì)稱(chēng)變換

4tl1

y=/(X)>y=-/(x)v==f(-x)

宜線(xiàn)1E

y=f(X)^^y=-f(-X)V=f(x)“=r'(x)

幺抻)軸左邊圖象

y=f(x)保?所軸有邊圖象，并作其大丁)軸對(duì)稱(chēng)圖軟》y=/(|x|)

_〃x)“！秒弛,)v=i(I

yv~'(X，將#h卜方圖軟翻折口；"‘八fXx)}I

(12)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系，

(13)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫(xiě)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換:

(l)y=2*y=2x」+3;

(2)y=log2xfy=log(3x

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2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：

(l)y=3*-l；(2)y=log2

2)；3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：

(1)y=log|(-x)；(2)y=-(-y：

例1.作出函數(shù)f(x)=2x2+2x+3及f(-x),-f(x),f(x+2),|f(x),f(x)的圖

像.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=*-4x-51.

(1)在區(qū)間[-2,6]上畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像；

(2)設(shè)集合A={x|f(x)25},B=G00,-2)U[0,4]U[6,+0).試判斷集合A和眨

間的關(guān)系，并給出證明.

【反饋演練】

2.為了得到函數(shù)j=3x(''的圖象，可以把函數(shù)了=4)，的圖象得到.

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3.已知函數(shù)y=log〕x與y=4的圖象有公共點(diǎn)A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,則k二

4

4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)「，對(duì)稱(chēng)，貝!I

*-2

f(l)+f⑵+f(3)+f(4)+f(5)=.

5.作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：

(l)y=|x-2|(x+l);(2)y=|2*-l|；(3)y=log2|2x-l.

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第二章函數(shù)B

第6課二次函數(shù)

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；

2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與

方程根的聯(lián)系.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知二次函數(shù)y=x2-3x+2,則其圖像的開(kāi)口向:對(duì)稱(chēng)軸方程為;頂點(diǎn)

坐標(biāo)為,與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,最小值為.

2.二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2+3的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x+2=0,則m=，頂點(diǎn)坐

標(biāo)為,遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.

3.函數(shù)y=2x2-x-l的零點(diǎn)為-

4.實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a#0)兩實(shí)根異號(hào)的充要條件為；有兩正根的充要

條件為；有兩負(fù)根的充要條件為

5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間［0,m］上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是

【范例解析】

例1.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+l,x?R.

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)若a=2時(shí)，求f(x)的最小值.

例2.函數(shù)/(x)=1ax1+x-“(a￡R)在區(qū)間［J2,2］的最大值記為g(a),求g(a)的表達(dá)

式.

【反饋演練】

1.函數(shù)y=x￥bx+c(x￡(O,+OO))是靴艇巍流要解提

2.已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為A(l,16),且圖像在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為8,則此二次函數(shù)

的解析式為.

3.設(shè)b>0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-l的圖象為下列四圖之一：

則a的值為()

c1VsD,T+.

A.lB.—1

22

4.若不等式x￥ax+lN)對(duì)于一切xe(og)成立，則a的取值.范圍是

5.若關(guān)于x的方程在有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

6.已知函數(shù)Kx)=2x2-2ax+3在［T,1］有最小值，記作g(a).

⑴求g(a)的表達(dá)式；

(2)求g(a)的最大值.

7.分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的值：

⑴函數(shù)f(x)=-x^2ax+l-a在在［0,1］上有最大值2;

⑵函數(shù)f(x)=ax斗2ax+l在在［-3,2］上有最大值4.

8.已知函數(shù)f(x)=x2+a,(x土R).

⑴對(duì)任意x,X2￡R,比較;+與/(土產(chǎn))的大?。?/p>

⑵若x￡［-1,1］時(shí)，有f［(x)|［,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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第7課指數(shù)式與對(duì)數(shù)式

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)；

2.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；

3.能運(yùn)用指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求值，證明，并注意公式成立的前提條件;

4.通過(guò)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及不同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算化為同底對(duì)數(shù)運(yùn)算.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.寫(xiě)出下列各式的值：（a〉O,aWl）

7（3-n）2=83=813=

log,l=_______；loga=_______；1。&

'64-

2.化簡(jiǎn)下列各式：（a>0,b>0）

(1)4a%不+(-：0%萬(wàn))=

(2)(a2-2+a-2)彳a2-a-2)-

3.求值：(l)log?(8、X45)=:

方

(2)(lg2)H31g24g5+(lg5)3=：

(3)log,3xlog,4xlog45xlog,6xlog67xlog,8=

【范例解析】

例1.化簡(jiǎn)求值：

(1)若a+a」=3,求--a?及的值;

a*+a2-8

2久'+2-”

(2)若xlog34=1,求二;~不丁的值.

2+2~

l+i|g9-lg240

例2.(1)求值：一2----------+1：

l-jlg27+lg^

(2)