安徽省安慶市部分重點中學2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省安慶市部分重點中學2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)，若滿足，即，所以，即，則點在以為圓心，1為半徑的圓上，易知原點在圓外，又圓心到坐標原點的距離為，所以的最大值為，故選：C．2.已知可導函數(shù)的定義域為，是的導函數(shù)，且為偶函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，令，則，所以，函數(shù)的對稱中心為，且，①在等式①中，令可得，解得，在等式①中，令可得,因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，令，可得，求導得，則，②由①②可得，令，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，.故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C.4.已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由，故，即，如圖，設(shè)，則是等邊三角形，向量滿足與的夾角為,，因為點在外且為定值，所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，因此：當是所在圓的直徑時,取得最大值，在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.故選：D.5.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】當時，，不滿足恒成立；當時，令，可得或，函數(shù)的零點為和，因恒成立，所以，所以，令，則，令，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，則，所以的最小值為1.故選：D6.已知正方體的棱長為1，點P在正方體的內(nèi)切球表面上運動，且滿足平面，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，正方體內(nèi)切球的球心為正方體的中心，記為點，內(nèi)切球半徑.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，故點的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，∴點到平面的距離為，∴圓的半徑為，由得，，∴，∴的最小值為.故選：A.7.已知為圓錐的底面直徑，為底面圓心，正三角形內(nèi)接于，若，圓錐的側(cè)面積為，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為，所以，所以，所以，所以，又正三角形內(nèi)接于，所以，解得：，所以，所以，過點作交的延長線于點，，所以與所成角即為與所成角或其補角，所以為與所成角，由余弦定理可得：，故選：A.8.已知點，，是與軸的交點．點滿足：以為直徑的圓與相切，則面積的最大值為（）A. B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，，顯然兩圓內(nèi)切，所以，又為的中位線，所以，所以，所以的軌跡為以，為焦點的橢圓，，，顯然當為橢圓短軸頂點即時，的面積最大，最大值為，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關(guān)于直線對稱B.與的圖象關(guān)于點對稱C.當時，D.當時，與的圖象恰有4個交點【答案】ACD【解析】由題得，，A：與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當時，，，所以與的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；C：，當時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點，故D正確.故選：ACD10.已知點Q在圓上，，動點滿足：在中，．則（）A.記的軌跡方程為軌跡： B.的最大值為C.的最小值是 D.（點O為坐標原點）的最小值為7【答案】ACD【解析】由題意可知，設(shè)，過點作軸于點，如圖：則，，∴，即，∴，A選項正確；∵由對稱性可假設(shè)點在一象限，則，∵，當且僅當，即時取等號，所以，∴，B選項錯誤；，∴，C選項正確；當在圓與軸的左交點處時，此時同時取最小，，∴的最小值為：7，D選項正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.，C.的圖象關(guān)于點對稱 D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】A選項，中，令得，又，故，解得，中，令得，故，A正確；D選項，中，令得，即，，中，令得，即，因為，所以，故，故的一個周期為1，故，所以，故偶函數(shù)，D正確；B選項，中，令得，由于，，故，由于的一個周期為1，故，所以，解得，中，令得，又，故，，所以，故，故不存在，，B錯誤；由上可知，，故的圖象關(guān)于點對稱，C正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則最大值為____________．【答案】【解析】，則，等號成立條件為，，顯然等號不能同時取到，則，故在上單調(diào)遞增，由，以及得，，則，欲求其最大值，故，則，等號成立時，，故的最大值為.故答案為：13.已知，則_________．【答案】【解析】由可得，，，.故答案為：.14.如圖，在的方格中放入棋子，每個格子內(nèi)至多放一枚棋子，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率為____________．【答案】【解析】設(shè)“每行都放置兩枚棋子”為事件A，“每列都有兩枚棋子”為事件B，則所求概率為，根據(jù)題意，每行都放置兩枚棋子,即每行都在4個方格中選2個放置棋子，有種方法，所以，.對于“每行每列都放置兩枚棋子”，不妨令第一行的兩枚棋子放置在左邊第一、二個方格，此時第二行有種放置方法，則第三、四行的放置方法如圖，圖1有1種方法，圖2、3、4、5各有2種方法，圖6中，第三行有種放置方法，其選定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以總共有種方法.因為第一行棋子有種放置方法，其他5種情況同理，故.所以，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．（1）求證：；（2）若是銳角三角形，且角A的平分線交BC邊于D，且，求邊b的取值范圍．（1）證明：因為，由正弦定理有：，所以，，，，因為、，所以，又因為，所以，所以，因為，所以有：，，或，（舍），所以得證.（2）解：因為是銳角三角形，，所以，所以，解得，因為為的平分線，且，所以，所以，在中，，，由正弦定理有：，即，所以，因為，所以，令，則，，令，，根據(jù)函數(shù)解析式，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以.16.如圖，三棱柱的所有棱長都為2，,是的中點，．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為是的中點，所以，又因為三棱柱的所有棱長都是2，所以四邊形為菱形，所以，所以，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以，在等邊中，因為為的中點，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：連接，因為三棱柱的所有棱長都為2，且，可得為等邊三角形，且為的中點，所以，由（1）知：平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角的正弦值為.17.已知橢圓的右焦點與雙曲線的右焦點重合，且橢圓過．（1）求橢圓的標準方程；（2）當過的動直線與橢圓相交于不同的兩點時，在線段上取一點，滿足，證明：在某定直線上．（1）解：設(shè)雙曲線的右焦點為,則，∴，因為是橢圓的焦點，且橢圓過點，所以，解得故橢圓的標準方程為．（2）證明：設(shè)，，，由題得，，，均不為零．由，可設(shè)不妨設(shè)，，則所以,即又在橢圓上，所以，①，②由①化簡，得，③由②化簡，得，④③-④，化簡得，即因此點在定直線上．18.洛必達法則對導數(shù)的研究產(chǎn)生了深遠的影響.洛必達法則：給定兩個函數(shù)，當時，.已知函數(shù)，.（1）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3），證明：（附：）.（1）證明：，令，則，令，則，若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，，即存在唯一，使得，且在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在上連續(xù)，綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）解：當時，，成立.當時，由可得，令，由（1）可知在上單調(diào)遞減，.由洛必達法則：，.（3）證明：當且時，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即在上單調(diào)遞增，（當時取等號），，，，，即.19.當前，以大語言模型為代表的人工智能技術(shù)正蓬勃發(fā)展，而數(shù)學理論和方法在這些模型的研發(fā)中，發(fā)揮著重要作用．例如，當新聞中分別出現(xiàn)“7點鐘，一場大火在郊區(qū)燃起”和“7點鐘，太陽從東方升起”這兩個事件的描述時，它們提供的“信息量”是不一樣的，前者比后者要大，會吸引人們更多關(guān)注．假設(shè)通常情況下，它們發(fā)生的概率分別是和，用這個量來刻畫“信息量”的大小，計算可得前者約為9，后者接近于0．現(xiàn)在假設(shè)