安徽省蚌埠市四校2024-2025學年高二下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省蚌埠市四校2024-2025學年高二下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，選對得5分，選錯得0分．1.設數(shù)列的前項和，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】數(shù)列的前項和，則.故選：A2.要排一份有5個獨唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個舞蹈節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】第1步，先排5個獨唱節(jié)目共種；第2步，排舞蹈節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下5個空中選3個插空共有種，所以一共有種排法．故選：C.3.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.當時，取得極小值 D.當時，取得極小值【答案】D【解析】對于選項A，由圖知，當時，的符號有正有負，不是單調的函數(shù)，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當時，是增函數(shù)，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極大值點，在處取到極大值，所以選項C錯誤，對于選項D，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極小值點，在處取到極小值，所以選項D正確，故選：D.4.某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則第10代得到的種子數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：，A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，第10代得到的種子數(shù)為故第10代得到的種子數(shù)約為故選：C.5.已知，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，，構造函數(shù)，因為，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調遞減，因為，，，因為，所以，故選項A，C，D錯誤，選項B正確，故選：B.6.設等差數(shù)列的前n項和為，且公差不為0，若，，，成等比數(shù)列，，則（）A.7 B.8 C.10 D.123【答案】C【解析】設公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.7.已知數(shù)列的通項公式為，，當時，成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，當時，成立，即數(shù)列遞增，則對于任意的，都有.已知，則有恒成立，即對于任意的都成立，因為當時，，所以.故選：C.8.已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（）A.[0,) B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，選A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在遞增的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AD【解析】因為是等比數(shù)列，所以，又因為，由，解得或，又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對于選項A，因為，所以選項A正確，對于選項B，因為，所以，所以，所以不為常數(shù)，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，所以，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，所以，則是等差數(shù)列，且公差為，所以選項D正確，故選：AD.10.某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“面對面”義診活動，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，則下列結論正確的是（）A.所有不同分派方案共種B.所有不同分派方案共36種C.若甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D.若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共30種【答案】BCD【解析】由題意，所有不同分派方案共種，故A錯誤，B正確；對于C，若甲必須到A企業(yè)，若企業(yè)有兩人，則將其余三人安排到三家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則不同分派方案有種，若企業(yè)只有一人，則不同分派方案有種，所以所有不同分派方案共種，故正確；對于D，若甲，乙安排到同一家企業(yè)，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則有種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共種，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增 B.不等式的解集為C.若恒成立，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對于選項A，因為，由，得到，當時，，當時，，即在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以選項A錯誤，對于選項B，由得到，由（1）知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，且當時，，又，所以的解集為，故選項B正確，對于選項C，由，得到，當時，恒成立，當時，由，得到，所以，令，則，當時，，當時，，則在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，則，故選項C正確，對于選項D，由，得到，則，由選項A知，在區(qū)間上單調遞增，所以，則，故選項D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線過原點的切線方程為__________.【答案】【解析】由得設切點為，則切線方程為由于切線經(jīng)過原點，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：13.用紅、黃、藍、綠四種顏色給如圖中五個區(qū)域進行涂色，要求相鄰區(qū)域所涂顏色不同，共有_________種不同的涂色方法.（用數(shù)字回答）【答案】【解析】若四種顏色全部用到，則同色或同色，則共有種；若只用三種顏色涂色，則同色且同色，共有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有種涂色方法.故答案為：.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由得，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又由得函數(shù)是奇函數(shù)，則由得，所以，解得.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.現(xiàn)有0，1，2，3，4這五個數(shù)字，回答下列兩個問題．（1）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？（2）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)？解：（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有種排法，再排四個非0數(shù)字有種，由分步乘法計數(shù)原理得，所以能組成96個無重復數(shù)字的五位數(shù)；（2）當個位數(shù)字為0時，則可以組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，當個位數(shù)字為2或4時，則可以組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，所以用這5個數(shù)字能夠組成組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)；16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求函數(shù)的解析式及單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值.解：（1），由題意得，即，解得，故解析式為，定義域為R，令，令得或，令得，故上單調遞增，在上單調遞減，顯然為極小值點，故，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，（2）由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，表格如下：1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增又，故的最大值為2，最小值為.17.設數(shù)列的前n項和為，已知．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前14項的和．解：（1），則，，得，即，，即令中，得，解得，則是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，則，，且，當為偶數(shù)時，，即，，，．18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）若有兩個零點，求a的取值范圍．解：（1）由，求導得，直線的斜率為，又函數(shù)在點處的切線與直線垂直，所以，即，解得．（2）因為，，所以當時，，所以在上單調遞減；當時，，令，解得，當，解得，當，解得，所以時，單調遞減，時，單調遞增．綜上，可知：當時，在上減函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（3）①若，由（2）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，由于均為上單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)在單調遞增，當時，，故當時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數(shù)，滿足，則，由，所以，因此在上有一個零點．綜上，的