北京市延慶區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.等比數(shù)列，，，，的項數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，的項數(shù)為,故選：C2.由數(shù)字，，，構成的三位數(shù)有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】A【解析】百位有4種選擇，十位有4種選擇，個位有4種選擇，故構成的三位數(shù)共有個，故選：A3.在等差數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故，故選：D4.在的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）A.第3項和第4項 B.第4項和第5項 C.第3項 D.第4項【答案】D【解析】二項式展開式中第項的二項式系數(shù)為所以題中二項式展開式第項的二項式系數(shù)為時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，.所以時二項式系數(shù)最大，即第四項的二次項系數(shù)最大，答案D正確.故選：D.5.隨機拋擲一顆均勻的骰子，則所得骰子朝上的點數(shù)的數(shù)學期望是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋擲骰子所得點數(shù)的分布列為123456所以，故選：．6.盒子里有5個球，其中有2個白球和3個紅球，每次從中抽出1個球，抽出的球不再放回，則在第1次抽到白球的條件下，第2次抽到紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設第1次抽到白球為事件A，第2次抽到紅球為事件B，則，，則在第1次抽到白球的條件下，第2次抽到紅球的概率為.故選：D7.若，且，則實數(shù)值為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】取，則，取，則，因此，解得或，故選：C8.設隨機變量的分布列為則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列可得,所以.故選：B.9.設是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設，當時，，此時，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.10.已知數(shù)列的通項公式.設，，若，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由題意知，，則，由得，則，解得.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若，則_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由，得，解得，所以.故答案為：2012.已知隨機變量，則=_________，=_________．【答案】①②【解析】由題意可得，故答案為：；13.學校要從名男教師和名女教師中隨機選出人去支教，設抽取的人中女教師的人數(shù)為，則=_________．【答案】【解析】由題意可得，的取值為，，，，.故答案為：.14.中國民族五聲調(diào)式音階各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側，則可排成的不同音列有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】先將宮、徽、羽三個音節(jié)進行排序，且徽位于羽的左側，有，再將商、角插入4個空中，共有種．故答案為：36.15.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是__________．【答案】①③④【解析】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.三、解答題，共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在的展開式中.（1）求第項的二項式系數(shù)；（2）求的系數(shù)；（3）求第項.解：（1）第項的二項式系數(shù)為.（2）展開式中的第項為,由已知，令，則，則,則的系數(shù)為.（3）因為,求第項，即時，,所以第項為.17.某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解學生本學期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）寫出a值；（2）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)；（3）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，閱讀時間不小于30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10＝0.25，∴所有的初中生閱讀時間不小于30小時的學生約有0.25×1800＝450人，同理，高中生閱讀時間不小于30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10＝0.035，學生人數(shù)約為0.35×1200＝420人，所有的學生閱讀時間不小于30小時的學生約有450+420＝870，（3）初中生中閱讀時間不足10個小時的學生的頻率為0.005×10＝0.05，樣本人數(shù)為0.05×60＝3人，同理，高中生中閱讀時間不足10個小時的學生的頻率為0.005×10×40＝2，故X的可能取值為：1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列為：X123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝.18.甲、乙兩人練習投籃，每次投籃命中的概率分別為，，假設兩人每次投籃是否命中相互之間沒有影響.（1）如果甲、乙兩人各投籃次，求兩人中至少有人投籃命中的概率；（2）如果甲投籃次，求甲至多有次投籃命中的概率；（3）如果乙投籃次，求乙投籃命中幾個球的概率最大？直接寫出結論.解：（1）記“甲投籃1次，且命中”為事件A記“乙投籃1次，且命中”為事件B記“甲、乙兩人各投籃次，求兩人中至少有人投籃命中”為事件C由已知，，由已知，法一：,,則甲、乙兩人各投籃次，兩人中至少有人投籃命中概率為法二：所以，答：甲、乙兩人各投籃次，求兩人中至少有人投籃命中的概率（2）記“甲投籃4次，且至多有2次投籃命中”為事件D因為甲每次投籃命中的概率為，記投籃命中次數(shù)為,則的取值范圍是，，，所以，答：甲投籃4次，且至多有2次投籃命中的概率為（3）根據(jù)題意，乙投籃10次，命中的次數(shù)為Y，則Y～B（10，），故，若，解得由于為整數(shù)，故故乙投籃命中個球的概率最大.19.已知為數(shù)列的前項和，滿足，.數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設，且，求.解：（1）當時，得.由已知①當時，,②①-②得.所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為因為，所以.設數(shù)列公差為，由得所以.綜上，數(shù)列的通項公式為；；數(shù)列的通項公式為：.（2）設，前項和（3）即，即，解得20.已知橢圓經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓右頂點，過點的直線交橢圓于點，過點作軸的垂線分別與直線交于點，求的值.解：（1）直線與坐標軸的兩個交點為，而，則，，所以橢圓的方程為.（2）設過點的直線為，由題意直線斜率存在，設方程，即，由，消去y得，整理得，由，得，設，則，，將代入得，直線的方程為，令得，則因此點是線段的中點，所以.21.已知數(shù)列：，，…，滿足：①；②.記.（1）直接寫出的所有可能值；（2）證明：的充要條件是；（3）若，求的所有可能值的和.解：（1）的所有可能值是，，，，1，3，5，7.（2）充分性：若，即.所以滿足