福建省莆田市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1福建省莆田市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以.故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在方向上的投影向量是，故選：A.4.設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.即不充分也不必要條件【答案】D【解析】假設(shè).對于等比數(shù)列，其通項公式為.當(dāng)，時，根據(jù)通項公式可得.此時，等比數(shù)列不是遞增數(shù)列.這說明僅僅不能保證等比數(shù)列一定是遞增數(shù)列，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分條件.假設(shè)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，那么.由通項公式可得，，所以.當(dāng)時，不等式兩邊同時除以（因為，，不等號方向改變），得到.例如當(dāng)時，，解得.這說明等比數(shù)列為遞增數(shù)列時，不一定有，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要條件.則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D.5.曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令，則，故，當(dāng)時，，即的坐標為.故選：B.6.已知函數(shù)是圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)，則為（）A.2 B.5 C.8 D.11【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)，所以，得.又直線為的圖象的對稱軸，所以，得，當(dāng)時，.故選：B.7.為了解女兒身高與其母親身高的關(guān)系，隨機抽取5對母女的身高數(shù)據(jù)如下：母親身高164166166166168女兒身高165165166167167根據(jù)最小二乘法（即取最?。?，關(guān)于的回歸直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】觀察數(shù)據(jù)，可得與有關(guān)，故排除D.又，.所以回歸直線方程必過點，所以排除AB.故選：C8.設(shè)正方形四條邊分別經(jīng)過點，則該正方形與圓的公共點至多有（）A.0個 B.4個 C.8個 D.16個【答案】B【解析】，由勾股定理得，設(shè)，，則，，由對稱性可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時不妨設(shè)點為點，則，同理可得，，經(jīng)驗證，在上，故該正方形與圓的公共點至多有4個.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知雙曲線的左右焦點分別是，過的直線交于兩點，列結(jié)論正確的是（）A. B.漸近線方程為C.的最小值為4 D.內(nèi)切圓圓心在直線上【答案】ACD【解析】因為雙曲線中，所以，所以，所以左焦點，故A正確；漸近線方程為，故B錯誤；雙曲線，，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，則；當(dāng)直線的斜率為：或時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，則，，所以，由于或，則，即.當(dāng)直線的斜率為：時，過的直線交于兩點，左右各有一個交點，，當(dāng)斜率為0時，取得最小值，最小值為，故C正確．設(shè)圓分別與相切于點，則．因為，所以．令的橫坐標為，則，即為雙曲線的右頂點，即內(nèi)切圓圓心在定直線上，同理如果在雙曲線左支上，可得內(nèi)切圓圓心在定直線上，故D正確．故選：ACD.10.在三棱錐中，平面分別為中點，下列結(jié)論正確的是（）A.為直角三角形 B.平面C.三棱錐的體積最大值為 D.三棱錐外接球的半徑為定值【答案】ACD【解析】對A，因為平面，平面，所以，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以，所以為直角三角形，正確；對B，連接相交于點，連接，若平面，平面平面，平面，則，因為為的中線，所以為的重心，，因為為的中點，所以，與矛盾，故B錯誤；對C，因為，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，正確；對D，將三棱錐補形成長方體，易知即為外接球的直徑，易得，外接球半徑，正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，是的極大值點B.存在實數(shù)，使得成立C.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是D.若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】A：，令，得或.當(dāng)時，，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，故A正確；B：，所以，整理得，所以，解得，即存在使得，故B正確；C：若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即不等式在上恒成立，又在上單調(diào)遞減，其值域為，所以，故C錯誤；D：由選項A知，當(dāng)時，，令，解得，所以函數(shù)又兩個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使存在唯一的零點，則，解得或（舍去），所以，此時，不符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使存在唯一的零點，且，則，解得或（舍去），所以.綜上，的取值范圍為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】12【解析】通項，令，得，∴展開式的常數(shù)項為．故答案為：12.13.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面3m，水面寬6m．水面上升1m后，水面寬度是______m．【答案】【解析】如圖：以拱橋頂點為原點，建立如圖坐標系.設(shè)拋物線方程為：，由題意，拋物線過點.所以，所以拋物線方程為：.水面上升，則，此時或.所以水面寬度：.故答案為：14.在中，，的面積為3，則的最小值為______．【答案】4【解析】設(shè)，則，由，得.由余弦定理得，令，則，即（其中），所以，即，得，解得或，即或（舍去），解得或（舍去），所以最小值為4.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記為等差數(shù)列的前項和．已知．（1）求的通項公式；（2）記集合，將中的元素從小到大依次排列，得到新數(shù)列，求的前20項和．解：（1）設(shè)公差為，由題意得，解得，故；（2），，故的前20項為，故的前20項和為.16.如圖，在直三棱柱中，平面平面為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，在直三棱柱中，因為平面，平面，所以，又因為，所以四邊形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以.又，，平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為原點，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，所以，取，則，所以是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.在某人工智能的語音識別系統(tǒng)開發(fā)中，每次測試語音識別成功的概率受環(huán)境條件（安靜或嘈雜）的影響．（1）已知在安靜環(huán)境下，語音識別成功的概率為0.9；在嘈雜環(huán)境下，語音識別成功的概率為0.6．某天進行測試，已知當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率為0.3，處于嘈雜環(huán)境的概率為0.7．（?。┣鬁y試結(jié)果為語音識別成功的概率；（ⅱ）已知測試結(jié)果為語音識別成功，求當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；（2）已知當(dāng)前每次測試成功的概率為0.8，每次測試成本固定，現(xiàn)有兩種測試方案：方案一：測試4次；方案二：先測試3次，如果這3次中成功次數(shù)小于等于2次，則再測試2次，否則不再測試，為降低測試成本，以測試次數(shù)的期望值大小為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種方案？解：（1）（?。┯浭录嗀是“安靜環(huán)境”，則是“嘈雜環(huán)境”，記事件B是“語音識別成功”.所以；（ⅱ）已知測試結(jié)果為語音識別成功，則當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；（2）設(shè)每次測試成本固定為，設(shè)方案一和方案二測試成本分別為，方案一：測試4次則測試4次；方案二：可取，，，隨機變量的分布列如下表所示：所以．所以，即方案一測試次數(shù)的期望值大于方案二測試次數(shù)的期望值，所以應(yīng)選擇方案二．18.已知橢圓的離心率為，點在上．（1）求的方程；（2）設(shè)橢圓．若過的直線交于另一點交于兩點，且在軸上方．（?。┳C明：；（ⅱ）為坐標原點．為右頂點．設(shè)在第一象限內(nèi)，，是否存在實數(shù)使得的面積與的面積相等？若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）由已知，可得，因為，，解得，所以橢圓方程為（2）如圖，（ⅰ）證明：要證，只需證明弦的中點與弦的中點重合.當(dāng)垂直于軸時，弦的中點都是坐標原點，故它們的中點重合，此時當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，由，得，則，所以弦中點的橫坐標為，同理可得，所以弦中點的橫坐標為所以弦的中點與弦的中點重合，此時.綜上所述，(ii)因為，所以，又因為點在第一象限內(nèi)，，由(i)知，，所以,又，所以，化簡得①設(shè)到的距離為，C到的距離為，假設(shè)的面積與的面積相等，則，因為，所以，所以,又，因為，所以，所以②由①②解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以19.若函數(shù)在區(qū)間上有意義，且存在正實數(shù)，使得，均有，則稱在上具有性質(zhì)．設(shè)．（1）求單調(diào)區(qū)間：（2）判斷在上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）當(dāng)時，在上具有性質(zhì)，證明：．（1）解：，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）解：在上具有性質(zhì)，理由如下：由（1）知在上