甘肅省蘭州市2025屆高三下學期診斷考試（一模）數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省蘭州市2025屆高三下學期診斷考試（一模）數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.若復數，則（）A.1 B. C.3 D.5【答案】B【解析】由，則.故選：B.2.與向量反向的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】與反向的單位向量為.故答案為：A.3.已知集合，以下判斷正確的是（）A.是的充分條件 B.是的既不充分也不必要條件C.是的必要條件 D.是的充要條件【答案】D【解析】對于A，當時，成立，不成立，所以不是的充分條件，故A錯誤；對于B，因為，所以，因為，所以，所以，所以是的充分條件，故B錯誤；對于C，因為，所以，當時，成立，但不成立，所以不是的必要條件，故C錯誤；對于D，因為，，所以，所以，所以是的充分條件，由，可得，所以，所以是的必要條件，所以是的充要條件，故D正確.故選：D.4.若函數（e為自然對數的底）的一條切線與x軸平行，則切點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設切點坐標為，函數，所以，因為切線與x軸平行，所以，解得，，故切點坐標為故選：B5.已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，以下判斷正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】若，則或或或，故A錯誤；若，則或，故B錯誤；若，在內作，所以，又，所以，又，所以，所以，故C正確；若，則或或為異面直線，故D錯誤.故選：C.6.一個鉛垂做單擺運動時，離開平衡位置的位移y關于時間x的函數圖象如圖所示，函數關系滿足，當時，x不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圖可知，最小正周期，則，由，則函數圖象過，即，解得（），即（），可得，故，由，則，解得（）或（），可得（）或（），當時，，當時，，當時，.故選：A.7.將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前三位數字構成三位數a，后三位數字構成三位數b，記，m大于100的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先求m小于100的概率，百位必相鄰，且較大數的十位小于較小數的十位，個位無限制，分兩步：（1）取百位的概率為；（2）取十位，在剩下的4個數字中取兩數分配給作十位，而a的十位大于b的十位與a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率為，所以m小于100的概率為.故m大于100的概率是故選：D8.已知雙曲線C的焦點為，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點．若，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設雙曲線的方程為，因為雙曲線C的焦點為，所以．（1）當過點的直線與雙曲線C右支交于A，B兩點如圖所示．由，設，則，由雙曲線的定義知，所以，在中，，在中，，即，解得，所以雙曲線C的方程為，雙曲線的漸近線方程為：．（2）當過點直線與雙曲線C兩支交于A，B兩點如圖所示．由，得與雙曲線定義不符，故此種情況不成立．綜合（1）（2）兩種情況：雙曲線的漸近線方程為，故選：A．二、多選題（體大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.在某班級的一次測驗后，隨機抽取7名同學的成纜作為樣本，這7名同學的成領分別為78，80，81，84，87，88，90，則（）A.估計這次考試全班成績的平均分為84B.從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是C.樣本的分位數是87D.當該樣本中加入84形成新樣本時，新樣本方差小于原樣本方差【答案】ABD【解析】對于A，樣本的平均分為，所以估計這次考試全班成績的平均分為84，故A正確；對于B，從樣本中任取兩人的成績有種不同的取法，從成績大于平均的3名同學中任取2人有種不同的取法，所以從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是，故B正確；對于C，因為，所以樣本的分位數是第6個數據，故C錯誤；對于D，當該樣本中加入84形成新樣本時，新數據平均數不變，由方差公式可知新樣本方差小于原樣本方差，故D正確.故選：ABD.10.已知曲線，則以下說法正確的是（）A.點在曲線內部 B.曲線關于原點對稱C.曲線與坐標軸圍成的面積為 D.曲線的周長是【答案】BC【解析】選項A：當時，得，即，因，故，故或，因，故點在曲線外部，故A錯誤；選項B：將換成，將換成，方程不變，故曲線關于原點對稱，故B正確；選項C：將將換成，方程不變，故曲線關于軸對稱，設曲線在第一象限與坐標軸圍成的面積為，則曲線與坐標軸圍成的面積為，當時，方程，即，其圓心坐標為，半徑為，如圖，當時，得或，故弦長，由，故，則，故，故C正確；選項D：由題意可知曲線的周長為，故D錯誤，故選：BC11.已知函數和，以下判斷正確的是（）A.函數在區(qū)間內有唯一的零點B.時，C.時，D.存在正實數a，當時，對于任意大于1的正實數N，【答案】AD【解析】由于，當時，，則，當時，，故當時，，則，故必有，使，因此A正確，B錯誤．對于任意正數，當時，，取，當時，對于任意大于1的正實數N，因此D正確，而當時，故C錯誤．故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數在上的最小值為__________．【答案】【解析】，令，解得：，（舍），當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則，又因為，，則函數在上的最小值為.故答案為：.13.在銳角三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為__________．【答案】【解析】由，可得：，即，即,即化簡可得：,又,可得：，由，可得,因為，所以，即，所以銳角三角形ABC為等邊三角形，所以面積為，故答案為：14.正方體的棱長為2，平面截正方體內切球所得的截面面積為__________．【答案】【解析】正方體的中心是內切球球心，設為O，O到平面的距離為d，設A到平面的距離為，因為，所以，所以，所以，正方體內切球半徑，正方體內切球被平面截球面所得的截面是一個圓半徑為r的圓，所以，所以圓的面積為．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知正四棱柱底面邊長為3，點E、F分別在直線AD、CD上，，．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．證明：（1），因為，所以，所以，平面平面，所以平面．（2）解：如圖所示：以D為坐標原點，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以所在直線為z軸建立空間直角坐標系．則三棱錐的體積，解得則，設平面的法向量為，則，得，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值.16.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”這二十八字節(jié)氣歌是我國古人智慧的結晶．某文具店試銷二十四節(jié)氣書簽，每套書簽24張，分別印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張．文具店為促銷進行抽獎活動，凡購買一套二十四節(jié)氣書簽可參加抽獎，抽獎規(guī)則如下：從一套書簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡裝在一個不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外．現從盒中隨機抽出一張卡，若抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換．如此操作不超過4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書簽，否則不獲獎．（1）求只抽3次即獲獎的概率；（2）若促銷的30天中預計有360人參加活動，從數學期望的角度分析商家準備多套少書簽作為獎品更為合理？解：（1）設事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡，（j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即獲獎，則，，所以.（2）設事件D表示獲獎，則，且，互斥事件，，由（1），，，，又因為參加抽獎是否獲獎相互獨立，用隨機變量X表示參加活動獲獎人數，若促銷的30天中預計有360人參加活動，則，所以，即估計獲獎人數的平均值為30，又因為獲獎后每人獲得2套二十四節(jié)氣書簽，，所以商家準備60套書簽作為獎品較為合理．17.已知橢圓的上頂點為，離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點A的直線與橢圓E交于點B，并與圓相切，已知點，直線QB與橢圓E交于點C，證明：AC與相切．（1）解：設橢圓焦距為，若焦點在x軸，由題干知：長軸長為，短軸長為，由離心率為得，由題可知，解得，所以橢圓的方程為．若焦點在y軸，由題干知長軸長為，短軸長為，由離心率為得，由題可知，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明：若焦點在x軸，橢圓的方程為，證明如下：若直線AB斜率不存在，則B在y軸上，顯然滿足題意；若直線AB斜率存在，設直線AB的方程為，由得，，可得，由于直線BQ的斜率為，由得，，即，可得，所以直線AC的斜率，由于直線與圓P相切，所以，直線，圓心到直線的距離所以直線AC與圓P相切．若焦點在y軸，橢圓方程為，證明如下：若直線AB斜率不存在，則B在y軸上，顯然滿足題意；若直線AB斜率存在，設直線AB的方程為，由得，，可得，由于直線的斜率為，由得，，即，可得，所以直線AC的斜率，由于直線與圓P相切，所以，直線，圓心到直線的距離所以直線AC與圓P不相切．綜上焦點在x軸上時：直線AC與圓P相切，焦點在y軸上時且直線AB斜率存在時：直線AC與圓P不相切.18.已知公差不為零的等差數列滿足，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）證明：；（3）若數列滿足，證明：（e為自然對數的底）．（1）解：設等差數列公差為成等比數列，則，所以，解得或（舍去），所以；（2）證明：設，當時，單調遞減，，所以，由（1）可知，則有，所以不等式恒立．（3）證明：因為，所以要證，只需證：，根據（2）可知，那么，，所以.19.已知曲線．（1）定義：若對于曲線上任意一點沿向量平移得到點仍在曲線上，其中T與是不同時為0常數，則稱曲線沿向量的方向上有周期性．判斷是否存在向量使曲線S具有周期性，若存在請寫出一個符合要求的向量，若不存在，請說明理由：（2）證明：曲線S是中心對稱圖形；（3）當時，曲線S為一條封閉的曲線，四條直線，，，，圍成矩形ABCD，其中為銳角，，證明：曲線S在矩形ABCD的內部或邊上，且過矩形對角線交點的直線平分曲線S圍成的面積．（1）解：因為所以當在曲線S上時，（m，，且m，n不同時為0）必在曲線S上，故存在向量使曲線S具有周期性，向量，（m，，且m，n不同時為0），（m，n取一個符合要求的值即可）．（2）證明：因為，，所以當時，故當在曲線S上時，必有在曲線S上，而P與關于點對稱，所以曲線S是中心對稱圖形，對稱中心為，（m，n取一個符合要求的值也可）；（3）證明：先證明曲線S上的點在直線的上方或直線上，設是曲線S上任意一點，即證．由可得，令，則，原命題即證．用反證法證明，假設，則，由可得，由于時原式不成立，故，則，若，則，所以，又，故，得，矛盾．故，即，又，因此，從而，可得，因此，所以，這與已知矛盾，故假設不成立，由第（2）問可知，點是