甘肅省武威市天祝藏族自治縣2025屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省武威市天祝藏族自治縣2025屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.已知集合，則P的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】A【解析】由，解得或，所以，所以P的真子集個(gè)數(shù)為故選：A.3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列前項(xiàng)積，且，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列前項(xiàng)積，所以，，則，可得故選：B.4.已知，，且，則（）A.4 B.2 C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，解得，則，則，則故選：A5.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)有零點(diǎn)，所以方程

有根，所以函數(shù)與有交點(diǎn)（且交點(diǎn)非最值點(diǎn)），因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所?故選：D6.在四面體ABCD中，平面ACD，，，，，該四面體ABCD外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將四面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即，因此外接球的半徑為，其表面積為故選：B7.近年來(lái)，各地旅游事業(yè)得到飛速發(fā)展，越來(lái)越多的周邊游客來(lái)參觀天門市的陸羽故園、胡家花園、天門博物館、黃潭七屋嶺、海龍島景區(qū)、西塔寺等6處景點(diǎn).現(xiàn)甲、乙兩位游客準(zhǔn)備從6處景點(diǎn)各隨機(jī)選一處游玩，記事件“甲和乙至少有一個(gè)人前往陸羽故園”，事件“甲和乙選擇不同的景點(diǎn)”則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙從6處景點(diǎn)各選一處的總情況數(shù)為種，“甲和乙至少有一個(gè)人前往陸羽故園”的對(duì)立事件是“甲和乙都不前往陸羽故園”，甲不選陸羽故園有5種選法，乙不選陸羽故園也有5種選法，所以甲和乙都不前往陸羽故園的情況數(shù)為種，則，“甲和乙至少有一個(gè)人前往陸羽故園且甲和乙選擇不同的景點(diǎn)”，分兩種情況：（1）甲去陸羽故園，乙不去，甲去陸羽故園有1種選法，乙從除陸羽故園外的5個(gè)景點(diǎn)選有5種選法，共種情況；（2）乙去陸羽故園，甲不去，乙去陸羽故園有1種選法，甲從除陸羽故園外的5個(gè)景點(diǎn)選有5種選法，共種情況，所以，所以.故選：.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8a，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得：，，

，

又，所以，又因?yàn)檫^(guò)的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，所以，即，，可得，又，所以雙曲線離心率的取值范圍是故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射靶次，命中的環(huán)數(shù)依次為，，，，，關(guān)于此次射擊的成績(jī)，以下論述中正確的是（）A.平均數(shù)是 B.中位數(shù)是 C.眾數(shù)是 D.方差是【答案】AC【解析】對(duì)于A，平均數(shù)是，故A正確；對(duì)于B，，，，，從小到大排列為，，，，，故中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，眾數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，方差為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.記已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的最大值為C.在上單調(diào)遞增D.方程在上最多有個(gè)解【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則，由此可得的部分圖象，如圖所示，對(duì)于A，由圖象可知，函數(shù)不關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象可知，的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由圖象可知，在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程為常數(shù)在上有個(gè)解，方程

在

上最多有個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.平面曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來(lái)描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越大；圓越大，曲率越小.定義函數(shù)的曲率函數(shù)（其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），函數(shù)在處的曲率半徑為此處曲率的倒數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)處的曲率為1B.函數(shù)，則曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同C.函數(shù)的曲率半徑隨著x變大而變大D.若函數(shù)在與處的曲率半徑相同，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，已知，則，，根據(jù)曲率函數(shù)，可得當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)，所以函數(shù)在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)處的曲率為1，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于，，，則，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同，故B正確；對(duì)于C，，，則函數(shù)的曲率半徑，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則函數(shù)的曲率半徑，，依題意，，則，即，設(shè)，，則，則，則，整理得，，而，則，所以，解得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題6分，共15分.12.在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為____.【答案】24【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13.曲線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則_____.【答案】0【解析】由題意得，則，因?yàn)椋?，因?yàn)榍€與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，即，解得故答案為：.14.表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)與的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___.【答案】【解析】，，令，則，直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為.，，如圖，作出函數(shù)和的圖象，其中，，，，，，，，依題意，或，或，或，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在三棱柱中，，四邊形，均為菱形，平面底面，平面底面，M是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，D為中點(diǎn)，連接.（1）證明：平面；（2）取中點(diǎn)Q，求與平面夾角的正弦值.（1）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使得M為的中點(diǎn)，連接CN，連接與交于點(diǎn)E，連接在中，，分別是和的中點(diǎn)，，在中，，M分別是和的中點(diǎn)，，，又平面，平面，平面；（2）在三棱柱中，因?yàn)?，即，又平面底面，平面底面，底面，所以平面，所以同理，故，，兩兩垂?以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，，，，即，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則，，得，，，，設(shè)與平面夾角為，，即與平面夾角的正弦值為

.16.設(shè).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1），由，得，的單調(diào)增區(qū)間為，（2）因?yàn)椋傻?，由題意知A銳角，則，由正弦定理可得，則，，所以，因?yàn)?，解得，則，所以，則，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為.17.已知：.（1）證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)，；（2）對(duì)（1）中的兩個(gè)極值點(diǎn)，，若，求a的取值范圍.（1）證明：令有個(gè)零點(diǎn)、又不妨設(shè)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增有個(gè)極值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，（2）結(jié)合（1）可得：∴令，，在單調(diào)遞增又.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為P，Q且直線l經(jīng)過(guò)交C于A，在x軸上方兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，直線OA的斜率是直線PQ斜率的倍.（1）求C的方程；（2）求面積的最大值；（3）若直線PA，PB與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)的外接圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，請(qǐng)給出你的判斷并說(shuō)明理由?解：（1）依題意有，，，，因?yàn)?，則，解得，故有，解得，，則橢圓方程為（2）設(shè)，，l的方程為，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理有，，則，于是令，，，時(shí)取等號(hào)，則，故面積的最大值為（3）的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，理由如下：直線AP的方程為，令，則，故，同理可得，則，，故有，故，同理可證，于是的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).19.利用計(jì)算機(jī)生成隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬實(shí)際生活中的事件，然后估計(jì)相關(guān)事件發(fā)生的概率是概率統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常使用的方法.（1）現(xiàn)在用這種方法生成數(shù)列，滿足：，，求后三項(xiàng)中每一項(xiàng)都不小于前一項(xiàng)的概率；（2）利用這種方法生成數(shù)列，，，.滿足：，用表示未連續(xù)出現(xiàn)三次的概率，試求出的遞推公式；（3）利用這種方法生成數(shù)列，滿足：①，，；②當(dāng)出現(xiàn)“”時(shí)，操作停止，求和至多相差一項(xiàng)的概率（當(dāng)時(shí)，）.解：（1）滿足條件的數(shù)列共有個(gè)，從中任選個(gè)數(shù)（允許重復(fù)）的選法有，所以滿足條件后三項(xiàng)中每一項(xiàng)