高中數(shù)學抽象思維的培養(yǎng)與課堂教學探析

摘要：數(shù)學抽象思維能力是高中學生必備的關(guān)鍵素養(yǎng)之一，通過合理設計教學活動，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，可有效培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維。以高中數(shù)學必修一第一章《集合與常用邏輯用語》教學為例，從集合概念引入、運算法則推導等環(huán)節(jié)入手，通過具象到抽象、特殊到一般的思維訓練，引導學生掌握數(shù)學抽象方法。在教學實踐中，通過設置遞進式問題、創(chuàng)設生活情境、引導學生主動思考等方式，幫助學生建立數(shù)學概念的形象認知，并逐步提升至抽象層面的理解與運用。實踐表明，系統(tǒng)的抽象思維訓練有助于提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，增強學生的邏輯推理能力。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；抽象思維；教學設計；集合；思維訓練數(shù)學抽象思維是數(shù)學思維的重要組成部分，是學生獲取數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的關(guān)鍵能力。高中數(shù)學相較于初中階段，概念更加抽象，邏輯推理要求更高，這對學生的抽象思維能力提出了更高要求。集合作為高中數(shù)學的基礎知識，其概念本身就體現(xiàn)了數(shù)學抽象的特征，通過研究集合的相關(guān)內(nèi)容，不僅可以幫助學生理解數(shù)學抽象的本質(zhì)，還能培養(yǎng)學生的抽象思維能力。在實際教學中，如何設計教學活動、優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，引導學生從具象思維向抽象思維過渡，是值得深入研究的重要課題?；诖?，從集合概念教學入手，探討高中數(shù)學課堂中培養(yǎng)學生抽象思維的有效途徑，對提升數(shù)學教學效果具有重要意義。一、數(shù)學抽象思維的教學意義（一）抽象思維與數(shù)學學習的內(nèi)在聯(lián)系數(shù)學抽象思維是認識數(shù)學本質(zhì)、掌握數(shù)學規(guī)律的關(guān)鍵能力。在數(shù)學學習過程中，抽象思維幫助學生從具體事物中提取共同特征，形成數(shù)學概念和規(guī)律。以集合概念的學習為例，學生需要從“1～10之間的偶數(shù)”“到直線l的距離等于定長d的所有點”等具體實例中，抽象出“元素”“確定性”等集合的本質(zhì)特征。抽象思維還支持學生建立數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。當學生面對“方程的所有實數(shù)根組成的集合”時，抽象思維使他們能夠?qū)⒕唧w的數(shù)值關(guān)系抽象為代數(shù)表達式，并通過數(shù)學運算得到解集{1，2}。抽象思維貫穿于數(shù)學學習的全過程，是學生理解數(shù)學概念、掌握數(shù)學方法、解決數(shù)學問題的內(nèi)在基礎。（二）培養(yǎng)抽象思維的必要性和可行性高中數(shù)學課程標準明確要求培養(yǎng)學生的抽象思維能力，這是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。抽象思維使學生能夠從復雜的數(shù)學問題中抽取關(guān)鍵信息，建立問題解決的思路。在集合的教學中，學生通過抽象思維理解集合間的基本關(guān)系，如子集、相等等概念，進而掌握集合的運算規(guī)則。教學實踐表明，抽象思維的培養(yǎng)是可行的[1]。通過創(chuàng)設具體情境、設計層層遞進的問題、引導學生歸納總結(jié)等方式，教師可以幫助學生逐步提高抽象概括能力。當學生學習集合的交并運算時，通過Venn圖的可視化表示，能夠直觀理解抽象的運算法則，實現(xiàn)從圖形到符號的思維轉(zhuǎn)換。（三）抽象思維在高中數(shù)學中的地位抽象思維是高中數(shù)學教學的重要目標之一，它與數(shù)學的本質(zhì)特征密切相關(guān)。高中數(shù)學中的集合、函數(shù)、向量等概念都具有高度抽象性，需要學生運用抽象思維理解和掌握。在集合教學中，學生需要理解“元素”“集合”等抽象概念，掌握集合的表示方法和運算規(guī)則。這種抽象思維能力的培養(yǎng)為學生后續(xù)學習奠定基礎，幫助學生建立數(shù)學直覺，形成數(shù)學思維方式。從教學角度看，抽象思維培養(yǎng)既是手段又是目的，它既幫助學生理解具體的數(shù)學知識，又提升了學生的數(shù)學素養(yǎng)[2]。數(shù)學教師應當重視抽象思維的培養(yǎng)，將其貫穿于教學全過程，使學生在數(shù)學學習中逐步提高抽象概括能力。二、基于集合教學的抽象思維培養(yǎng)（一）從具體實例到抽象概念數(shù)學概念的形成過程體現(xiàn)了抽象思維的發(fā)展規(guī)律。在集合概念的形成中，學生需要經(jīng)歷從具體事物到抽象概念的認知過程。這個過程包含觀察、比較、分析和概括等多個思維環(huán)節(jié)。教師需要設計適當?shù)慕虒W情境，引導學生注意到事物的本質(zhì)特征，忽略非本質(zhì)特征。在這個過程中，學生的抽象思維得到鍛煉，逐步形成對數(shù)學概念的深刻理解。教師應當注重創(chuàng)設多樣化的學習情境，使學生在不同的問題情境中體驗抽象思維的過程，培養(yǎng)其抽象概括能力。（二）集合運算中的抽象思維訓練集合運算為培養(yǎng)抽象思維提供了系統(tǒng)的訓練機會。通過集合的交、并、補等運算，學生需要建立起符號表達與實際含義之間的聯(lián)系。這種思維訓練不僅涉及對運算規(guī)則的理解，更重要的是培養(yǎng)學生用數(shù)學語言描述問題的能力[3]。在運算過程中，學生需要將具體的問題情境轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學表達，這種轉(zhuǎn)化過程本身就是抽象思維的重要體現(xiàn)。學生在解決集合運算問題時，通過符號化、形式化的思維過程，逐步提高抽象思維水平。（三）抽象思維向數(shù)學思維轉(zhuǎn)化抽象思維的最終目標是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。在集合教學中，學生通過對具體問題的分析和抽象，逐步形成系統(tǒng)的數(shù)學思維方式。這種思維方式包括邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力等。教師應當注重引導學生在解決問題的過程中，運用抽象思維進行分析和推理，建立起數(shù)學概念之間的聯(lián)系。通過持續(xù)的訓練和積累，學生的抽象思維能力逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學思維能力，為后續(xù)的數(shù)學學習奠定基礎。三、教學案例分析：以集合概念教學為例（一）教學環(huán)節(jié)設計1.導入與探究教師在導入環(huán)節(jié)以“1～10之間的所有偶數(shù)”和“立德中學今年入學的全體高一學生”這兩個實例引入課題。這兩個實例分別代表了數(shù)學情境和生活情境，有助于學生建立起對集合概念的初步認識。在探究階段，教師設計了三個層次的問題：引導學生說出這些集合中具體包含哪些元素；思考這些元素有什么共同特征；討論為什么“較小的數(shù)”不能構(gòu)成集合。通過這些問題的層層深入，學生逐漸意識到集合的元素必須是確定的，且互不相同。教師巧妙利用“方程的所有實數(shù)根組成的集合”這一數(shù)學情境，引導學生認識到集合可以用不同方法表示。在探究過程中，教師采用小組合作學習的方式，讓學生通過討論、交流、辯論等形式，主動發(fā)現(xiàn)集合的本質(zhì)特征。教師適時使用多媒體展示不同類型的集合實例，如幾何圖形集合、數(shù)集等，幫助學生從多角度理解集合的概念。2.概念提煉與總結(jié)例1試分別用描述法和列舉法表示下列集合：（1）方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合.解：（1）設，則是一個實數(shù)，且。因此，用描述法表示為。方程有兩個實數(shù)根，因此，用列舉法表示為。（2）設，則是一個整數(shù)，即，且10lt;lt;20。因此，用描述法表示為=。大于10且小于20的整數(shù)有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.在集合概念的表示方法學習中，教師通過典型例題引導學生掌握列舉法和描述法兩種表達方式。以方程的解集為例，教師首先引導學生理解題意：這是一個由方程的所有實數(shù)根組成的集合。在求解過程中，學生需要先判斷的含義，即是該方程的解，必須滿足。這樣，用描述法可以將集合表示為，其中豎線“|”前面的“”說明取自實數(shù)集，后面的“”表明必須滿足的條件。通過解方程，得到，因此用列舉法可以將集合表示為。這個過程體現(xiàn)了從描述法到列舉法的轉(zhuǎn)化，幫助學生理解兩種表示方法的聯(lián)系。對于第二個例子，集合是由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合。用描述法表示時，需要先明確元素的性質(zhì)（整數(shù)）和范圍（大于10且小于20），即=。當轉(zhuǎn)換為列舉法時，學生通過一一列舉出滿足條件的所有整數(shù){11，12，13，14，15，16，17，18，19}，加深對有限集合的理解。教師特別強調(diào)，描述法和列舉法各有優(yōu)勢：描述法能夠簡潔地表達集合的特征，尤其適合表示無限集合；列舉法則直觀明了，適合表示有限集合。兩種方法的轉(zhuǎn)換訓練，有助于學生深入理解集合的本質(zhì)特征，提高抽象思維能力。在教學過程中，教師還注意培養(yǎng)學生使用規(guī)范的數(shù)學符號，如集合用大寫字母、表示，元素用小寫字母表示，屬于關(guān)系用符號“”表示，這些都是數(shù)學語言表達的重要組成部分。通過這樣的教學設計，學生不僅掌握了集合的兩種表示方法，更重要的是理解了集合表示的思維過程，為后續(xù)集合運算的學習奠定了基礎。為了鞏固這一知識點，教師可以設計一些轉(zhuǎn)化練習，如將{1，3，5，7，9}轉(zhuǎn)化為{是小于10的正奇數(shù)}，幫助學生熟練掌握兩種表示方法的轉(zhuǎn)換。3.應用與鞏固為了鞏固學生對集合概念的理解，教師設計了由易到難的多層次練習?；A練習包括判斷給定元素是否屬于某個集合，如判斷“”“”等。提高練習要求學生靈活運用集合的兩種表示方法，如將集合{1，4，9，16}用描述法表示為{是不大于16的完全平方數(shù)}。教師還創(chuàng)設了實際問題情境，如“立德中學參加數(shù)學競賽的學生”“平面內(nèi)距離定點為2的所有點”等，要求學生用集合語言準確描述這些問題。在練習講評中，教師注重引導學生說明思考過程，強調(diào)解題思路的重要性。通過這些練習，學生不僅掌握了集合的基本概念和表示方法，更重要的是學會了用集合的思維方式分析和解決問題。教師還通過課堂小測驗及時了解學生的掌握情況，針對共同問題進行重點講解，對個別學生的困惑給予個性化指導。（二）思維訓練過程1.從感性認識到理性認識集合概念的學習始于學生的生活經(jīng)驗，教師通過創(chuàng)設“一個班級的學生”“一個學校的教師”等具體情境，讓學生從熟悉的事物中獲得感性認識。課堂上，教師引導學生分析這些具體事物的構(gòu)成要素，理解每個集合都由特定的元素構(gòu)成。當學生能夠準確說出班級里有哪些同學、學校里有哪些教師時，他們已經(jīng)具備了對集合的初步認識。教師隨后引入數(shù)學情境，如“平面內(nèi)一條直線上的所有點”“方程的所有解”等抽象實例，幫助學生將思維從具體事物提升到抽象層面。在這個過程中，教師特別注重引導學生發(fā)現(xiàn)集合的本質(zhì)特征：元素的確定性和互異性。通過比較分析不同類型的集合，學生逐步建立起對集合概念的理性認識。在引導學生理解集合概念時，教師還通過“較小的數(shù)”這樣的反例，幫助學生深刻理解集合元素的確定性特征。通過對比分析，學生認識到為什么“較小的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因為“較小”這個概念是不確定的，不同的人有不同的理解。這種反例的設計幫助學生更清晰地認識到集合的本質(zhì)特征，使抽象思維的培養(yǎng)更有針對性。這種從具體到抽象、從感性到理性的轉(zhuǎn)變過程，體現(xiàn)了學生抽象思維發(fā)展的軌跡。2.從特殊到一般的抽象在集合概念的教學中，教師通過精心設計的教學活動，引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的抽象過程。面對“1～10之間的所有偶數(shù){2，4，6，8，10}”這樣的特殊集合，學生能夠直接列舉出全部元素。教師繼而引入“所有的正偶數(shù)”這樣的一般集合，學生發(fā)現(xiàn)無法列舉所有元素，需要用描述法{是正偶數(shù)}來表示。教師設計了多組類似的例子，如從“第一排的同學”到“全班的同學”，從“等邊三角形”到“全體三角形”，幫助學生理解從有限到無限、從特殊到一般的抽象過程。在這個過程中，學生學會了用數(shù)學符號和語言準確描述集合，掌握了集合的一般表示方法。教師通過設置不同層次的問題，引導學生發(fā)現(xiàn)集合之間的共同特征，形成對集合概念的一般理解。3.建立數(shù)學思維模型集合概念的學習最終要形成系統(tǒng)的數(shù)學思維模型。教師引導學生將集合的知識與已有的數(shù)學經(jīng)驗聯(lián)系起來，如將數(shù)集（、、、）納入集合的框架中理解。通過比較不同數(shù)集之間的關(guān)系，學生認識到集合之間可以有包含關(guān)系。教師設計了系列問題，引導學生用集合的思維方式分析和解決問題，如“一個班級參加各種社團的學生分布情況”可以用集合的交并運算來描述。在解決這類問題時，學生學會了將實際問題轉(zhuǎn)化為集合問題，并用集合運算求解。通過持續(xù)訓練，學生形成了用集合語言思考問題的習慣，建立起完整的數(shù)學思維模型。這種思維模型不僅適用于集合問題的解決，還能遷移到函數(shù)、幾何等其他數(shù)學領(lǐng)域的學習中。（三）教學效果評估1.學生認知水平提升集合概念教學后，學生在多個維度表現(xiàn)出認知水平的顯著提升。課堂測試顯示，95%的學生能夠準確識別集合的基本特征，正確判斷給定對象是否構(gòu)成集合。在集合表示方法的運用上，學生能夠靈活選擇列舉法或描述法表達集合，如將“小于10的自然數(shù)”既能表示為{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，也能表示為{且lt;10}。在實際問題的解決中，學生表現(xiàn)出較強的知識遷移能力，能夠?qū)ⅰ皡⒓痈鞣N競賽的學生”“平面內(nèi)特定圖形的點集”等問題轉(zhuǎn)化為集合的語言。課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學生在數(shù)學表達時更加準確規(guī)范，能夠自如運用、等數(shù)學符號，說明學生已經(jīng)形成了較為系統(tǒng)的集合概念認知結(jié)構(gòu)。通過隨堂練習和課后作業(yè)的分析，學生對集合的理解從表面的記憶提升到了本質(zhì)的把握。2.抽象思維能力發(fā)展通過集合概念的學習，學生的抽象思維能力得到顯著提升。在課堂討論中，學生能夠從具體事物中提取共同特征，如從“正方形”“長方形”“菱形”等具體圖形中抽象出“平行四邊形”的概念。在解決問題時，學生表現(xiàn)出較強的抽象概括能力，能夠?qū)碗s的問題條件轉(zhuǎn)化為集合的語言表達。例如，面對“既參加數(shù)學競賽又參加物理競賽的學生”這樣的問題，學生能夠準確地用集合的交集表示。在集合運算的學習中，學生逐步形成了符號化思維的能力，能夠運用交集、并集、補集等運算符號準確表達集合間的關(guān)系。通過課堂觀察和作業(yè)分析，學生在數(shù)學語言的運用、邏輯推理的嚴密性等方面都表現(xiàn)出明顯進步，說明其抽象思維能力已經(jīng)達到了較高水平。3.數(shù)學核心素養(yǎng)形成集合概念的教學過程中，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展。在數(shù)學抽象方面，學生能夠理解并運用集合這一基本的數(shù)學工具，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學模型。在邏輯推理方面，學生能夠運用集合的基本定義和性質(zhì)進行演繹推理，如判斷兩個集合是否相等、一個集合是否為另一個集合的子集等。在數(shù)學表達方面，學生掌握了用集合語言描述問題的方法，能夠準確使用數(shù)學符號和術(shù)語。問題解決能力的提升體現(xiàn)在學生能夠運用集合的知識分析和解決實際問題，如處理數(shù)據(jù)分類、解決計數(shù)問題等。通過課堂表現(xiàn)和期末測評的綜合分析，學生在數(shù)學思維、數(shù)學運算、數(shù)學表達等方面都形成了較為完整的數(shù)學核心素養(yǎng)體系。四、抽象思維培養(yǎng)的教學建議（一）把握循序漸進原則教師在集合概念教學中應當嚴格遵循數(shù)學認知規(guī)律設計教學環(huán)節(jié)。在概念引入時，可通過設置數(shù)形結(jié)合的系列問題，如從具體的點、線、面幾何圖形入手，引導學生認識集合的基本特征。教學設計應遵循“由具象到抽象”“由特殊到一般”“由簡單到復雜”的遞進路徑。例如，在講解集合的表示方法時，先用列舉法表示有限集合，再過渡到描述法表示無限集合；在講解集合運算時，先從兩個簡單集合的交并運算入手，再逐步擴展到多集合的復合運算[4]。教師還需要注意知識間的內(nèi)在聯(lián)系，將集合概念與學生已掌握的數(shù)集知識建立聯(lián)系，幫助學生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。針對不同層次的學生，教師要設計多層次的教學目標和練習內(nèi)容，實現(xiàn)因材施教。（二）課堂組織形式多元互動課堂教學中應當創(chuàng)設多樣化的教學形式，激發(fā)學生的學習主動性。教師可以采用“探究式”和“啟發(fā)式”相結(jié)合的教學方法，通過設置問題鏈，引導學生主動發(fā)現(xiàn)集合的性質(zhì)和運算規(guī)律。例如，在探究集合間的包含關(guān)系時，可以讓學生通過操作實物模型、繪制Venn圖等