專題106二元一次方程組（4大知識點5大考點15類題型）（全章知識梳理與題型分類講解）（蘇科版）

專題10.6二元一次方程組（4大知識點5大考點15類題型）（全章知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點1】二元一次方程組的相關概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數（一般用和），并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.【要點提示】（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.【要點提示】二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.【要點提示】（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【要點提示】（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個.【知識點2】二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數的值，就是方程組的解.【要點提示】（1）用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑤將兩個未知數的值用“”聯(lián)立在一起即可.【要點提示】當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.【知識點3】實際問題與二元一次方程組【要點提示】（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.【知識點4】三元一次方程組1．定義：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.【要點提示】理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知數．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；（5）將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起．【要點提示】（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．三元一次方程組的應用列三元一次方程組解應用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母（如x，y，z）表示題目中的兩個（或三個）未知數；（2）找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；（3）根據這些相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數的值；（5）寫出答案（包括單位名稱）．【要點提示】（1）解實際應用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該舍去．（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程并組成方程組．考點與題型目錄【考點一】二元一次方程（組）的定義及其解【題型1】二元一次方程（組）.........................................................4【題型2】二元一次方程（組）的解.....................................................5【考點二】解二元一次方程組【題型3】解二元一次方程組...........................................................7【題型4】用特殊方法解二元一次方程組................................................10【題型5】二元一次方程組的錯解復原問題..............................................13【題型6】構造二元一次方程組求解....................................................15【題型7】已知二元一次方程組的解求參數..............................................17【題型8】二元一次方程組的同解原理..................................................18【考點三】三元一次方程組【題型9】解三元一次方程組..........................................................20【題型10】用三元一次方程組解決問題.................................................23【考點四】用二元一次方程組解決問題【題型11】銷售與利潤問題...........................................................24【題型12】行程問題與工程問題.......................................................27【題型13】古代問題與分配問題.......................................................28【考點五】直通中考與拓展延伸【題型14】直通中考.................................................................30【題型15】拓展延伸.................................................................33第二部分【題型展示與方法點撥】【考點一】二元一次方程（組）的定義及其解【題型1】二元一次方程（組）【例1】（2425七年級下·山東聊城·階段練習）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的定義，把含有相同未知數的兩個二元一次方程聯(lián)立在一起所組成的方程組叫作二元一次方程組．根據二元一次方程組的定義逐個判斷即可得出結果．解：A、不是整式方程，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；B、是二元一次方程組，故本選項符合題意．C、含未知數項的次數是2次，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意．D、含未知數項的次數是2次，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意．故選：B．【變式1】（2425七年級下·重慶·階段練習）已知是關于，的二元一次方程，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查的是二元一次方程的定義，掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵．根據二元一次方程的定義得到，，即可求解．解：由題意得，，，解得：，故答案為：．【變式2】（2122七年級下·吉林長春·階段練習）下列方程組為二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二元一次方程組的定義，即含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程判斷即可；解：A.中，x的次數是2，故A選項不符合題意；B.是二元一次方程組，故B選項符合題意；C.中y在分母上，故C選項不符合題意；D.中有3個未知數，故D選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的判斷，準確分析是解題的關鍵．【題型2】二元一次方程（組）的解【例2】（2023七年級上·全國·專題練習）已知方程組，則的值是．【答案】34【分析】把代入計算即可．解：∵，∴，故答案為：34．【點撥】本題考查了二元一次方程組，整體代入法求代數式的值，運用|整體思想是解答本題的關鍵．【變式1】（2324九年級下·浙江·自主招生）方程的正整數的組數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了非一次不定方程，解二元一次方程組，解答本題的關鍵是將方程整理為整式方程；利用已知條件將方程之變形，整理為，分析兩數相乘所有的可能，找出符合題意的解的個數；解：去分母得：，，又與是正整數，兩整數之積為，存在三種情況；①，解得：，不合題意舍去；②，解得：，不合題意舍去；③，解得：，不合題意舍去；故符合題意的方程的解為組；故選：A【變式2】（2223七年級下·浙江嘉興·階段練習）下列某個方程與組成方程組的解為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接把，代入各方程進行檢驗即可．解：、把，代入：左邊，故此項不符合題意；、把，代入：左邊，故此項不符合題意；、把，代入：左邊，故此項符合題意；、把，代入：左邊，故此項不符合題意；故選：．【點撥】此題考查了二元一次方程組的解，解題的關鍵是正確理解方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．【考點二】解二元一次方程組【題型3】解二元一次方程組【例3】（2425七年級下·重慶·階段練習）解二元一次方程組（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．（1）利用加減消元法即可求解；（2）先將①兩邊乘以，得到③，然后利用加減消元法即可求解．解：（1）解：得，解得：將代入①得，解得：∴原方程組的解為：（2）解：由①得，③得，解得：將代入②得，解得：∴原方程組的解為：【變式1】（2425七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）解下列方程組：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的一般方法，準確計算．（1）加減消元法解二元一次方程組；（2）將原方程組進行化簡然后用代入消元法解二元一次方程組即可．解：（1）解：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程的解為：；（2）解：，原方程組可變?yōu)椋?，由①得，把③代入②得：，解得：，把代入③得：，∴原方程組的解為：．【變式2】（2425七年級下·全國·期中）解下列方程組．（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查二元一次方程組，熟練掌握代入消元法和加減消元法是解題的關鍵；（1）利用代入消元法，求解即可；（2）利用加減消元法，求解即可；解：（1）解：由可得：將代入可得：，解得：，將代入，可得，故該方程組的解為：（2）解：，得：，將代入得：；故該方程組的解為：；【題型4】用特殊方法解二元一次方程組【例4】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）解下列方程組：（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組．（1）先由得③，，得④，將原方程組簡化后再解方程組即可；（2）先由，得，即，再用代入消元法解方程組即可．解：（1）解：，，得，即③，，得，即④，聯(lián)立③④，得，解得，故原方程組的解為；（2）解：，，得，即，把代入①，得，解得，把代入，得，故原方程組的解為．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）利用換元法解下列方程組：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，換元法，靈活運用換元法是解題的關鍵．（1）令，，原方程組化為，解出和的值代入，，即可求出和的值；（2）令，，原方程組化為，解出和的值代入，，即可求出和的值．解：（1）解：令，，原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，，原方程組的解為；（2）解：令，，原方程組化為，解得，將代入，，得，解得，原方程組的解為．【變式2】（2324七年級下·安徽蕪湖·階段練習）已知關于x，y的方程組．（1）若，求這個方程組的解．（2）若這個方程組的解滿足，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解答本題的關鍵．（1）把代入方程組，然后用加減消元法求解即可；（2）把兩個方程相加得，結合即可求出的值．解：（1）當時，這個方程組可化為，得③，，得④，由得，解得，將代入②，得，解得，所以當時，這個方程組的解為（2）由，得，，，解得．【題型5】二元一次方程組的錯解復原問題【例5】（2425七年級下·重慶·階段練習）樂樂，果果兩人同解方程組時，樂樂看錯了方程①中的，解得，果果看錯了方程②中的，解得，求的值．【答案】0【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次方程和代數式求值等知識點，解題的關鍵是列出關于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代數式的值即可．解：∵由題意，把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴．【變式1】（2223七年級下·云南昆明·期末）甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的，解得，乙看錯了方程②中的，解得，則的值為（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值計算即可．解：把代入②中，得，解得；把代入①中，得，解得，，故選B．【點撥】本題考查了方程組的解法，代數式的值計算，熟練掌握解方程組是解題的關鍵．【變式2】（2425八年級上·陜西榆林·階段練習）甲乙兩人共同解關于，的方程組由于甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為則關于，的方程組的正確解為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次方程的知識；求解的關鍵是熟練掌握求解方法從而準確計算得到答案．由于甲看錯了，將甲計算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看錯了，將乙計算得到的解代入等式（1），可計算得的值，然后代入即可求出方程組的解．解：將代入方程組中的．得，解得：．將代入方程組中的，得，解得：．所以原方程組，解得：．故答案為：．【題型6】構造二元一次方程組求解【例6】（2324八年級上·河北保定·階段練習）已知代數式．（1）當時，代數式的值是，請用含的代數式表示．（2）當時，代數式的值是；當時，代數式的值是，求，的值．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了代數式，列二元一次方程組，根據題意，列出正確的二元一次方程組，解出，的值，是解答本題的關鍵．（1）根據題意，當時，代數式的值是，得到，由此求出答案．（2）根據題意，當時，代數式的值是；當時，代數式的值是，得到，由此求出答案．解：（1）解：根據題意得：當時，代數式的值是，即，，用含的代數式表示：．（2）根據題意得：當時，代數式的值是；當時，代數式的值是，，解得：．【變式1】（2324七年級下·四川樂山·期末）對于有理數x、y，定義新運算：，其中是常數，例：．已知，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是得出關于a、b的方程組，難度一般，根據題意求出，即可求解．解：由題意得：，解得∴故選：C．【變式2】（2425七年級下·北京·開學考試）把和分別代入式子中，值分別為和，則．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，把與相應代數式的值代入得到方程組，求出方程組的解即可得到與的值，代入代數式，即可求解．解：由題意得：解得：∴故答案為：．【題型7】已知二元一次方程組的解求參數【例7】（2425七年級下·吉林長春·階段練習）二元一次方程組，它的解x和y值相等，求a的值．【答案】【分析】本題主要考查解二元一次方程組，解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據x和y值相等進行計算即可得到答案．解：，它的解x和y值相等，解①得：，，將代入②，得，解得．【變式1】（2425七年級下·安徽池州·開學考試）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本題考查的是二元一次方程組的特殊解法，利用方程①加上方程②，得到，再利用整體代入法求解即可．解：，得，將代入上式，得：，解得：，故選：B．【變式2】（2425七年級下·重慶萬州·階段練習）已知關于x，y的方程組的解為整數，且關于y的多項式為二次三項式，則所有滿足條件的整數a的和為【答案】7【分析】本題主要考查解二元一次方程組、多項式等知識點，掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．先解方程組，再根據其解是整數，確定a的可能值，再根據多項式的次數和項數，進一步求出a的值，然后求和即可．解：得：，∵關于x，y的方程組的解為整數且a為整數，∴，∴或4或1或3；∵是二次三項式，∴，即；∴或4或3，∴所有滿足條件的整數a的和為．故答案為：7．【題型8】二元一次方程組的同解原理【例8】（2425七年級下·浙江·階段練習）已知關于的方程組和有相同的解．（1）求出它們的相同解．（2）求和的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查同解方程組：（1）將不含參數的兩個方程組成新的方程組，進行求解即可；（2）把兩個含參數的方程組成新的方程組，將（1）中的解代入，解關于參數的方程組即可．解：（1）解：∵關于的方程組和有相同的解，∴方程組的解也與方程組和有相同的解，解，得：，∴程組和的解為：；（2）聯(lián)立，把代入，得：，解得：．【變式1】（2425七年級上·湖南婁底·期末）關于x，y的方程組與有相同的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查同解方程組．將兩個方程組中不含參數的兩個一次方程組成新的方程組，求出未知數的值，把兩個含參方程組成方程組，將未知數的值代入，再解方程組求出參數的值，進而求出代數式的值即可．解：∵方程組與有相同的解，∴與的解相同，由，解得，∴，解得，∴；故選D．【變式2】（2425八年級上·四川成都·期末）若關于x，y的方程組與關于x，y的方程組有相同的解，則，．【答案】/【分析】本題考查了方程組的解，先求出第二個方程組的解，代入第一個方程組，求得新方程組的解即可．解：解方程組得，把代入得入，解得：，故答案為：，．【考點三】三元一次方程組【題型9】解三元一次方程組【例9】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）解下列三元一次方程組：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查三元一次方程組，掌握加減消元法是關鍵．利用加減消元法解方程即可得答案．解：（1）解：③①，得④，②+④，得，，把代入④，得，，把代入①，得．原方程組的解為．（2）解：原方程組可化為②③，得④，④①，得，，把代入④，得，把代入③，得．原方程組的解為．【變式1】（2324七年級下·全國·單元測試）關于的方程組的解是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三元一次方程組的解，代數式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代數式計算即可求解，掌握三元一次方程組解的定義是解題的關鍵．解：把代入得，，∴，∴，故選：．【變式2】（2324七年級下·四川宜賓·期中）若，則_________；【答案】【分析】本題考查了非負數的性質，解三元一次方程組，代數式求值，根據非負數的性質可得，解方程組求出的值即可求解，掌握非負數的性質是解題的關鍵．解：∵，∴，解得，∴，故答案為：．【題型10】用三元一次方程組解決問題【例10】（2425七年級下·全國·隨堂練習）已知，當時，；當時，；當時，．求、、的值．【答案】，，解：根據題意，得把③分別代入①和②，得，解得，，．【變式1】（2025九年級下·全國·學業(yè)考試）一個旅游團50人到一家賓館住宿，賓館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間每人每晚100元，標準間每人每晚150元，單人間每晚200元．如果該團住滿了20間客房，最低總消費是（

）A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元【答案】D【分析】此題是一道比較新穎的三元一次方程組應用題，它的答案不唯一，需要討論一下，根據生活中的常時，x，y，z必須為自然是來求解，題不是很難，但是一道結合生活實際應用的一道好題．可根據題意設三人間，二人間，單人間分別住了x，y，z間，再根據三人間人每晚100元，二人間每人每晚150元，單人間每人每晚200元，旅游團共住20間客房，列出兩個方程，再根據x，y，z都是自然數，求出費用最低的選擇．解：設三人間、二人間、單人間分別住了x，y，z間，其中x，y，z都是自然數，總的住宿費為w元，則解得都是自然數，或或或或或，隨z的增大而減小，∴當，即時，住宿的總費用最低，為，故選：D．【變式2】（2425八年級上·四川成都·期末）信息安全保障越來越受到人們重視，很多信息需要加密處理，有一種加密、解密的工作原理為：發(fā)送方由明文通過加密規(guī)則加密成密文，接收方由密文通過解密成明文．已知某加密規(guī)則為：明文互為相反數，其對應密文為．若接收方收到密文為2和，則的值為．【答案】【分析】本題考查了三元一次方程組的應用，讀懂加密規(guī)則是解題關鍵．根據加密規(guī)則可得或，且明文互為相反數，從而可得，，則，解方程即可得．解：由題意得：或，且明文互為相反數，∴，，即，∴，解得，故答案為：．【考點四】用二元一次方程組解決問題【題型11】銷售與利潤問題【例11】（2324七年級下·浙江杭州·期中）愛好數學的小明，來到西湖邊一知名奶茶店，注視著價格表．（1）小明發(fā)現(xiàn)：2杯西瓜啵啵、3杯元氣鮮橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元氣鮮澄共需142元，那么購買1杯西瓜啵啵和2杯元氣鮮橙共需元；（2）小明購買了楊枝甘露、百香鳳梨、葡萄芝士三種奶茶共10杯，共消費了187元，若楊枝甘露18元/杯．百香鳳梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，則葡萄芝士買了杯．【答案】545【分析】本題考查了二元一次方程組、二元一次方程的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出二元一次方程以及二元一次方程組是解此題的關鍵．（1）設每杯西瓜啵啵的價格為元，每杯元氣鮮橙的價格為元．根據“2杯西瓜啵啵、3杯元氣鮮橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元氣鮮澄共需142元”列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案；（2）設小明購買葡萄芝士杯，楊枝甘露杯，則購買百香鳳梨杯，利用總價單價數量列出二元一次方程，解方程即可得出答案．解：（1）設每杯西瓜啵啵的價格為元，每杯元氣鮮橙的價格為元．由題意，得，，得．故購買1杯西瓜啵啵和2杯元氣鮮橙共需54元．故答案為：54；（2）設小明購買葡萄芝士杯，楊枝甘露杯，則購買百香鳳梨杯，由題意，得，化簡，得，又、、均為正整數，，．故答案為：5．【變式1】（2223八年級上·全國·單元測試）小李家去年節(jié)余5000元，今年可節(jié)余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入與支出各是多少？設去年的收入為元，支出為元，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可得等量關系：①去年的收入為元去年的支出元結余5000元；②今年的收入今年的支出今年可節(jié)余9500元，根據等量關系列出方程組即可．解：設去年的收入為元，支出為元，根據題意可得：，故選：B．【點撥】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組，找到兩個等量關系是解決本題的關鍵．【變式2】（2021·廣東深圳·二模）五一節(jié)前，某商店擬用元的總價購進兩種品牌的電風扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風扇都至少購進1臺．已知購進3臺A種品牌電風扇所需費用與購進2臺B種品牌電風扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風扇與2臺B種品牌電風扇共需費用元．（1）求A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是多少元？（2）銷售時，該商店將A種品牌電風扇定價為元/臺，B種品牌電風扇定價為元/臺，為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用哪種進貨方案？【答案】（1）A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是元、元；（2）采用購進A種品牌的電風扇7臺，購進B種品牌的電風扇2臺．【分析】（1）設A種品牌電風扇每臺進價x元，B種品牌電風扇每臺進價y元，根據題意即可列出關于x、y的二元一次方程組，解出x、y即可．（2）設購進A品牌電風扇a臺，B品牌電風扇b臺，根據題意可列等式，由a和b都為整數即可求出a和b的值的幾種可能，然后分別算出每一種情況的利潤進行比較即可．解：（1）設A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是x元、y元，由題意得：，解得：，∴A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是元、元；（2）設購進A種品牌的電風扇a臺，購進B種品牌的電風扇b臺，由題意得：，其正整數解為：或或當時，利潤（元），當時，利潤（元），當時，利潤（元），∵，∴當時，利潤最大，答：為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用購進A種品牌的電風扇7臺，購進B種品牌的電風扇2臺．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，根據題意找出等量關系列出等式是解答本題的關鍵．【題型12】行程問題與工程問題【例12】（2324七年級下·四川德陽·期末）市域（郊）成都至德陽段（線），全長約70公里，估計投資187億．2023年3月開建，2026年12月達初期運行．中鐵二院某工程隊負責德陽市區(qū)某段建設，分兩個班組分別從德陽南站和四川建院站同時開工掘進．已知甲組比乙組平均每天多掘進2.4米，經過5天施工，兩組共掘進了110米．則甲班組平均每天掘進米．【答案】12.2【分析】本題主要考查二元一次方程組的實際應用，弄清題意挖掘題目蘊含的相等關系，據此列出方程組是解題的關鍵．設甲班組平均每天掘進x米、乙班組平均每天掘進y米，根據“甲組比乙組平均每天多掘進2.4米，經過5天施工，兩組共掘進了110米”列方程組求解可得．解：設甲班組平均每天掘進x米、乙班組平均每天掘進y米．根據題意得：，解得：．答：甲班組平均每天掘進12.2米、乙班組平均每天掘進9.8米．故答案為：12.2【變式1】（2024·四川成都·模擬預測）從甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需要，從乙地到甲地需．則從甲到乙地的全程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的應用．設從甲地到乙地的上坡長為，平路長為，根據時間等于路程除以速度建立方程組，解方程組求出的值，由此即可得．解：設從甲地到乙地的上坡長為，平路長為，則從乙地到甲地的下坡長為，平路長為，由題意得：，解得，則甲地到乙地全程是，故選：D．【變式2】（2425七年級上·安徽亳州·階段練習）甲、乙兩地相距千米，一列慢車從甲地開出，一列快車從乙地開出，如果兩車同向而行，快車小時追上慢車：如果兩車相向而行，小時后兩車相遇，試問：（1）兩車的速度分別是多少？（2）若兩車同時相向而行，多少時間可以相距千米？【答案】（1）快車、慢車的速度分別為；（2）1小時或者3小時【分析】本題考查了二元一次方程組，一元一次方程的應用；（1）設快車、慢車的速度分別為根據題意列出方程組，方程組即可求解．（2）設時間為小時，根據相距100千米，分情況討論，列出一元一次方程，解方程，即可求解．解：（1）解：設快車、慢車的速度分別為則由題意，得解得答：快車、慢車的速度分別為．（2）設解：時間為小時，則由題意，得或解得或答：兩車相向而行，1小時或者3小時可以相距．【題型13】古代問題與分配問題【例13】（2024·湖北黃岡·二模）《孫子算經》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，則繩長多少尺？木長多少尺？答：（1）繩長尺；（2）木長尺．【答案】116.5【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設繩子長尺，木長尺，根據“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺”列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案．解：設繩子長尺，木長尺，根據題意得：，解得，故答案為：11，6.5．【變式1】（2025·天津·模擬預測）一服裝廠用某種布料生產玩偶A與玩偶B組合成一批盲盒，一個盲盒搭配1個玩偶A和2個玩偶B，已知每米布料可做1個玩偶A或3個玩偶B，現(xiàn)計劃用136米這種布料生產這批盲盒（不考慮布料的損耗），設用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，則下列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，熟練掌握方程組的構建是解題的關鍵．根據題意，設用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，結合恰好配套，確定等量關系，列出方程后聯(lián)立構成方程組即可．解：由題意可得，，故選：D．【變式2】（2324七年級下·吉林松原·期中）我國傳統(tǒng)數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）若某商人準備用11兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請你為商人列出所有可能的購買方法．【答案】（1）每頭牛3兩銀子，每只羊2兩銀子；（2）方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準數量關系，正確列出二元一次方程．（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買m頭牛，n只羊，根據某商人準備用11兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，然后求出滿足條件的正整數解即可．解：（1）解：設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：，解得：，答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；（2）解：設購買m頭牛，n只羊，依題意得：，整理得：，∵m、n均為正整數，∴，∴商人有2種購買方法：方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊．．【考點五】直通中考與拓展延伸【題型14】直通中考【例1】（2023·湖北恩施·中考真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．（1）男裝、女裝的單價各是多少？（2）如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？【答案】（1）男裝單價為100元，女裝單價為120元；（2）學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；（2）設參加活動的女生有a人，則男生有人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據一次函數的性質可得當a取最小值時w有最小值，據此求解即可．解：（1）解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意得：，解得：．答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．（2）解：設參加活動的女生有a人，則男生有人，根據題意可得，解得：，∵a為整數，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數，故一共有11種方案，設總費用為w元，則，∵，∴當時，w有最小值，最小值為（元）．此時，（