第一章空間向量與立體幾何夯實(shí)基礎(chǔ)-07空間中直線平面平行

第一章空間向量與立體幾何07空間中直線、平面平行一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題：如何利用直線的方向向量和平面的法向量判斷直線、平面之間的平行？二、知識(shí)構(gòu)建：空間中直線、平面的平行1.設(shè)u1,u2分別是直線l1,l線線平行：l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得2.設(shè)u是直線l方向向量,n是平面α的法向量，線面平行l(wèi)∥α?u⊥n?u?n=0.3.設(shè)n1,n2分別是平面面平行：α∥β?n1∥n2??λ∈R，三、類型歸納類型一：空間向量研究直線與平面的平行類型二：空間向量研究直線與直線、直線與平面的平行類型三：存在性問(wèn)題四、類型應(yīng)用【例1】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，.

(1)求平面的法向量.(2)線段中點(diǎn)為點(diǎn)，求證平面.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、求平面的法向量【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與平面垂直即可求出法向量；（2）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直即可得證.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以平面的法向量為；（2），則，故，因?yàn)椋?，又平面，所以平?【跟蹤訓(xùn)練11】（2223高二·全國(guó)·課堂例題）已知正方體中，M，N分別是與的中點(diǎn)．求證：面．【答案】證明見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.【詳解】在正方體中，以A為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

令正方體的棱長(zhǎng)為1，則，線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，則是平面的一個(gè)法向量，而且，顯然，因此，又平面，所以面.【跟蹤訓(xùn)練12】（2122高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是面，面的中心．求證：平面．【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用向量關(guān)系即可證明.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則可得，，，平面，平面.【跟蹤訓(xùn)練13】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，.求證：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；【詳解】在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.【例2】（（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面滿足，底面，且，E為中點(diǎn)．求證：面【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，證明兩者垂直，即可證明結(jié)論.【詳解】由題可知底面，，故兩兩垂直．則以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建系，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，而，所以，又面，∴面；【跟蹤訓(xùn)練21】（（2025·遼寧大連·一模）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn).證明：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得線面平行；【詳解】在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，又，可得，因?yàn)槠矫?，所以平?【跟蹤訓(xùn)練22】（2425高二上·浙江杭州·期末）如圖，已知在四棱柱中，底面為梯形，底面，，其中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．求證：平面；【答案】證明見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，計(jì)算即可得證；【詳解】由平面，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，得，所以，又平面，所以平面【例3】（2021高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別在線段，上，且，，P為棱的中點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間共線向量定理的推論及應(yīng)用、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】利用空間向量共線定理證明.【詳解】證明：．因?yàn)?，，所以，，．又因?yàn)镻為中點(diǎn)，所以，從而與為共線向量．因?yàn)橹本€MN與BP不重合，所以．【跟蹤訓(xùn)練31】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在正方體中，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

求證：(1)；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用，即可證明；（2）求出平面ACD1的法向量，及直線的方向向量，從而得到，即可證明；（3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理證明，也可以求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量平行來(lái)證明面面平行.【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．

依題意知：，，，，∴，，∴，∴，即.（2）設(shè)平面ACD1的法向量為，∵，，，∴，，由可得，，即，令，則，∴，又，∴，∴，又平面，∴平面．（3）證法一

∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面，又由（2）知平面，而，且平面，平面,∴平面平面.證法二

設(shè)平面的法向量為則即∴令，得，∴，由（2）知平面ACD1的一個(gè)法向量，∴，∴，∴平面平面.【跟蹤訓(xùn)練32】（2324高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.求證：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，由法向量平行，即可證明面面平行；【詳解】以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，即，所以平面平?五、隨堂檢測(cè)1．（2425高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】根據(jù)線面平行時(shí)直線的方向向量和法向量的位置關(guān)系判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線或直線在平面上，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，則必有，必要性成立，故是的必要不充分條件.故選：B.2．（2425高二下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l的方向向量，平面的法向量，若直線l與平面平行，則實(shí)數(shù)x的值為（

）A．7 B． C．2 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】根據(jù)直線與平面平行可得，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵直線l與平面平行，∴，∴，解得.故選：B.3．（2425高二上·北京懷柔·期末）已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、由空間向量共線求參數(shù)或值【分析】由已知可得，設(shè)，列方程求.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，，所以，設(shè)，則，所以，.故選：A.4．（2425高二上·貴州銅仁·期末）已知，分別是平面，的法向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間位置關(guān)系的向量證明、由空間向量共線求參數(shù)或值、平面法向量的概念及辨析【分析】根據(jù)向量共線即可求解.【詳解】∵，∴∴，即∴，解得，∴，故C正確.故選：C.5．（2425高二上·吉林·期中）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（

）A．2 B．4 C．4 D．2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由空間向量共線求參數(shù)或值、空間位置關(guān)系的向量證明、平面法向量的概念及辨析【分析】利用兩個(gè)平面平行，可以得到兩個(gè)平面的法向量也平行，再利用向量共線定理即可求得的值.【詳解】設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，，設(shè)，即，，.故選：C.6.（2425高二上·山西太原·階段練習(xí)）已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則等于.【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】利用空間位置關(guān)系的向量證明，列式計(jì)算得解.【詳解】由，得，從而，即，解得.故答案為：47．（2425高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】根據(jù)題意，若，則，又，，所以，解得，所以.故答案為：.8.（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知為平面的一個(gè)法向量，然后證明即可得證；（2）證明也是平面MNP的一個(gè)法向量即可.【詳解】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，．

由正方體的性質(zhì)，知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．由于，則，所以．又平面，所以平面．（2）證明：因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，由于，，則，即也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面平面．六、素養(yǎng)提升（2021高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，．線段上是否存在點(diǎn)P，使