832圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積教學(xué)設(shè)計(jì)-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科高中數(shù)學(xué)年級高一年級學(xué)期春季課題圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積教學(xué)目標(biāo)課程目標(biāo)：1.通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；2.會(huì)求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關(guān)的組合體的表面積和體積；3.會(huì)用圓柱、圓錐、圓臺、球表面積與體積公式解決實(shí)際問題；4.了解轉(zhuǎn)化、化歸思想和數(shù)學(xué)極限思想，以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)挖掘柱體、錐體、臺體之間的內(nèi)在聯(lián)系；5.了解“祖暅原理”，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)．學(xué)科素養(yǎng)：直觀想象：了解圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖形狀；會(huì)用極限的思想“化曲為直”，簡化公式的理解；2.邏輯推理：能挖掘柱體、錐體、臺體的圖形與表面積及體積之間的內(nèi)在聯(lián)系；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：會(huì)求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關(guān)的組合體的表面積與體積，解決實(shí)際問題.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；

2.了解轉(zhuǎn)化、化歸思想和數(shù)學(xué)極限思想，以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)挖掘柱體、錐體、臺體之間的內(nèi)在聯(lián)系．

教學(xué)難點(diǎn)：1.能用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式求相關(guān)組合體的體積和表面積；

2.了解轉(zhuǎn)化、化歸思想和數(shù)學(xué)極限思想，以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)挖掘柱體、錐體、臺體之間的內(nèi)在聯(lián)系．教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新課梳理舊知通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，1.多面體中棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積．2.多面積的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積之和．引入新課那么旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積是否可以用同樣的方法解決？這是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．合作探究，講解新課任務(wù)一圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題1與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個(gè)面的面積之和，但是它們的側(cè)面均不是平面圖形，該怎么求側(cè)面面積呢？【師生活動(dòng)】在老師的引導(dǎo)下回顧多面體表面積的推導(dǎo)過程？我們能否利用轉(zhuǎn)化的思想把曲面圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來求面積呢？學(xué)生跟著老師的指引，發(fā)揮自己的空間想象能力，試圖把曲面圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．【設(shè)計(jì)意圖】回顧多面體表面積公式的求法，引導(dǎo)學(xué)生把立體圖形平面化．從而達(dá)到簡化問題的目的．問題11目前，我們只學(xué)過平面圖形的面積求法．那么，你能把這些空間曲面圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形嗎？演示動(dòng)畫：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖首先我們來探究圓柱的表面積．問題2已知底面半徑為，高為的圓柱的表面積公式是多少？【師生活動(dòng)】給出圓柱的展開圖，引導(dǎo)學(xué)生把圓柱的側(cè)面積轉(zhuǎn)化為長方形的面積公式來解答問題．【設(shè)計(jì)意圖】得出圓柱的表面積和體積公式【教學(xué)預(yù)設(shè)】圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，則．于是，該圓柱的表面積是接著，我們用類似的方法探究圓錐的表面積．問題3底面半徑為，母線長為的圓錐的表面積是什么？【師生活動(dòng)】給出圓錐的展開圖，引導(dǎo)學(xué)生把圓錐的側(cè)面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積公式來解答問題．【設(shè)計(jì)意圖】得出圓錐的表面積和體積公式．問題31首先，我們來分析圓錐的側(cè)面展開圖是什么？（扇形）然后，可求得．于是其表面積為．問題4在問題3中，要求得圓錐的側(cè)面積，需要利用扇形的面積公式來求解．若一個(gè)扇形的半徑為，弧長為，那么該扇形的面積公式是，請問：你是怎么來記憶這個(gè)公式的呢？【師生活動(dòng)】教師呈現(xiàn)扇形被分割的動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察扇形的底邊變化情況，當(dāng)扇形被分割的越來越多時(shí)，底面直觀上會(huì)接近于一條直線．【設(shè)計(jì)意圖】用極限分割的思想把扇形的面積公式看作三角形面積公式來記憶，加深對扇形面積公式的印象，從而為下面學(xué)習(xí)圓臺的面積公式提供方便．【教學(xué)預(yù)設(shè)】演示動(dòng)畫觀察等分后“小扇形”的底邊變化把扇形分成等分，當(dāng)越大，每個(gè)分割成的“小扇形”的底邊越平，“小扇形”就越近似等腰三角形，其高越近似于扇形的半徑．設(shè)這個(gè)“小扇形”的面積為，底邊長為，通過極限分割的思想“化曲為直”將扇形近似的看作“等腰三角形”，由此可以更直觀地記憶扇形的面積公式．帶著這個(gè)研究我們繼續(xù)來學(xué)習(xí)圓臺的表面積公式．問題5上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為的圓臺的表面積公式是什么？【師生活動(dòng)】給出圓臺的展開圖，引導(dǎo)學(xué)生用類似扇形面積公式的學(xué)習(xí)方法，用極限的思想化曲為直來得出圓臺的側(cè)面積公式．【設(shè)計(jì)意圖】得出圓臺的表面積和體積公式，并熟悉極限思想方法的應(yīng)用．rr’r’【教學(xué)預(yù)設(shè)】圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．扇環(huán)是由一個(gè)大扇形減去一個(gè)小扇形得到的，同樣的極限分割“化曲為直”rr’r’rr所以任務(wù)二圓柱、圓錐、圓臺的體積初中的時(shí)候，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓柱、圓錐的體積公式，問題6圓柱的體積公式就是棱柱的體積公式，圓錐的的體積公式就是棱錐的體積公式，那么是否可以大膽猜想：棱臺的體積公式是不是就是圓臺的體積公式呢？即．接下去我們來證明這個(gè)猜想，先看一個(gè)視頻．動(dòng)畫演示棱臺逼近圓臺【師生活動(dòng)】教師出示棱臺逼近圓臺的視頻，請同學(xué)們觀察棱臺底面邊數(shù)逐漸增加時(shí)，棱臺可近似的看作什么幾何圖形．從而得出圓臺的體積公式就是圓臺的體積公式，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出柱體、錐體、臺體的體積公式．【設(shè)計(jì)意圖】從直觀上得出圓臺的體積公式，進(jìn)一步體現(xiàn)極限思想的運(yùn)用．【教學(xué)預(yù)設(shè)】從視頻中可以看到當(dāng)正棱臺的底面邊數(shù)逐漸增加時(shí)，可以達(dá)到以直代曲的目的，棱臺可直觀的看作圓臺．故．那么，我們可以將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體，它們的體積公式為:(為底面積，為柱體高)；(為底面積，為錐體高)；(，分別為上下底面面積，為柱體高).問題61同學(xué)們，你還有什么別的方法來證明這個(gè)猜想嗎？【師生活動(dòng)】因?yàn)閳A臺的定義，很多同學(xué)會(huì)想到用大圓錐減小圓錐的方法，肯定有這個(gè)想法的同學(xué)，并引導(dǎo)他們證明．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步求證圓臺的體積公式，鼓勵(lì)同學(xué)對課堂產(chǎn)生不同的聲音．【閱讀拓展】請大家閱讀課本121頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”．【師生活動(dòng)】教師展示出祖暅定理，讓學(xué)生更加肯定圓臺的體積公式就是棱臺的體積公式．學(xué)生從動(dòng)畫中可以觀察到只要兩幾何體的截面面積相等，幾何體的體積始終相等．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步證實(shí)猜想．引導(dǎo)學(xué)生增加學(xué)習(xí)的自信心，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神．【教學(xué)預(yù)設(shè)】其實(shí)早在5世紀(jì)末，偉大的數(shù)學(xué)家祖暅就提出了證明這一猜想的方法——祖暅原理．動(dòng)畫演示祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，現(xiàn)在語言描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果解得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．祖暅提出的這一原理比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年．可見我國數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)先之處，事實(shí)上，中國在包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的許多領(lǐng)域，都比其他國家更為先進(jìn)、更具創(chuàng)造性．問題7從上面的這些公式結(jié)構(gòu)特征來看，你能發(fā)現(xiàn)：圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積公式之間有什么內(nèi)在的聯(lián)系嗎？【師生活動(dòng)】教師給出圓柱、圓臺、圓錐轉(zhuǎn)化過程的視頻，學(xué)生從動(dòng)畫中觀察出圓柱和圓錐是圓臺的特殊情況，從而找到圓柱、圓錐、圓臺表面積公式和體積公式結(jié)構(gòu)上之間的聯(lián)系．【設(shè)計(jì)意圖】了解圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征，從而找到圓柱、圓錐、圓臺表面積公式和體積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，更加方便同學(xué)們記憶公式．動(dòng)畫演示圓柱、圓錐、圓臺結(jié)構(gòu)上的變化與聯(lián)系．歸納總結(jié)任務(wù)三球的表面積和體積對于球的表面積公式我們不進(jìn)行研究，直接給出（為球半徑）,我們主要來研究球的體積公式．問題8接下來，我們推導(dǎo)半徑為的球的體積公式，你能利用球的表面積求體積公式嗎？為什么？【師生活動(dòng)】回憶分割扇形求面積公式的方法，引導(dǎo)學(xué)生從分割球的表面入手，利用球的表面積公式推導(dǎo)球的體積公式，教師出示動(dòng)態(tài)分割視頻，并引導(dǎo)學(xué)生注意觀察分割后小錐體的底面變化情況．【設(shè)計(jì)意圖】通過極限分割的思想推導(dǎo)出球的體積公式．【教學(xué)預(yù)設(shè)】在小學(xué)，我們學(xué)過圓的面積公式，大家還知道它是怎么推導(dǎo)的嗎？你能用球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式嗎？動(dòng)畫演示球體積分割師：較易發(fā)現(xiàn)，把球的表面分成個(gè)小網(wǎng)格，連接球心和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體就被分割成個(gè)“小錐體”．同樣的極限分割“化曲為直”，當(dāng)越大，每個(gè)小網(wǎng)格越小時(shí)，每個(gè)“小錐體”的底面就越平，“小錐體”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑．設(shè)第一個(gè)“小錐體”的底面積為，依次設(shè)第個(gè)“小錐體”的底面積為，因此．學(xué)習(xí)完圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，下面我們一起來做題鞏固：例題講解，鞏固新課問題9如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）【師生活動(dòng)】教師展示題目，學(xué)生閱讀題目，找出題干，引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)學(xué)模型，即求球的表面積和圓柱的側(cè)面積．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固表面積公式，體會(huì)這些公式在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用．【教學(xué)預(yù)設(shè)】一個(gè)浮標(biāo)是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成的組合體，表面積為，所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料．問題10如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．【師生活動(dòng)】教師展示題目，學(xué)生閱讀題目，梳理清：圓柱底面半徑、高、球半徑三者之間的關(guān)系．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固體積公式的應(yīng)用．【教學(xué)預(yù)設(shè)】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑也為，高為.因?yàn)?，所以．歸納總結(jié)，整合新課下面我們一起來總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容：本節(jié)課主要運(yùn)用極限思想達(dá)到化曲為直，以直代曲的目的，還運(yùn)用了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，把復(fù)雜問題簡單化．具體研究了旋轉(zhuǎn)體