2025年高考數(shù)學一輪復習講練測 第08講 函數(shù)模型及其應用（五大題型）（練習）（原卷版）

第08講函數(shù)模型及其應用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎練 2題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型 2題型二：對勾函數(shù)模型 3題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型 4題型四：已知函數(shù)模型的實際問題 5題型五：構造函數(shù)模型的實際問題 6重難創(chuàng)新練 7真題實戰(zhàn)練 12題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型1．（2024·高三·四川巴中·期末）已知甲?乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城市駛往乙城市，到達乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市．汽車從甲城市出發(fā)時，時間x（小時）記為0，在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時間內，該汽車離甲城市的距離y（千米）表示成時間x（小時）的函數(shù)為（

）A．B．C．D．2．汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速3．（2024·高三·浙江·開學考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進行分時計價.高峰時間段用電價格表：高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分超過50至200的部分超過200的部分低谷時間段用電價格表：低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分超過50至200的部分超過200的部分若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應付電費為（

）元A． B． C． D．題型二：對勾函數(shù)模型4．如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72（圖中陰影部分），上下空白各寬2，左右空白各寬1，則四周空白部分面積的最小值是（

）.A．56 B．65C．120 D．885．一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店內購買黃金，店員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實際購得的黃金為xg，則與20的大小關系為（

）A． B．C． D．無法確定6．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.457．某廠計劃建造一個容積為，深為的長方體無蓋水池.若池底的造價為元每平方米，池壁的造價為元每平方米，則這個水池的最低造價為元.8．某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中，為兩條公路，，為景點，，，現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過景點的觀光路線，，分別為，上的點，則面積的最小值為.題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型9．某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是小時．10．考古學家對四川廣漢“三星堆古墓”進行考古發(fā)據(jù)，科學家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），已知古生物中該元素的初始存量為a，經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請推算古生物距今大約年（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）.11．某醫(yī)院開展某種病毒的檢測工作，第天時每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時），（為常數(shù)）．已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時為小時．（精確到1小時）12．測量地震級別常用里氏級，它是地震強度（即地震釋放的能量）的常用對數(shù)值．如日本1923年地震是8.9級，舊金山1906年地震是8.3級，問日本1923年地震強度是舊金山1906年地震強度的倍．題型四：已知函數(shù)模型的實際問題13．（2024·浙江紹興·模擬預測）人類已進入大數(shù)據(jù)時代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級別躍升到乃至級別．國際數(shù)據(jù)公司的研究結果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為2010年增長到．若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關系為，其中均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.14．科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數(shù)．而我們在做實驗數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，為縱坐標，以為橫坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式．15．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過16．小微企業(yè)是推進創(chuàng)業(yè)富民、恢復市場活力、引領科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬元）的關系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，其實際還款比例為，若銀行希望實際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬元 B．53.56萬元 C．64.43萬元 D．71.12萬元題型五：構造函數(shù)模型的實際問題17．（2024·江西·二模）茶文化起源于中國，中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時代．現(xiàn)代研究結果顯示，飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為，，給出三個茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識，從這三個函數(shù)模型中選擇一個，模擬茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內時間t（單位：分鐘）的關系，并依此計算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．2.72分鐘 B．2.82分鐘C．2.92分鐘 D．3.02分鐘18．（2024·福建·模擬預測）視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分數(shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（

）A． B． C． D．19．（2024·高三·云南·期中）在一段時間內，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期（增加一倍所需的時間）為21個月，則100只野兔增長到100萬只野兔需要（

）個月.（記，）A． B． C． D．20．（2024·云南昆明·模擬預測）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到法律處罰.檢測標準：“飲酒駕車：車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于，小于的駕駛行為；醉酒駕車：車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于的駕駛行為.”據(jù)統(tǒng)計，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時比上一小時降低.某人飲酒后測得血液中的酒精含量為，若經(jīng)過小時，該人血液中的酒精含量小于，則的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．7 B．8 C．9 D．1021．（2024·山西朔州·模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學校的航天科技活動小組為了探索運動物體追蹤技術，設計了如下實驗：目標P在地面軌道上做勻速直線運動；在地面上相距的A，B兩點各放置一個傳感器，分別實時記錄A，B兩點與物體P的距離.科技小組的同學根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時間”函數(shù)圖像，分別如曲線a，b所示.和分別是兩個函數(shù)的極小值點.曲線a經(jīng)過和，曲線b經(jīng)過.已知，并且從時刻到時刻P的運動軌跡與線段AB相交.分析曲線數(shù)據(jù)可知，P的運動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值以及P的速度大小分別為（

）

A． B．C． D．2．（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．13 B．14 C．15 D．163．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤．根據(jù)此定律，在十進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．74．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結論正確的個數(shù)為（

）①浮萍每個月增長的面積都相等；②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；③浮萍面積每個月的增長率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．35．（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發(fā)布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國?中國，包括東北亞的日本?韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙?植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當前及長遠利益.根據(jù)對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)現(xiàn)持續(xù)時間大于的沙塵暴次數(shù)滿足，目前經(jīng)測驗地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，時，次數(shù)時，次數(shù)，據(jù)此計算時對應的持續(xù)時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．389 B．358 C．423 D．4316．（2024·貴州遵義·一模）近年來，中國成為外來物種入侵最嚴重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構成巨大威脅．某地的一種外來動物數(shù)量快速增長，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個月就增長1倍．假設不加控制，則該動物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要）（

）A．8年 B．10年 C．12年 D．20年7．（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關系式為，其中為基準聲強級，為常數(shù)，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：聲源與聲源的距離（單位：）聲強級范圍內燃列車20電力列車20高速列車20設在離內燃列車?電力列車?高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．8．（2024·陜西商洛·三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．2.6小時 B．6小時 C．3小時 D．4小時9．（多選題）（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時間變化的函數(shù)，若，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則10．（多選題）（2024·安徽蚌埠·模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．11．（多選題）（2024·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數(shù)關系．則下列說法中正確的是（

）A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%12．（多選題）（2024·河南·模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數(shù)），為反應速率常數(shù)（與反應速率成正比），為熱力學溫度（），在同一個化學反應過程中為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數(shù)分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則13．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為s．（注意：位移與時間的函數(shù)關系為，重力加速度?。?4．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費a（元）0.70.70.7出租車空駛率；依據(jù)以上數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）15．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關系式為；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室．16．（2024·北京朝陽·一模）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數(shù)a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T．給出下列四個結論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利．其中所有正確結論的序號是．1．（2015年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（北京卷））某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日年月日注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（）A．升 B．升 C．升 D．升2．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（北京卷））加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志