高三數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析（三角函數(shù)）

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

01任意角、弧度制以及任意角的三角函數(shù)

1.角的有關(guān)概念

［知識(shí)整理］

(1)從旋轉(zhuǎn)方向角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角.

(2)從終邊位置來看，可分為象限角和軸線角.

(3)若a與月是終邊相同的角，則/3可用a表示為

S=劃3:=①_________I-

(4)象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角\a\k-3600<a<90°+k-360°,AeZ

第二象限角la190。+h3600<a<180o+t-360°,JteZ!

笫：象限用|all800-3600<a<270o+Jt-360°,*eZ|

第四象限角|al2700+A-3600<a<360°+A-3(>DQ,keZ.\

【知峰理】

①a+*?360"cZ或a+2k-n.keZ

【小題微練】

1.-495。與下列哪個(gè)角的終邊相同()

A.135°B.45°C.225°D.-225°

2.與1680。角終邊相同的最大負(fù)角是__________

【小題微練】

1.C【解析】-495。=-2X360。+225。,所以與-495。角終邊相同的是：225°.

故選：c0

2.-120【解析】1680°=5x360°-120°,與1680°角終邊相同的最大負(fù)角是：

-120。故答案為：-120°

2.弧度制、弧長以及扇形的面積公式

［知識(shí)整理］

(1)1弧度的角：長度等于②的弧所對(duì)的

圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示.

(2)角度與弧度之間的換算：360°=③

rad,180°=④ra<.l,n°=⑤rad,

arad二⑥,1rad?57°18,=57.3°.

(1)半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對(duì)圓心角的弧

度是⑦_(dá)_________

(2)扇形半柱為r,圓心角的弧度數(shù)是a,則這個(gè)扇形

的弧長/=⑧,面積S=；/r=；

⑨___________周長二⑩__________.

【知耀理】

lolr

②梓M飆嗨⑥NT)]*?⑨圖"⑩lai嬴

【小題微練】

1.已知。=亍，貝Ua的終邊在()

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2..(2017春?平羅縣校級(jí)月考)已知扇形的周長為20cm,當(dāng)它的面積最大時(shí)，它的

圓心角的弧度數(shù)為.

【小題微練】

TT(\7Tf\1T

LB【解析】：-<—<7L,所以也是第二象限的角。

277

2.2;【解析】:?.扇形的周長為20,.J+2r=20,即1=20-2r,

.,扇形的面積S=ljr=A(20-2r)?r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

22

當(dāng)半徑r=5時(shí)，扇形的面積最大為25,此時(shí)，a=L=2(rad),

故答案為：2.

(1)定義：設(shè)角a終邊與單位圓交于P(x,y),則

sina=,cosa=?.tana=

?.

(2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何

表示.1E弦線的起點(diǎn)都在x軸匕余弦線的起點(diǎn)都是原

點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段

仃分別叫做知a的?，?和

正切線.

【知識(shí)整理】

?>?*1。正強(qiáng)及?余依成

【小題微練】

3

1.角a的終邊過點(diǎn)R-b,4）,且cosa=-二貝！|b的值是（）

(A)3(B)-3(C)±3(D)5

2.（2017春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若MP和OM分別是角”的正弦線和余弦線，則（）

6

A.MP<OM<0B.OM>0>MP

C.OM<MP<0D.MP>0>OM

【小題微練】

l.A;解析：r=揚(yáng)+16,COSH-=.~H=--,解得b=3.

r揚(yáng)+]65

2C【解析】：在單位圓中畫出角口勺正弦線MP和余弦線0M,如圖所示；則0M<

6

MP<0.故選：C.

施真題回放

1(2018年新課標(biāo)ID文)若sina=w，貝！|cos2。=()

8778

A--c--

9B.9-9D.-9

【答案】B

【解析】cos2(7=1-2sin2(7=1-2x1=|.

2.(2018年新課標(biāo)ID文)函數(shù)4X)=1IM*的最小正周期為()

A.7B.jC.nD.2n

【答案】c

sinx

tanxCOSX1

【解析】4*）=-----2^=sinACOSx=]sin2%所以的最小正周期為T=

1+tan2z

1+cos2%

3（2018年北京）在平面直角坐標(biāo)系中，窺，CD,守,與盤圓〃+/=1上的四段?。ㄈ?/p>

圖），點(diǎn)P在其中一段上，角。以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tana<cosa<sina,

則P所在的圓弧是（）

A.ABB.CDC.爐D.自7

【答案】C

【解析】A,在段，正弦線小于余弦線，即coso<sin。不成立，故A不滿足條件;

B,在Q?段，正切線最大，則cosa<sina<tan.a,故B不滿足條件；C，在守段，

正切線，余弦線為負(fù)值，正弦線為正，滿足tan。<cos。<sin。；D,在GH段,正切

線為正值，正弦線和余弦線為負(fù)值，滿足cosa<sina<tan。不滿足tan。<cosa<sin

a.故選C.

重難考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一：象限角與終邊相同角（熱度:**）

【考點(diǎn)微練】

1.（2018?薛城區(qū)期中測試）下列命題中正確的是（）

A.終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角

B.第二象限角一定是鈍角

C.第四象限角一定是負(fù)角

D.若0=a+k?36O。（keZ），則a與0終邊相同

1.D解：終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角，例如-180°,不是零角，所以不正確；

第二象限角一定是鈍角，是不正確的，例如：460。是第二象限角，但是不是鈍角.

第四象限角一定是負(fù)角，不正確，也可以是正角，?例如：300。是第四象限角,是正角.

若B=a+k?360。（kwz）,則a與B終邊相同，滿足終邊相同角的表示，正確.

故選：D.

2.（2018義烏市校級(jí)期中）如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是（）

A.{a-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°)

C.{a-45°+k?360o<a<120o+k?360°,keZ}

D.{a|120°+k?360o<a<315o+k?360°,keZ)

解：如圖：終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{a|-45°+k.3600<a<

1200+k*360°,keZ}.故選:C.

3.若知0的終邊可，角的終邊相同，則在：0,2“）內(nèi)終

邊與號(hào)角的終邊相同的角為.

修室紅20n34n

口菜〒，虧，萬~

解析=。=竿+2%p（AGZ）,/.-y=y:+

容（RwZ）.

依題意0W亨+<2IT=>-與Wk<^,keZ.

.?4=0,1,2,即在［0,2付）內(nèi)終邊與爭相同的角為

2IT20n34IT

亍虧，虧.

【規(guī)律總結(jié)】

1.利用終邊相同的南的集合S=10=2腦T+a,

△eZ1判斷一個(gè)角口的終邊所在的象限時(shí)，只需把

這個(gè)角寫成「。,2h）范圍內(nèi)的一個(gè)南a與2廿的整數(shù)

倍的和，然后判斷角a的終邊所在象限.

2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的

向，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的

集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)匕賦值來求得所

需角.

考點(diǎn)二：三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用（熱度:****）

【典例印證】

例1.（2018?河南洛陽模擬）已知角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重臺(tái)，終邊在射線4x-

3y=0（x<0）上，貝!|cosa-sina=.

解：角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重臺(tái),終邊在射線4x-3y=0（x<0）±,不妨令x=-

_?._x3.y4EI.34

3,n則y=-4,，r=5,/.cosa=—=一一,sina=—=——,則cosa-sma=--+—=

r5r555

y,故答案為：y.

例2.已知角e的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為X軸的正半軸，若p（4,y）是角0終邊上一點(diǎn),

且皿。=_型，貝uy=一—

5

解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第

四象限角。sin6=/y.=一攣=丁=一8。

也6+城5

【方法總結(jié)】

1.已知角a終邊上一點(diǎn)，的坐標(biāo)，可求角a的三角函

數(shù)值.先求。到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義

求解.

2.已知角a的某三角函數(shù)值，可求角a終邊上一點(diǎn)P

的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程

求參數(shù)值.

3.已知角a的終邊所在的直線方程或角a的大小，根

據(jù)三角函數(shù)的定義可求角a終邊上某特定點(diǎn)的

坐標(biāo).

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二

正弦、三正切、四余弦.

【考點(diǎn)微練】

1

設(shè)6是第三象限角，且cos^-=-co4,則等是

第___________象限角.

答案一

解析由0是第三象限角，得2船r+1T<0<2kTt+

竽(AwZ),則4宣+學(xué)<S<+手(&wZ)，故；

是第二或第四象限角，再由cosgwo可得？是第二

象限角.

2.

若角a的終邊在直線y=-3x上，則lOsina+

3

—_______?

cosa

答案o

解析設(shè)角a終邊上任一點(diǎn)為P(K-3外(*，0),則

r=JB+尸=y/k2+(-3k)1=141.

當(dāng)*>0時(shí)，r=k.

.一3k31YlQkG

:.sina=--------=—:=v10.

師kyiocosak

/.lOsina+^—=-3/l0+3/10'=0.

cosa

當(dāng)上<0時(shí),r=一、/16k

-3k3Iy/lOk

sina=------------------------------=------:------=-\/17707.r

-/]0k、/IFCO8ak

///

/.lOsina+-^-=3vT0'-3vi0'=0.

cosa

綜h.lOsina+—=0.

,，，?cosa

3.（2018?山東煙臺(tái)高三期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，鈍角a的終邊與單

位圓交于B點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為絲.若將點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工到達(dá)A點(diǎn)，則

132

點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

3—皆

【解析】：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角a的終邊與單位圓交于B點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱

坐標(biāo)為,.-5100=12,cosa=上，將點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工到達(dá)A點(diǎn)，

1313132

點(diǎn)A的坐標(biāo)A(cos(a+--),Sin(a+—))，即A(-sina,cosa),

-A(4tW-）,故答案為：（J2

考點(diǎn)三：扇形的弧長、面積公式以及應(yīng)用（熱度:**）

【考點(diǎn)微練】

1.（2018?孝義市校級(jí)期中）如果一扇形的弧長為n,半徑等于2,則扇形所對(duì)圓心角

為（）

A.nB.2nrC.2LD.”

22

LC;解：■「一扇形的弧長為n,半徑等于2，，扇形所對(duì)圓心角為2L.

2

故選：C.

2.（2018山東濰坊高三期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中

《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積-Lx（弦x矢+,矢2）,弧

田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍城，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長

與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角空_,半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算

3

所得弧田面積約是（我-1.73）（）

A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米

2.C;解:如圖,由題意可得：ZAOB=22L,0A=6,

3

在RtiAOD中,可得：ZA0D=2L,ZDAO=2L,()D=LO=LX6=3,

22

AD=AO?sin2L=6x返=3?

可得：矢=6-3=3,由,可得：弦=2AD=2x3?=6j^,

32

所以：弧田面積總（弦x矢+矢2）=1（6ax3+3,）=9后4.5*20,平方米.

故選：C.

【誤區(qū)警示】注意在弧度制下產(chǎn)生的公式，遇到有關(guān)的角用角度制表示時(shí)，必須換為弧

度再使用公式。扇形弧長公式及面積公式是比較重要公式，首先明確/=RIa|與

S=；R2.|a|兩個(gè)公式使用條件是a必須用弧度表示；再次掌握幾種思想方法：記憶

S=時(shí)，可類比三角形的面積公式記憶；在弧長與面積公式中涉及四個(gè)量根據(jù)方

程思想，只需知道其中兩個(gè)量，可以求其他兩個(gè)。

2

【規(guī)律總結(jié)】在角度制下，弧長公式與扇形面積公式分別為：I慌;s=^；在弧

度制下,弧長公式與扇形面積公式分別為：/=Im/；S扇形=g/r=g|a|/.兩者

相比，弧度制下的弧長與扇形面積公式更為簡捷.

訓(xùn)練題：

基礎(chǔ)小練

1.（2018?江門期末）在平面直角坐標(biāo)系中，-1445。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.（2018?鄭州校級(jí)期中）若扇形圓心角的弧度數(shù)為2,且扇形弧所對(duì)的弦長也是2,則

這個(gè)扇形的面積為（）

A.——B.——C.―i—D.——

?2-??2Q2??2Q

sm1sin2cos1cos2

3.（2018?歷城區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P從（1,0）點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓x2+y2=l逆時(shí)針方向運(yùn)

動(dòng)工弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

4.（2018?汪清縣校級(jí)月考）把-1485?；癁閍+2kn（keZ,0<a<2n）的形式是

（）

A.2L-8nB.-In-8nC.-2L-10nD.-In+lOn

4444

5.

在與2010。角終邊相同的角中,絕時(shí)值最小的角的弧

度數(shù)為__________.

已用角a的終邊落在直線y=-3x（x<0）上，則

IsinalIcosaI

:--_________

6.sinacosa

綜合進(jìn)展

若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，

則其圓心角a的弧度數(shù)為（）

A.千B./C.AD.2

12知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a—9,a+2),且cosaWO,

sina>0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

8.C.[-2,3)D.--2,3]

10.若角a的終邊與角工的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且ae(-4n,-2n),則&=

6

設(shè)a是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且

cosa=—x,則tana-_________.

11.5

12.

如圖所示，已知扇形AOB的圓心角LAOB為120。,

半徑長為6,則陰影部分的面積是_________.

已知sina<0,tana>0.

(1)求a角的集合；

(2)求-會(huì)終邊所在的象限；

⑶試判斷tan-y-sin-y-cos年的符號(hào).

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

01任意角、弧度制以及任意角的三角函數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1.角的有關(guān)概念

［知識(shí)整理］

(1)從旋轉(zhuǎn)方向角度看,角可分為正角、負(fù)角和零角.

(2)從終邊位置來看，可分為象限角和軸線角.

(3)若a與0是終邊相同的角，則0可用a表示為

S=\fi\p-ClI?

(4)象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角\a\k-3600<?<900+4-360。,*eZ}

第二象限角|al9O°+Z;?360。<￡?<180。+八360o,AeZ(

第.象限角|al180°+k-360。<a<270。+A-360°,AeZ|

第四象限角|al2700+k-3600<?<360°+JI-36O0,ieZ|

【知識(shí)整理】

①a,k?360。./：二Z或a+2kp.kcZ

【小題微練】

1.-495。與下列哪個(gè)角的終邊相同()

A.135°B.45°C.225°D.-225°

2.與1680。角終邊相同的最大負(fù)角是

【小題微練】

l.c【解析】-495。=-2x3600+225。，所以與-495。角終邊相同的是：225°.

故選：C。

2.-120【解析】1680°=5x360°-120°,與1680。角終邊相同的最大負(fù)角是：

-120。故答案為:-120°

2.弧度制、弧長以及扇形的面積公式

［知識(shí)整理］

(1)1弧度的角：長度等于②的弧所對(duì)的

圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示.

(2)角度與弧度之間的換算：360°=③

rad,180°=④;ra<.l,n°=⑤.rad,

arad=⑥,1rad?57°I8,=57.3°.

(1)半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對(duì)圓心角的弧

度是⑦_(dá)_________

(2)扇形半柱為r,圓心角的弧度數(shù)是a,則這個(gè)扇形

的弧長/=⑧,面積S=；/r=；

⑨___________周長二⑩__________.

【知識(shí)整理】

②半徑③2“融斜"⑥[{.)]⑦⑧l(xiāng)air⑨lai,rl⑩2r

【小題微練】

1.已知。=亍，則a的終邊在()

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2..(2017春?平羅縣校級(jí)月考)已知扇形的周長為20cm,當(dāng)它的面積最大時(shí)，它的

圓心角的弧度數(shù)為

【小題微練】

TT6464

1.B【解析］：-<—<71,所以吧是第二象限的角。

277

2.2;【解析】：\?扇形的周長為20,.J+2r=20,即1=20-2r,

二扇形的面積S=ljr=l(20-2r)-r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

22

當(dāng)半徑r=5時(shí),扇形的面積最大為25,此時(shí)，a=l=2(rad),

r

故答案為：2.

0

3..任意角的三角函數(shù)

(1)定義:設(shè)角a終邊與單位圓交于P(“)，則

sina-Qj,cosa=?.tana=

?.

(2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何

表示.正弦線的起點(diǎn)都在工軸匕余弦線的起點(diǎn)都是原

點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,

仃分別叫做角a的?，?和

正切線.

【知識(shí)整理】

?>?*1。正強(qiáng)及?余依成

【小題微練】

3

1.角a的終邊過點(diǎn)R-b,4),且cosa=-二則b的值是()

(A)3.(B)-3(C)±3(D)5

2.(2018?楊浦區(qū)校級(jí)期中)若MP和OM分別是角口勺正弦線和余弦線，則()

6

A.MP<OM<0B.OM>0>MP

C.OM<MP<0D.MP>0>OM

【小題微練】

f§

1A；解析：r=，〃+i6,cos戶,=-3,解得63.

r揚(yáng)+165

2C【解析】：在單位圓中畫出角口勺正弦線MP和余弦線0M,如圖所示；則0M<

6

MP<0.故選：C.

施真題回放

1(2018年新課標(biāo)ID文)若sina=w，貝！|cos2。=()

8778

A--c--

9B.9-9D.-9

【答案】B

【解析】cos2(7=1-2sin2(7=1-2x1=.|.

2.(2018年新課標(biāo)ID文)函數(shù)4X)=1IM*的最小正周期為()

A.7B.jC.r1rD.2n

【答案】c

sinx

tanxCOSX1

【解析】4*）=-----2^=sinACOSx=]sin2%所以的最小正周期為T=

1+tan2z

1+cos2%

3（2018年北京）在平面直角坐標(biāo)系中，的，⑦，良，合是圓/+/=1上的四段?。ㄈ?/p>

圖），點(diǎn)P在其中一段上，角。以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tana<cosa<sina,

則P所在的圓弧是（）

A.ABB.CDC.￡FD.GH

【答案】C

【解析】A,在/夕段，正弦線小于余弦線，即cosa<sin。不成立，故A不滿足條件;

B,在Q?段，正切線最大，則cosa<sina<tan。，故B不滿足條件；C，在爐段，

正切線,余弦線為負(fù)值，正弦線為正，滿足tana<cos。<sin。；D,在GH段,正切

線為正值，正弦線和余弦線為負(fù)值，滿足cos67<sina<tan。不滿足tancossin

a.故選C.

重難考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一.：象限角與終邊相同角（熱度:**）

【考點(diǎn)微練】

1.（2018?薛城區(qū)期中測試）下列命題中正確的是（）

A.終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角

B.第二象限角一定是鈍角

C.第四象限角一定是負(fù)角

D.若0=a+k?36O。（keZ），則a與0終邊相同

LD解：終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角，例如-180°,不是零角，所以不正確；

第二象限角一定是鈍角，是不正確的，例如：460。是第二象限角，但是不是鈍角.

第四象限角一定是負(fù)角，不正確，也可以是正角；例如：300。是第四象限角，是正角.

若B=a+k?360。（kwz）,則a與B終邊相同，滿足終邊相同角的表示，正確.

故選：D.

2.（2018?義烏市校級(jí)期中）如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是（）

A.{a-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°)

C.{a-45°+k?360o<a<120o+k?360°,keZ}

D.{a|120o+k?360o<a<315o+k?360°,keZ)

解：如圖：終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是{a|-45°+k.3600<a<

1200+k*360°,keZ}.故選:C.

3.番加0的終邊'產(chǎn)/I的終邊相同,則在：0,2宜）內(nèi)終

邊與號(hào)角的終邊相同的角為

鋌.2TT20TT347T

答案r-ir-ir

解析V"=竽+2ktr（AeZ）..［（?=亨+

苧&Z）.

依題意0W竿+號(hào)*2ir=>-■|<華.&eZ.

.4=0,1,2,即在［0,2u）內(nèi)終邊與,相同的角為

27T20K34U

T,TT'TT,

【規(guī)律總結(jié)】

1.利用終邊相同的南的集合S=I。=2右T+a,

△eZ1判斷一個(gè)角口的終邊所在的象限時(shí)，只需把

這個(gè)角寫成「0,2h）范圍內(nèi)的一個(gè)南a與2廿的整數(shù)

倍的和，然后判斷角a的終邊所在象限.

2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的

向，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的

集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)匕賦值來求得所

需角.

考點(diǎn)二：三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用（熱度:****）

【典例印證】

例1.（2018?河南洛陽模擬）已知角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重臺(tái)，終邊在射線4x-

3y=0（x<0）上，貝!|cosa-sina=.

解：角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重臺(tái),終邊在射線4x-3y=0（x<0）±,不妨令x=-

_?._x3.y4.34

3,n則y=-4,.,.r=5,/.cosa=—=--,sina=—=——,n則ilcosa-sma=--+—=

r5r555

y,故答案為：y.

例2.已知角e的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為X軸的正半軸，若p（4,y）是角0終邊上一點(diǎn),

且皿"_濁，貝U尸.

5

解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第

四象限角。sin6=/y.=一攣=y=-8。

也6+『5

【方法總結(jié)】

1.已知角a終邊上一點(diǎn)，的坐標(biāo)，可求角a的三角函

數(shù)值.先求。到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義

求解.

2.已知角a的某三角函數(shù)值，可求角a終邊上一點(diǎn)P

的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程

求參數(shù)值.

3.已知角a的終邊所在的直線方程或角a的大小，根

據(jù)三角函數(shù)的定義可求角a終邊上某特定點(diǎn)的

坐標(biāo).

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二

正弦、三正切、四余弦.

【考點(diǎn)微練】

1

設(shè)6是第三象限角，且cos^-=-co4,則等是

第___________象限角.

答案一

解析由0是第三象限角，得2船r+1T<0<2kTt+

竽(AwZ),則4宣+學(xué)<S<+手(&wZ)，故；

是第二或第四象限角，再由cosgwo可得？是第二

象限角.

2.

若角a的終邊在直線y=-3x上，則lOsina+

3

—_______?

cosa

答案o

解析設(shè)角a終邊上任一點(diǎn)為P(K-3外(*，0),則

r=JB+尸=y/k2+(-3k)1=141.

當(dāng)*>0時(shí)，r=k.

.一3k31YlQkG

:.sina=--------=—:=v10.

師kyiocosak

/.lOsina+^—=-3/l0+3/10'=0.

cosa

當(dāng)上<0時(shí),r=一、/16k

-3k3Iy/lOk

sina=------------------------------=------:------=-\/17707.r

-/]0k、/IFCO8ak

///

/.lOsina+-^-=3vT0'-3vi0'=0.

cosa

綜h.lOsina+—=0.

,，，?cosa

3.（2018?山東煙臺(tái)高三期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，鈍角a的終邊與單

位圓交于B點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為絲.若將點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工到達(dá)A點(diǎn)，則

132

點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

3—皆

【解析】：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角a的終邊與單位圓交于B點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱

坐標(biāo)為坦,/.sina^,cosa=二-,將點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工■到達(dá)A點(diǎn)，

1313132

點(diǎn)A的坐標(biāo)A(cos(a+--),Sin(a+—))，即A(-sina,cosa),

?.A（工，工），故答案為：（A_）.

13131313r

考點(diǎn)三：扇形的弧長、面積公式以及應(yīng)用（熱度:**）

【考點(diǎn)微練】

1.（2018?孝義市校級(jí)期中）如果一扇形的弧長為n,半徑等于2,則扇形所對(duì)圓心角

為（）

A.nB.2nC.2LD.,衛(wèi)

22

LC;解：?.一扇形的弧長為n,半徑等于2，，扇形所對(duì)圓心角為三.

2

故選：C.

2.（2018屆山東濰坊高三期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其

中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積x（弦x矢+矢2）,

2

弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍城，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑

長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角空?,半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)

3

算所得弧田面積約是（料=1.73）（）

A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米

2.C；解:如圖,由題意可得：ZA0B=22L,0A=6,

3

在RtiAOD中,可得：ZA0D=2L,zDAO=-,0D』0」x6=3,

3622

可得：矢=6-3=3,由AD=AO,sin_L=6X2￡E=3-73,可得弦=2AD=2x3行6愿，

32

所以：弧田面積費(fèi)（弦x矢+矢2）=±（6技3+3?）=9后4.5?20平方米.

故選：C.

【誤區(qū)警示】注意在弧度制下產(chǎn)生的公式，遇到有關(guān)的角用角度制表示時(shí)，必須換為弧

度再使用公式。扇形弧長公式及面積公式是比較重要公式，首先明確/=RIa|與

S=gA??|a|兩個(gè)公式使用條件是a必須用弧度表示；再次掌握幾種思想方法：記憶

S時(shí)，可類比三角形的面積公式記憶；在弧長與面積公式中涉及四個(gè)量根據(jù)方

2

程思想，只需知道其中兩個(gè)量，可以求其他兩個(gè)。

【規(guī)律總結(jié)】在角度制下,弧長公式與扇形面積公式分別為：I常；S=^-；在弧

度制下，弧長公式與扇形面積公式分別為：/=|。|?〃；S扇形=；＞=g|a|產(chǎn)兩者相

比，弧度制下的弧長與扇形面積公式更為簡捷.

訓(xùn)練題：

基礎(chǔ)小練

1.（2018?江門期末）在平面直角坐標(biāo)系中，-1445。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

1.D【解答】：-1445。=-1800°+355°,-1445。與355。終邊相同,是第四象限角…

故選：D.

2.（2018?鄭州校級(jí)期中）若扇形圓心角的弧度數(shù)為2,且扇形弧所對(duì)的弦長也是2,則

這個(gè)扇形的面積為（）

A.—1—B.—2—C.―1—D___2_

?2-??2Q2Q

sm1sin2cos1cos2

2A解：由題意得扇形的半徑為:士.又由扇形面積公式得，該扇形的面積為4X2X4-

sml2sinhsin1

故選A

3.（2018?歷城區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P從（1,0）點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓x2+y2=l逆時(shí)針方向運(yùn)

動(dòng)工弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

3,A;解：點(diǎn)P從（1,0）出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)等弧長到達(dá)Q點(diǎn),

所以NQOXY，所以Q（co^,srnA）,即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（事號(hào).

33322

故選：A.

4.(2018?汪清縣校級(jí)月考)把-1485?；癁閍+2kn(k￡Z,0<a<2n)的形式是

()

A.工-8nB.-In-8nC.-2L-10nD.-In+10n

4444

4.D【解析】：-1485°=-1485xK=-33兀=.Wn+IZL.故選：D.

180044

5.

在與2010。角終邊相同的角中,絕對(duì)值最小的角的弧

度數(shù)為__________：

答案-答

解析2010。=華叮=12宣一并，

OO

/.與2010。角終邊相同的知中絕對(duì)值最小的角的弧

度數(shù)為-乎.

O

6.

已知角a的終邊落在直線)<=-3x(%<0)上，則

IsinalIcosaI

—:------------=-

sinacosa

答案2

解析因?yàn)榻莂的終邊落在直線y二-3x(x<0)±,

所以角儀是第二象限角，因此sina>0,cosa<0.

IsinaIIcosaIsina-cosa.-

fix-：------------------二T----------------=1+1=2.

sinacosasinacosa

綜合進(jìn)展

7.

若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長,

則其圓心角a的弧度數(shù)為()

A.yB.yC.y/3D.2

答案c

解析設(shè)圓半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長為

5r,所以有r=a,r,.\a=6

8.

已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a-9,a+2),且cosaWO,

sina>0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

答案A

解析由COSaW0,sina>0可知，角a的終邊落在第

二象限內(nèi)或軸的非負(fù)半軸匕所以有

pa-9W0

即一2<aW3.

[a+2>0,

10.若角a的終邊與角型的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且ae(-4n,-2n)，則a=

6

10.-岑L,-等；解：二.角a的終邊與卷的終邊關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱，

???角a的終邊在鳥的終邊上，.?.a=2"k7t,kEZ.

33

又(-4K,-2n),：.a=-^2L,一旦L,故答案為：-衛(wèi)二，一旦L

3333

11.

設(shè)a是第二象限角，P(x.4)為其終邊上的一點(diǎn)，且

cosa=,則tana=

答案-I

解析因?yàn)閍是第二象限角，所以cosa=?*<(),即

x<0,又CO8a=-^-X=-A解得x=-3,所以

5y/x2+16

44

tana=—=——.

x3

12.

如圖所示，已知扇形40B的圓心角乙405為120°,

半徑長為6,則陰影部分的面積是

OB

答案12宣—%不

1702

解析120。=云IT=q_1T,

IOU3

2

扇形的弧KI=6X-7T:4n，

^t^oAK=4"X4ITx6=12ir,

S2“AB=；?OA,OB?sin120°=；x6x6x

sin1200=圾，

5陰影=Sqigftui-Sw=]2TI'—9,3.

13.

已知sina<0,lana>0.

(1)求a角的集合；

(2)求F終邊所在的象限；

(3)試判斷tan-y-sin-ycos仔的符號(hào).

解析(1)由sin竊<0,知a在第三、四象限或y軸的

負(fù)半軸上;由tana>0,知a為第一、三象限角，故a

角的終邊在第三象限，其集合為｛a2A宣+7T<a<

2kir+cZ

(2)由2kk+IT<a<+=,*wZ,

彳導(dǎo)Air+學(xué)<3<上77+苧,*eZ,

故長終邊在第二、四象限.

⑶當(dāng)學(xué)在第二象限時(shí)Jan年＜0,

所以tan拳dn取正號(hào);

當(dāng)年在第四象限時(shí)JanfvO,

所以tan-y-sin￡■也取正號(hào).

因此，lan-ysin-y-cos拳取正號(hào).

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

02同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

?核心要點(diǎn)解讀

同角三角函數(shù)的關(guān)系有平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，用同角三角函數(shù)定義反復(fù)證明強(qiáng)化記憶，

在解題時(shí)要注意Sil?c+cos2a=1,這是一個(gè)隱含條件,在解題時(shí)要經(jīng)常能想到它。利

用同角的三角函數(shù)關(guān)系求解時(shí)，注意角所在象限，看是否需要分類討論。

誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為"奇變偶不變，符號(hào)看象限"，

"變"與"不變”是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sina與cosa對(duì)偶，"奇"、"偶"

是對(duì)誘導(dǎo)公式中k?g+a的整數(shù)k來講的，象限指攵?1+a中，將a看作銳角時(shí)，攵?￡+

22