高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（13課時）講解與練習(xí)

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射

1.考查方式多為選擇題或填空題.

的概念.

2.函數(shù)的表示方法是高考的?？純?nèi)容，特別是圖象法與

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需

解析式更是高考的常客，如2011年湖南T16等.

要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列

3.分段函數(shù)是高考的重點也是熱點，常以求解函數(shù)值，

表法、解析法)表示函數(shù).

由函數(shù)值求自變量以及與不等式相關(guān)的問題為主，如

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單

2012年福建T9等.

應(yīng)用.

至出瘋識’

HUGANZHISHI

［歸納?知識整合］

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合4,8A,8是兩個非空數(shù)集A,8是兩個非空集合

按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/；對于集合按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,對于集合

對應(yīng)關(guān)系

力中的任意一個數(shù)x,在集合8中有唯A中的任意一個元素x在集合B中都有

/：MB

一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)唯一確定的元素v與之對應(yīng)

叁上名為從集合4到集合8的一個函對應(yīng)f：4f6為從集合A到集合B的一

名稱

數(shù)個映射

記法y=f{x),xeA對應(yīng)￡/f8是一個映射

［探究］1.函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

提示：二者的區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的

兩個集合必須是非空數(shù)集，二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射.

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=f(x),中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域;與x的值

相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xe/｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合

3的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

3.相等函數(shù)

如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

［探究］2.若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個函數(shù)？

提示：不一定.如函數(shù)尸“與y=x+l,其定義域與值域完全相同，但不是同一個函數(shù)；

再如y=sin入與了=(：05x,其定義域都為R,值域都為顯然不是同一個函數(shù).因

為定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同，所以定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的

兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).

4.函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法.

5.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這

種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的此集，其值域等于各段函

數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

［自測?牛刀小試］

1.(教材習(xí)題改編)給出下列五個命題，正確的有()

①函數(shù)是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系；

②函數(shù)f(x)—yjx—4+yjl—Xi

③/Xx)=5,因這個函數(shù)的值不隨x的變化而變化，所以/'(干+1)也等于5；

④y=2x(x6N)的圖象是一條直線；

⑤/'(x)=l與g(x)=x°表示同一個函數(shù).

A.1個B.2個

C.3個D.4個

\x—420,

解析：選B由函數(shù)的定義知①正確；②錯誤；由得定義域為。，所以不

是函數(shù)；因為函數(shù)/Xx)=5為常數(shù)函數(shù)，所以F(/+l)=5,故③正確；因為xWN,所以函

數(shù)y=2x(xWN)的圖象是一些離散的點，故④錯誤；由于函數(shù)/Xx)=l的定義域為R,函數(shù)

g(x)=x°的定義域為｛x|xW0｝,故⑤錯誤.綜上分析，可知正確的個數(shù)是2.

2.(教材習(xí)題改編)以下給出的對應(yīng)是從集合4到8的映射的有()

①集合】=仍|。是數(shù)軸上的點｝,集合6=R,對應(yīng)關(guān)系￡數(shù)軸上的點與它所代表的實

數(shù)對應(yīng).

②集合力=｛劃P是平面直角坐標(biāo)系中的點｝,集合以｛(x,力IxGR,j/GR｝,對應(yīng)關(guān)系

/：平面直角坐標(biāo)系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng)；

③集合4=｛x|x是三角形｝,集合8=｛x|x是圓｝,對應(yīng)關(guān)系『：每一個三角形都對應(yīng)它

的內(nèi)切圓;

④集合4=｛x|x是新華中學(xué)的班級｝,集合戶｛x|x是新華中學(xué)的學(xué)生｝,對應(yīng)關(guān)系公

每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C由于新華中學(xué)的每一個班級里的學(xué)生都不止一個，即一個班級對應(yīng)的學(xué)生

不止一個，所以④不是從集合力到集合6的映射.

x+1,xWL

3.(2012?江西高考)設(shè)函數(shù)f(*)=《2貝""(3))=()

一，x>L

A.rB.3

5

213

C-3D'V

9,2、13

解析：選DvA3)/.AA3))+1=—

x+2

4.(教材習(xí)題改編)己知函數(shù)Ax)=—7,則F(F(4))=________；若F(a)=2,則》=

x—0

v+24+2

解析：?."(x)==,..?f(4)=>3.

///2―3+2=1

-3)=_3_69-

???"a)=2,即念=2,

解得3=14.

答案：|14

5.(教材習(xí)題改編)4=｛/|x是銳角｝,B=(0,1),從/到3的映射是“求余弦”,與A

中元素60°相對應(yīng)的8中的元素是.;與5中元素與相對應(yīng)的/中的元素是

1..與1中元素60°相對應(yīng)的8中的元素是*

解析：Vcos60°

~2

又...cos30°=平，...與6中元素乎相對應(yīng)的/中的元素是30°.

答案：|30°

瞬j畫明通國圖型■圉則臉握【罷則溺溺

1函數(shù)與映射的概念

［例1］有以下判斷：

|x|［Lx

(1)Hx)=—與g(x)=表示同一個函數(shù).

x1-1,x

(2)函數(shù)y=F(x)的圖象與直線x=l的交點最多有1個.

(3)f(x)=/—2^+1與g(?=j—2e+l是同一函數(shù).

(4)若f(x)=|x—1—Ix|,則(￡j)=0?

其中正確判斷的序號是________.

Ir|

［自主解答］對于(D,函數(shù)的定義域為{x|x￡R且杼0},而函數(shù)g(x)=

1_"a'的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2),若x=l不是y=f(x)定

義域內(nèi)的值，則直線X=1與尸f(x)的圖象沒有交點，若X=1是尸f(x)定義域內(nèi)的值，由

函數(shù)的定義可知，直線X=1與y=f(x)的圖象只有一個交點，即y=f(x)的圖象與直線x=l

最多有一個交點；對于(3),f(x)與式力的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)與式力)

表示同一函數(shù)；對于(4),由于/Q)=1—1=0,

所以’(°)=L

綜上可知，正確的判斷是(2)(3).

［答案］(2)(3)

-----------［方法.規(guī)例---------------------------------

1.判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法

要檢驗兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，只需檢驗：(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)

根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能找到唯一的函數(shù)值y與

之對應(yīng).

2.判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法

判斷兩個函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域--致，再看對應(yīng)法則是否一

致，由此即可判斷.

II甌t訓(xùn)練

1.(1)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？

1,啟1,

X

①￡：fay—1.?fi：y—'2,1<水2,

.3,*22；

fit

XxWl\<x<2x22

y123

③方：y=2x；f2：如圖所示.

解：①不同函數(shù).f(x)的定義域為{xGRl/O},立(x)的定義域為

R.

②同一函數(shù).x與y的對應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同

一函數(shù)的不同表示方式.

③同一函數(shù).理由同②.

(2)己知映射f：/f"其中4=6=R,對應(yīng)關(guān)系￡x-y=-y+2x,對于實數(shù)466,在

集合/中不存在元素與之對應(yīng)，則〃的取值范圍是()

A.k〉\B.kR

C.A<1D.kWl

解析：選A由題意知，方程無實數(shù)根，即J—2x+4=0無實數(shù)根.

所以4=4(1一")<0,解得上1時滿足題意.

求函數(shù)的解析式

［例2］(1)已知f(x+l)=*+4x+l,求f(x)的解析式.

⑵已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)~f(x)=2x+9.求f［x).

［自主解答］(1)法一：(換元法)設(shè)*+1=力則Lt—1,

.*.At)=(t-l)2+4(r-l)+l,

即f(t)——+21-2.

，所求函數(shù)為f{x)=x-\-2x—2.

法二：(配湊法).."(x+1)=V+4x+1=(x+1尸+

2(x+1)—2,

所求函數(shù)為f(x)—x+2x—2.

(2)(待定系數(shù)法)由題意，設(shè)函數(shù)為f(x)=ax+從a#0),

,.?3f(x+l)—f(x)=2x+9,

3a(x+1)+36—ax—6=2x+9,

即2ax+3a+26=2x+9.

2a=2,

由恒等式性質(zhì)，得

3a+26=9,

解得a=l,6=3.

所求函數(shù)解析式為F(x)=x+3.

MS

若將本例⑴中“f(x+l)=f+4x+l”改為“卷+l)=lg/,如何求解?

解：令1+1=3,/x>0,

2

t>1且x—~~

t-I

22

f(t')—]8力_],即f(x)=1(x>l).

----------[方法?規(guī)律]-------------------------------

求函數(shù)解析式的常用方法

(1)配湊法：由已知條件/"(g(x))=6(X),可將尸(X)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以X

替代g(x)，便得/'(X)的表達式；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；

(3)換元法：己知復(fù)合函數(shù)/1(以x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；

(4)解方程組法：已知關(guān)于Hx)與/8或/X—x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另

外一個等式組成方程組，通過解方程求出/"(X).

||畫式訓(xùn)練

2.給出下列兩個條件：

⑴f(。+1)=x+24;

(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,Hx+2)—f(x)=4x+2.

試分別求出F(x)的解析式.

解：⑴令t—y[x+l,

.Dl,x=(t—1)\

則At)=(t-D2+2(t-!)=?-1,

f{x)=X—1(X21).

(2)設(shè)f(.x)—ax+bx+c,又AO)=c=3.

=af+6x+3,

f(x+2)—F(x)=a(x+2”+6(x+2)+3—(ax+6x+3)=4ax+4a+26=4x+2.

[41a—4,

A,解f(x)—x—x+3.

〔4a+26=2,b=-l.

分段函數(shù)求值

fl,x>0,

[例3](2012?福建高考)設(shè)/'(x)=，0,x=0,

l-l,KO,

1.x為有理數(shù),

g(x)=則/'(g(n))的值為()

0,x為無理數(shù),

A.1B.0

C.-1D.n

［解析］,.?g(n)=O,/1(g(Jt))=f(0)=0,

Jt))=0.

［答案］B

----------［方法?規(guī)律］-------------------------------

解決分段函數(shù)求值問題的方法

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解，有時每

段交替使用求值.

(2)若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析

式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，做到分段函

數(shù)分段解決.

||儂式訓(xùn)練

[2'+1,K1,

3.已知函數(shù)f(x)=,,、若/■(『(()))=4a,則實數(shù)a等于()

x+ax,欄1,

1?4

A-2B-5

C.2D.9

解析：選CVXl,f(x)=2'+l,.*"(0)=2.

由F(_f(0))=4d得f(2)=4a,*/1,f{x)=x+ax9

.?.4a=4+2&解得a=2.

［通法-----歸納領(lǐng)悟］

4種方法一一函數(shù)解析式的求法

求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)解方程組法.具

體內(nèi)容見例2［方法?規(guī)律］.

2兩個易誤點一一映射的概念及分段函數(shù)求值問題中的易誤點

(1)判斷對應(yīng)是否為映射，即看4中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”.但要注

意：①4中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；②8中元素可無原象,

即8中元素可有剩余.

(2)求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題

在求分段函數(shù)的值f(劉)時，一定要首先判斷X。屬于定義域的哪個子集，然后再代入相

應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上對應(yīng)的各關(guān)系式的值域的并集.

數(shù)學(xué)思想一一分類討論思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜用統(tǒng)一的方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象的差異，按照一定的分類

方法或標(biāo)準(zhǔn)，將問題分為“全而不重，廣而不漏”的若干類，然后逐類分別討論，再把結(jié)論

匯總，得出問題答案的思想，這就是主要考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，由于分段函數(shù)在不同

定義區(qū)間上具有不同的解析式，在處理分段函數(shù)問題時應(yīng)對不同的區(qū)間進行分類求解，然后

整合，這恰好是分類討論的一種體現(xiàn).

［2x+a,x<l,

［典例］(2011?江蘇高考)已知實數(shù)aWO,函數(shù)f(x)=、、若/1(1—

【一x—2a,1,

a)=F(l+a),則a的值為.

［解析］①當(dāng)1—3<.1,即a>0時，此時a+l>l,由/'(1—a)=f(l+a),得2(1—a)

3

+d=—(1+a)—2a,計算得a=—］(舍去)；②當(dāng)1—a>l,即aVO時，此時a+lVl,由

尸(l-a)=f(l+a),得2(l+a)+a=—(l—a)—2a,計算得a=—彳，符合題意，所以綜上所

述，片一*

［答案］一彳

［題后悟道］

1.在解決本題時，由于a的取值不同限制了l-a及1+a的取值，從而應(yīng)對a進行分類

討論.

2.運用分類討論的思想解題的基本步驟

(1)確定討論對象和確定研究的區(qū)域；

(2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重不漏，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級)；

(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；

(4)歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論.

[變式訓(xùn)練]

log2X,x〉0,

1.設(shè)函數(shù)F(x)=,log]—x,K0,若f(a)>f(—a),則實數(shù)a的取值范圍是

.2

()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-8,-1)u(1,+8)

C.(-1,0)U(1,+co)D.(-8,-1)u(0,1)

解析：選C①當(dāng)a>0時,,

，log2a>log]a=log2

2

/.a>~,得a>L

a

②當(dāng)水0時，-：f(a)>f(-a),

log,(—a)>log(—a)=log..

iz1—a

22

，一a<」一得一故C項為正確選項.

—a

2x,xR—8,

2.設(shè)函數(shù)f(x)={2r若/'(x)>4,則x的取值范圍是

[x,A-e[1,+

解析：當(dāng)x<l時，由f(x)>4得2r>4,即“<—2；

當(dāng)時，由/"(x)>4得f>4,所以x>2或水一2,但由于所以x〉2.

綜上，x的取值范圍是2或x>2.

答案：(-8,-2)U(2,+°0)

研能輜則期五丟?練落鹿郵的摘帽校

ZHINENGJIANCEt

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

1.下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是()

A.與y=,

B.y=lne'與y=enx

x—x+,,

C.y=;------與尸葉3

D.y=x與y=A

解析：選Dy=V?=x,尸故尸羽與不表示相等函數(shù)；B、C選

項中的兩函數(shù)定義域不同；D選項中的兩函數(shù)是同一個函數(shù).

2.設(shè)4={0,1,2,4},8=e，0，1，2,6,4,則下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成1到8的映射的

是()

A.f：x-寸一1B.f：矛->(x-1”

C.f：x—2'TD.f：x-2x

解析：選C對于A,由于集合力中x=0時，f—1=-i住氏即/中元素。在集合片中

沒有元素與之對應(yīng)，所以選項力不符合；同理可知B、D兩選項均不能構(gòu)成力到片的映射，C

符合.

12k2,QO,

3.已知函數(shù)F(x)={則F(f(—10))=()

-x,K0,

11

A-&-

24

1

C.1D.-T

4

解析：選A依題意可知F(—10)=lg10=1,

A1)=2-2=1.

x20,

4.(2013?杭州模擬)設(shè)函數(shù)F(x)=\[—若Aa)+&一1)=2,則a=()

卜/一x,KO,

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：選D：/'(a)+f(—1)=2,且/?(一1)=4=1,

f(,a)-1,當(dāng)a20時，f(a)—y[a—1,a—1；

當(dāng)a〈0時，Aa)=y]—a=1,/.a=—1.

5.若/,(x)對于任意實數(shù)*恒有2F(x)—f(—x)=3x+l,則f(x)=()

A.x—1B.x+1

C.2x+lD.3x+3

解析：選B由題意知2F(x)—A—x)=3x+L①

將①中x換為一筋則有2F(—x)—F(x)=-3x+L②

①X2+②得3f(x)=3%+3,

即f{x)=x+L

6.(2013?泰安模擬)具有性質(zhì)：/(勺=一”*)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函

數(shù)，下列函數(shù)：

，x,0<Xl,

①/'(x)=x—5②/'(x)=x+*③F(x)=<0，1'

滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)

-x>L

Ix

是()

A.①②B.①③

C.②③D.只有①

解析：選B①x=-F(x)滿足.

②/(J)=：+x=f(x)不滿足.

③0<x<l時,C^=-X=-F(A),

￡^=0=-F(x),

x—1時,

x>l時，｛?=：=—F(x)滿足.

二、填空題

7.已知/(x-?=/+｝，則函數(shù)A3)=

解析：+六++[-9+2,

.,./U)=x+2..,./(3)=32+2=11.

答案：11

8.若f(a+份=/(<?),f(6)且f⑴—1,則《

fo-L

解析：令41,:丁―=9)=],

AT=2Oil.

f

答案：2011

[2\

9.定義在R上的函數(shù)F(x)滿足F(x)=則/'(3)的值

x——fx-,x>0,

為.

解析：由題意得f(3)=析2)-Al)=AD-AO)—F(D=—f(O)=-2°=—1.

答案：一1

三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)

\X-1,x>0,

10.已知f(x)=V—1,g(x)={

\2—x,x<0.

⑴求f(g(2))和g(f⑵)的值;

⑵求Hg(x))和g(F(x))的解析式.

解：(1)由已知，g⑵=1,/(2)=3,

因此F(g(2))=F(l)=0,

g"(2))=g(3)=2.

(2)當(dāng)x>0時,g(M=x—L

故F(g(x))=(-￥—l)2—1=/—2x；

當(dāng)x<0時，g(x)=2—x,

故F(g(x))=(2—x)2—1=9—4x+3.

x—2x,x>0,

所以f(g(x))=

4x+3,水0.

當(dāng)x>l或X—1時，F(xiàn)(x)>0,

故g(F(x))=F(x)—1=L—2；

當(dāng)一1<JK1時，F(xiàn)(x)<0,

故g(F(x))=2—F(x)=3—/.

x—2,王>1或正一1,

所以g(f(x))=

3—x9-KXl.

11.二次函數(shù)F(x)滿足/,(x+1)—f(x)=2x,且/'(0)=1.

⑴求f(x)的解析式；

(2)解不等式F(x)>2x+5.

解：(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+Z?x+c(dWO).

Vf(O)=l,Ac=l.

把Mx)的表達式代入f(x+D—F(x)=2x,有

a(x+l)'+A(x+l)+1—(ax+6x+l)=2x.

C.2ax+a+b=2x.

a=1,b=—l.

f(4=*2—x+1.

(2)由x—x+l>2x+5,即x—3x—4>0,

解得x>4或水一1.

故原不等式解集為3x>4或點一1}.

12.規(guī)定[訂為不超過方的最大整數(shù)，例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,對任意實數(shù)筋

令/l(x)=[4x],g(x)=4X一[4x],進一步令五(x)=￡[g(x)].

7

⑴若才=主,分別求/i(x)和￡(才)；

16

(2)若方(才)=1,￡5)=3同時滿足，求x的取值范圍.

77

解：⑴??3=正時，4^=-,

f\(x)=[[]=L

/、7「713

**-fi(x)=￡[g(x)]=.(/=[3]=3.

(2)*.*f\(A)=[4x]—1fg(x)=4x—1,

Afi(x)=￡(4x—1)=[16^-4]=3.

J1W4*2,.j_1

'13W16x-4<4,-16〈水]

教師備選題供我嬸備儡通用

1.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了

一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到達終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達

了終點…，用Si,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合

的是（）

解析：選B根據(jù)故事的描述，烏龜是先于兔子到達終點，到達終點的最后時刻烏龜?shù)?/p>

路程大于兔子的路程，并且兔子中間有一段路程為零，分析知8圖象與事實相吻合.

2.下列對應(yīng)關(guān)系是集合。上的函數(shù)的是.

gN*,對應(yīng)關(guān)系f對集合戶中的元素取絕對值與集合。中的元素相對應(yīng)；

(2)—{—1,1,-2,2),g{l,4},對應(yīng)關(guān)系：f：xWP,yGQ

(3)Q={三角形},g{x|*>0},對應(yīng)關(guān)系/■:對一中三角形求面積與集合0中元素對應(yīng).

解析：對于(1),集合戶中元素0在集合。中沒有對應(yīng)元素，故(1)不是函數(shù)；對于(3)

集合P不是數(shù)集，故(3)不是函數(shù)；(2)正確.

答案：⑵

3.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：

(1)y=-\[x-2?〃+2,尸,一4；

(2)y=x,；

⑶y=|x|,y=(y[x)

解：：y=7x-2?y/x+2的定義域為{xIx22),

4的定義域為{x|x22或M-2},

它們不是同一函數(shù).

⑵???它們的定義域相同，且產(chǎn)=羽=￡,

.?.了=4與尸牛"?是同一函數(shù).

⑶?.,尸況的定義域為R,尸(依尸的定義域為物后。},

它們不是同一函數(shù).

4+2,—1,

9v—1<X2

4.已知f(x)=j2'且F(a)=3,求d的值.

會—22,

解：①當(dāng)a〈一1時，f(d)=d+2,

由a+2=3,得a=l,與aW-1相矛盾，應(yīng)舍去.

②當(dāng)一1<水2時，f{a)=2a,

3

由2a=3,得a=7滿足一1〈水2.

2

③當(dāng)a22時,f(a)=/,

2

由/=工得己=±m(xù)，

又a22,故a=乖.

Q

綜上可知，a的值為5或m.

第二節(jié)函數(shù)的定義域和值域

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.函數(shù)的定義域經(jīng)常作為基本條件或工具出現(xiàn)在高考試題的客觀題

中，且多與集合問題相交匯，考查與對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、根式函

會求簡單函數(shù)的定

義域和值域.數(shù)有關(guān)的定義域問題.如：2012年山東T3,安徽T2,廣東T11等.

2.函數(shù)的值域或最值問題很少單獨考查，通常與不等式恒成立等問

題相結(jié)合作為函數(shù)綜合問題中的某一問出現(xiàn)在試卷中.

I顫淀荃邀

［歸納?知識整合］

1.常見基本初等函數(shù)的定義域

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)y=a'(a>0且aWl)，y=sinx,y=cosx,定義域均為R.

(5)y=log“x(a>0且a」l)的定義域為(0,十8).

(6)y=tanx的定義域為卜I掙*"十］,4Gz).

(7)實際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實際問題對函數(shù)

自變量的制約.

2.基本初等函數(shù)的值域

(1)y=Zrx+6(AW0)的值域是R.

(2)y=ax+bx+c(a^0)的值域是：

當(dāng)a>0時，值域為e——:;

當(dāng)水0時，值域為bI號

(3)尸勺■0)的值域是{yl后0}.

(4)y=a(a>0且aWl)的值域是{y|y>0}.

(5)y=logax(a>0且aWl)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是［―1,1］.

(7)y=tanx的值域是R

［探究］L若函數(shù)y=F(x)的定義域和值域相同，則稱函數(shù)尸F(xiàn)5)是圓滿函數(shù)，則函數(shù)

①尸%②y=2x；③尸W；④尸］中是圓滿函數(shù)的有哪幾個？

提示：①了=51勺定義域和值域都是(-8,0)U(0,+8),故函數(shù)是圓滿函數(shù)；②

y=2x的定義域和值域都是R,故函數(shù)y=2x是圓滿函數(shù)；③y=皆的定義域和值域都是［0,

+8),故/=，是圓滿函數(shù)；④的定義域為R,值域為［0,+8),故函數(shù)y=x?不是

圓滿函數(shù).

2.分段函數(shù)的定義域、值域與各段上的定義域、值域之間有什么關(guān)系？

提示：分段函數(shù)的定義域、值域為各段上的定義域、值域的并集.

［自測?牛刀小試］

1.(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)="與的定義域為()

X—1

A.[—8,4]B.[4,4-oo)

C.(—8,4)D.(一8,1)u(1,4]

解析：選D要使函數(shù)*有\(zhòng)/4—意x義，只需—[4—%W4,

即所以函數(shù)

[x^l.

的定義域為(一8,1)U(1,4].

2.下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()

X0<K55WK1010^X1515WW20

y2345

A.[2,5]B.N

C.(0,20]D.{2,3,4,5}

解析：選D函數(shù)值只有四個數(shù)2,3,4,5,故值域為{2,3,4,5}.

則f(x)的定義域為()

B.(一

D.(0,+8)

解析：選A根據(jù)題意得log】(2x+l)>0,

2

即。<2x+l<l,解得一夕水0,即0

4.(教材改編題)函數(shù)y=F(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的定

義域為，值域為.

解析：由圖象可知，函數(shù)尸f(x)的定義域為[-6,0]。[3,7),值域

為[0,+°°).

答案：[-6,0]U[3,7)[0,+8)

5.(教材改編題)若有意義，則函數(shù)y=V—6x+7的值域是—

解析：?；y/x—4有意義,4》0,即x24.

又?.，=/-6才+7=(*-3)2-2,

J4..n=(4—3)2—2=1—2=—1.

其值域為[-1，+8).

答案：[-1,+°°)

[“三]求函數(shù)的定義域

[例1](1)(2012?山東高考)函數(shù)/U)=——-+亞二，的定義域為()

X.I

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

(2)已知函數(shù)A/-1)的定義域為[0,3],則函數(shù)y=f{x)的定義域為.

x+1>0,x>—l,

[自主解答](1)>滿足,x+lWl,即，x#0,

、4—A3》。,-2WxW2.

解得一l<x<0或0〈xW2.

(2)

，0WxW9,—lWfTW8.

函數(shù)二f(x)的定義域為[—1,8].

[答案](DB(2)[-1,8]

砌癖

本例(2)改為Ax)的定義域為[0,3],求y=f(x—l')的定義域.

解：的定義域為[0,3],

—1<3,

解得一2Wx〈一l或1WXW2,

所以函數(shù)定義域為[-2,-1]U[1,2].

-----------[方法?規(guī)律]---------------------------------

簡單函數(shù)定義域的類型及求法

(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

(3)對抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)f(x)的定義域為，則復(fù)合函數(shù)f(屋x))的定義域由不等式aWg(x)Wb

求出.

②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在xe[a,3時的值

域.

||畫式訓(xùn)練

1.(1)(2012?江蘇高考)函數(shù)f(x)=Ml-21og6X的定義域為一

⑵已知f(x)的定義域是［-2,4］,求一3x)的定義域.

解析：(1)由1—21og6X20解得故所求定義域為(0,乖］.

答案：(0,乖］

(2)V/(%)的定義域是［-2,4］,

二一2W9—3xW4,由二次函數(shù)的圖象可得，一IWxWl或2WxW4.

...定義域為［-1,1］U［2,4］.

求函數(shù)的值域

［例2］求下列函數(shù)的值域：

X——3_____4

(1)尸(2)jr=x-ytJ1^2x；(3)y=x+~\

Y—Qv—I—1—AAA

［自主解答］(1)法一：(分離常數(shù)法)尸一=-^=1—一.因為—wo,所以

x+1x+1x+1x+1

4

1——7H1，

x+1

即函數(shù)的值域是域是￡R,yWl}.

x—3

法二：由夕=不口［■得yx+y=x—3.

解得了=戶，所以戶中，

1—y

即函數(shù)值域是域|y￡R,產(chǎn)“}.

(2)法一：(換元法)令71一2戶3則.20且丁='2’,于是尸J2：—P=_g(1+］)2

+b由于七20,所以泛/故函數(shù)的值域是,

法二：(單調(diào)性法)容易判斷函數(shù)尸f(x)為增函數(shù),而其定義域應(yīng)滿足1-2X20,即

所以日電=；,即函數(shù)的值域是,國|.

(3)法一：(基本不等式法)當(dāng)x〉0時，

4/~4

才+-22A/xX-=4,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時“=”成立；

44

當(dāng)水0時，矛+-=—(―x—)4,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時"=”成立.

即函數(shù)的值域為(-8,-4]U[4,+°°).

A.—4

法二：(導(dǎo)數(shù)法)/(X)=1—F=^

A-e(―co,—2)或Xd(2,+8)時,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)XW(-2,0)或XC(0,2)時，/'(x)單調(diào)遞減.

故矛=一2時，f(x)極大值=/"(一2)=—4；

x=2時，f{x)極小(a=f(2)=4.

即函數(shù)的值域為(-8,-4］U［4,+8).

4

若將本例(3)改為“y=x—;"，如何求解?

解：易知函數(shù)尸X—：在(-8,0)和(0,+8)上都是增函數(shù)，故函數(shù)y=x—［的值域為

R.

----------［方法?規(guī)律］-----------------------------

求函數(shù)值域的基本方法

(1)觀察法：一些簡單函數(shù)，通過觀察法求值域.

(2)配方法："二次函數(shù)類”用配方法求值域.

(3)換元法：形如y=ax+b±勺cx+d(a,b,c,d均為常數(shù)，且a#0)的函數(shù)常用換元

法求值域，形如y=ax+y/a—4'的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域.

分離常數(shù)法：形如尸上1言a的函數(shù)可用此法求值域.

QX\u

單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其

增減性進而求最值和值域.

數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)的圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的凡何意義，在圖上找

其變化范圍.

II陶武訓(xùn)練

2.求下列函數(shù)的值域.

(1)7=%+2%,xe［0,3］；

/、X—x

⑵尸X—+1；

⑶y=log3x+log.,3—1.

解：(1)(配方法)y=f+2x=(x+1尸一1,

???0WxW3,

??.1WX+1W4.???臼葉1)206.

???0WJ<15,

即函數(shù)y=x+2^r(%e[0,3])的值域為[0,15].

/、x—x+1-1]

⑵尸—+]=1

x-x+1'

1A

A0<7=7H<3,

；?一即值域為一1).

(3)y=log3^+7^------L