廣東省佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

南海藝術(shù)高中2024-2025學(xué)年度3月考試高一級(jí)數(shù)學(xué)科試卷本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘一?單選題（共40分）1已知，，，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】已知，，所以，解得：故選：B2.下列命題正確的是（）A.平面內(nèi)所有的單位向量都相等 B.模為0的向量與任意非零向量共線C.平行向量不一定是共線向量 D.若滿足，且同向，則【答案】B【解析】【分析】結(jié)合單位向量、零向量、平行向量的意義逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，單位向量的模為1，方向不一定相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，模為0的向量與任意非零向量共線，B正確；對(duì)于C，平行向量一定是共線向量，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，向量的模能比較大小，而向量不能比較大小，D錯(cuò)誤.故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦二倍角公式和弦化切思想即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.4.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求出，結(jié)合二倍角的正弦公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故選：D5.如圖，已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算法則即可求出．【詳解】由，得，而，所以.故選：B6.若，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的二倍角公式以及兩角差的正弦對(duì)原式進(jìn)行變換即可求出的值.【詳解】解：，即.故故選：C7.下列函數(shù)中，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期性與單調(diào)性判斷．【詳解】選項(xiàng)A中，選項(xiàng)B中，選項(xiàng)C中，選項(xiàng)D中，排除AB，時(shí)，，遞減，則遞增，時(shí)，，遞增，則遞減，故選：C．8.在中，設(shè)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.邊上的高是C.外接圓的周長(zhǎng)是 D.內(nèi)切圓的面積是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式、余弦定理、三角形面積公式、正弦定理以及三角形內(nèi)切圓相關(guān)知識(shí)，結(jié)合已知條件，來(lái)逐一分析各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，解得，故A正確，對(duì)于B，顯然是等腰三角形，底邊上的高是4，由等面積法可知邊上的高是，故B正確；對(duì)于C，由B知，，所以外接圓的周長(zhǎng)是，故C正確；對(duì)于D，由等積法知，，故D不正確.故選：D.二?多選題（共18分）9.如果是第二象限的角，下列各式中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以AD選項(xiàng)不成立.由于第二象限角，所以，，所以B選項(xiàng)成立，C選項(xiàng)不成立.故選：ACD10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量是單位向量B.與可以作為基底C.在上的投影向量為D.與的夾角為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)基底的定義即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)投影向量的定義與計(jì)算公式即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)向量夾角的定義及坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，，故向量不是單位向量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵向量與是不共線的非零向量，故向量與可以作為基底，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，在上的投影向量為，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由題知.，，即與的夾角為，選項(xiàng)D正確；故選：BCD.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若方程在上有且只有6個(gè)根，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象得到再由得到，然后由的圖象過(guò)點(diǎn)求得解析式后逐項(xiàng)判斷.【詳解】由圖象得，，而，則，由的圖象過(guò)點(diǎn)，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，A正確；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是：，非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，C正確；顯然，若方程在上有且只有6個(gè)根，則，D正確.故選：ACD三?填空題（共15分）12.設(shè)和是兩個(gè)不共線的向量，若，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值等于__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由三點(diǎn)共線可得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因三點(diǎn)共線，故.，.故答案為：13.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_____．【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，所以，所以，即，所以，所?故答案為：14.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式及正弦定理化邊為角，計(jì)算即可得解.【詳解】由，得，又因?yàn)?，所以，由正弦定理得，由，則，解得或，因?yàn)?，所?故答案為：.四?解答題（共77分）15.已知向量與的夾角為，且，求（1）（2）（3）設(shè)向量與的夾角為，求的值.【答案】（1）4（2）（3）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由向量的模長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律以及向量的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，.【小問(wèn)3詳解】由（1）（2）得，.16.已知函數(shù)．（1）寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)的值；（3）時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；，.（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值為.（3）【解析】【分析】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的最小正周期為：；由，，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，.方程有解，所以.即函數(shù)有零點(diǎn)，得.17.已知平面向量．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算出向量，，再根據(jù)向量垂直列出方程求解即可.（2）先根據(jù)與的夾角為銳角得出，且?jiàn)A角不為，再分別求出和夾角不為時(shí)的取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗裕?又因?yàn)?，所以，解?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且?jiàn)A角不為.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)與的夾角為時(shí)，，解得，故與的夾角不為時(shí)，；綜上可得：的取值范圍是.18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化弦為切，再代入計(jì)算即可；（2）先運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用代換化為的齊次分式并化弦為切代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】.19.已知A、B、C、D為平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角．（1）若，，求；（2）如圖，若，，，，.①證明：；②求的值．【答案】（1）10（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.（2）①利用二倍角公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可證明，②先對(duì)所求式子化簡(jiǎn)得到，原式即是求的結(jié)果，再多次利用余弦定理即可求得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】易知四邊形是平行四邊形在中，由余弦定理得同理在三角形得到：,因?yàn)椋?，且有公共邊AC，所以,所以,又,所以,即,所以在平行四邊形中,,故，【小問(wèn)2詳解】證明：①等式左邊==右邊所以等式成立．②由，得，，由①可知：，連結(jié)BD，在中，由余弦定理有，，，，，在中，由余弦定理有，所以，則：又，可知，于是，