2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題9三角形、四邊形的相關(guān)計(jì)算【課件】

專題九三角形、四邊形的相關(guān)計(jì)算

類型一利用勾股定理求線段長(zhǎng)

在圖形中遇到求線段的長(zhǎng)時(shí)，有時(shí)可以利用圖形中的直角三角形

（或通過(guò)作垂線將待求線段放入某個(gè)直角三角形中），通過(guò)勾股定理

來(lái)解決問(wèn)題.

2.

[2024·達(dá)州]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，

且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，則△ABC的面積是

?.

3.

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE，將

△ABE沿BE折疊得到△FBE，EG∥DC，交BF于點(diǎn)G，則EG的長(zhǎng)

為

?.

4.

如圖①，點(diǎn)B在線段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝

∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如圖②，將△ABC固定，將

△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段CF與AB交于點(diǎn)O，當(dāng)OE＝OB時(shí)，求

OF的長(zhǎng).

5.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD

上，BE＝3，∠EAF＝45°，求DF的長(zhǎng).

類型二利用相似求線段長(zhǎng)或線段比

在圖形中遇到求線段長(zhǎng)或線段比時(shí)，有時(shí)可以利用圖形中的相似

三角形，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到線段比或建立待求線段的相似比

方程來(lái)解決問(wèn)題.若圖形中沒(méi)有相似三角形，有時(shí)還需要通過(guò)作平行線

或垂線構(gòu)造與待求線段相關(guān)的相似三角形.

3.

[2024·宜賓]如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)

角線AC的長(zhǎng)是

?.

5.

如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，P為AB邊上一點(diǎn)，M為CP

的中點(diǎn)，若∠PBM＝∠ACP，求BP的長(zhǎng).

6.

如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝3，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

BD＝1.點(diǎn)E在直線AC上，當(dāng)∠BAD＝∠CDE時(shí)，求AE的長(zhǎng).解：分以下兩種情況討論.

7.

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB上一點(diǎn).

類型三構(gòu)造全等三角形求線段長(zhǎng)

在圖形中遇到求線段長(zhǎng)時(shí)，有時(shí)通過(guò)作垂線或平行線的方法構(gòu)造

全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)達(dá)到與已知線段長(zhǎng)的等量轉(zhuǎn)換，

再結(jié)合勾股定理、相似三角形等相關(guān)知識(shí)求解.1.

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，且E為對(duì)角

線BD的中點(diǎn)，∠DAE＝30°，∠BCE＝120°.若CE＝1，BC＝2，求

AC的長(zhǎng).解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥BC，交AC于點(diǎn)M.

易得△DEM≌△BEC

（ASA或AAS），∴DM＝BC＝2，ME＝CE＝1，∠DME＝∠BCE＝120°，∴∠AMD

＝60°.又∵∠DAE＝30°，∴∠ADM＝90°，∴AM＝2DM＝4，∴AC＝

AM＋MC＝4＋2＝6.2.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P為△ABC內(nèi)一

點(diǎn)，連接AP，BP，CP，其中CP的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，若∠CBP＝

∠PCB＝15°，求AP的長(zhǎng).解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

易得△ACM≌△CBN（AAS）.設(shè)BN＝CM＝x.∵∠CBP＝∠PCB＝15°，∴∠BPN＝30°，∴CP＝BP＝2BN＝2x，∴PM＝CM＝x，∴AM為CP的垂直平分線，∴AP＝AC＝4.3.

如圖，在△ABC中，∠A＝∠ACB，AC＝2，點(diǎn)P在邊AB上，Q在

BC的延長(zhǎng)線上，且PA＝QC，連接PQ交AC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)

E，求DE的長(zhǎng).

4.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為AC的中

點(diǎn)，CH⊥BD于點(diǎn)H，O為AB的中點(diǎn)，連接OH，求OH的長(zhǎng).

類型四利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)

當(dāng)遇到“從一點(diǎn)（O）呈放射狀發(fā)射出三條線段（OA，OB，

OC），且其中有兩條線段相等（OA＝OB，OA與OB的夾角為α）”

的幾何圖形，求某線段長(zhǎng)時(shí)，往往可以以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將以O(shè)A

（或OB）為邊的一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)α度，使其與OB（或OA）重合，構(gòu)

造出“手拉手模型”，實(shí)現(xiàn)線段的等量轉(zhuǎn)換，圖形重構(gòu).

2.

如圖，E為菱形ABCD外一點(diǎn)，∠BEA＝∠ABC＝60°，AE＝3，

BE＝5，求DE的長(zhǎng).

4.

如圖，B，C為△ADE的邊DE上兩點(diǎn)，∠BAC＝90°，AB＝AC.

若∠DAE＝135°，BD＝2，CE＝3，求AB的長(zhǎng).解：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

△ACF，連接DF.

易得△ACF≌△ABE，∴CF＝BE，AF＝AE，∠ACF＝∠ABE.

∵∠BAC

＝90°，AB＝AC，∴∠ACF＝∠ABE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝

90°，即△DCF為直角三角形.∵∠DAE＝135°，∠FAE＝90°