2025長沙中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

2025長沙中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．π2 B．0 C．2272．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)志等作品的設(shè)計(jì)上，使對稱之美驚艷了千年的時(shí)光．下列常見的運(yùn)動圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．湖南自古就有“湖廣熟、天下足”的美譽(yù)，2024年全省糧食播種面積穩(wěn)定在71000000畝以上，實(shí)現(xiàn)播種面積、單產(chǎn)、總產(chǎn)“三增”。該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．710×103 B．71×106 C．4．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A．4xy-3xy=1 B．-C．(-5)2=-5 5．為了解學(xué)生的視力情況，從甲、乙兩班各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，圖中視力值均在格線上，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．乙班視力值的眾數(shù)是4.7B．甲、乙兩班視力值的平均數(shù)相等C．甲、乙兩班視力值的中位數(shù)相等D．視力值的波動程度甲班大于乙班6．如圖，將一塊有30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在一張寬為2cm的長方形紙帶邊上．另一個(gè)頂點(diǎn)A在紙帶的另一邊上，測得三角板的較短直角邊AC與紙帶邊所在的直線成45°角，則該三角板斜邊AB的長為（

）A．4cm B．42cm C．47．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Mm,3m-8，若點(diǎn)M在兩坐標(biāo)軸的角平分線上，則m的值為（

A．±2 B．±4 C．-2或-4 D．2或48．“雙碳”背景下，我國新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費(fèi)人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續(xù)增長，如果第三個(gè)月銷售量的增長率是第二個(gè)月的2倍，第三個(gè)月的銷售量是第一個(gè)月的3倍，設(shè)第一月月銷售量為a輛，第二個(gè)月銷售量的增長率為x，則可列出方程是（

）A．a(chǎn)(1+x)2=3aC．a(chǎn)1+2x1+3x=3a9．對于某個(gè)一次函數(shù)，兩位同學(xué)探究了它的圖象和性質(zhì)．上圖為兩位同學(xué)的對話，如果兩位同學(xué)的判斷都是正確的，設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+bk≠0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=-10．如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點(diǎn)G在菱形ABCD的BC邊上運(yùn)動，GF與AB相交于點(diǎn)H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，則菱形ABCD的邊長為（）A．183 B．163 C．18第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．因式分解4x212．已知一元二次方程x2-5x+a=0的一個(gè)根是3，則13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kx同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)Aa,2，B4,a+1，則14．如圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了如圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OQ=25cm，用長為125cm的連桿將點(diǎn)Q與動力裝置P相連（∠OQP大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上滑動，并帶動磨盤繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盤轉(zhuǎn)動過程中，則點(diǎn)P到A15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線AG交BC邊于點(diǎn)D．若CD=5，AB=12，則△ABD16．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如3=22-12，7=三、解答題(本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．（6分）計(jì)算：-118．（6分）先化簡，再求值：x2-4x+4x+1÷319．（6分）我國生產(chǎn)的無人機(jī)暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度MN，工作人員使用無人飛機(jī)通過設(shè)備在P處測得M，N兩處的俯角分別為α=60°和β=37°，測得無人機(jī)離水平地面的高度PQ為240米，若Q，M，N三點(diǎn)在同一條水平直線上，則這條河的寬度MN為多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，3≈1.7320．（8分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，H為EC中點(diǎn)，(1)求證：AH⊥BC；(2)若∠B=36°，求∠BAC的度數(shù)．21．（8分）初三（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學(xué)生進(jìn)行專題調(diào)查活動，對“垃圾分類”的知曉情況分為A、B、C、D四類．其中，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”，每名學(xué)生可根據(jù)自己的情況任選其中一類，班長根據(jù)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)初三（1）班參加這次調(diào)查的學(xué)生有人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中類別C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為°；(2)求出類別B的學(xué)生數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)類別A的4名學(xué)生中有2名男生和2名女生，現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加學(xué)?！袄诸悺敝R競賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率．22．（9分）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風(fēng)著陸場，神舟十七號任務(wù)取得圓滿成功．某飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，購進(jìn)了“神舟”和“天宮”模型．已知每個(gè)“神舟”模型的進(jìn)價(jià)比“天宮”模型多5元，同樣花費(fèi)200元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個(gè)．(1)“神舟”和“天宮”模型的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該飛箭航模店計(jì)劃購進(jìn)兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，每個(gè)“天宮”模型的售價(jià)為28元．設(shè)購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，銷售這批模型的利潤為w元．若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的1423．（9分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，AE=BF．(1)求證：矩形ABCD是正方形；(2)連接BE、EF，若DF2=AF?AD24．（10分）在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點(diǎn)的切線．(1)如圖①，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)M，連結(jié)CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大??；(2)如圖②，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EC；(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA=3425．（10分）若一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P(x,y)則稱二次函數(shù)y=mx(1)判斷y=2x-1與y=3(2)已知：整數(shù)m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2與反比例函數(shù)y=2024x存在“共享函數(shù)”y=(m+t)x(3)若一次函數(shù)y=x+m和反比例函數(shù)y=m2+13x在自變量參考答案第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）12345678910AACBDBDDCC第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．412．613．-214．60cm/60厘米15．3016．2701三、解答題(本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．【詳解】解：-=4+1-4×3=2．（6分）18．解：x＝x-2＝x-2＝x-2＝2-x2+x，∵x+1≠0，2+x2-x∴x≠-1，x≠±2，∴當(dāng)x=0時(shí)，原式=2-0或當(dāng)x=1時(shí)，原式=2-12+119．【詳解】解：∵PA∥∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，（2分）在Rt△PMQ∵∠PQN=90°，∴tan∠PMQ=∴QM=PQtan在Rt△PQN中，∵tan∴QN=PQ∴MN=QN-QM=320-138.4≈182（米）．答：這條河的寬度MN=182米．（6分）20．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，∴AE=BE∵BE=AC∴AE=AC，∵H為EC中點(diǎn)，∴AH⊥BC；（4分）（2）∵AE=BE，∠B=36°∴∠EAB=∠B=36°∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°∵AE=AC∴∠C=∠AEC=72°∴∠BAC=180°-∠C-∠B=72°．（8分）21．【詳解】（1）解：初三（1）班參加這次調(diào)查的學(xué)生有4÷10%＝40（人），扇形統(tǒng)計(jì)圖中類別C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×1640＝144°故答案為：40、144；（2分）（2）B類學(xué)生人數(shù)為40﹣（4+16+2）＝18（人），補(bǔ)全條形圖如下：；（4分）（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能．所以所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率為812＝2322．【詳解】（1）解：設(shè)“天宮”模型進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，則“神舟”模型進(jìn)價(jià)為每個(gè)x+5元，依題意得200x=解得x=20．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宮”模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)20元，“神舟”模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)25元．（4分）（2）∵購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，則購進(jìn)“天宮”模型100-a個(gè)，∴w=35-25a+∵購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴當(dāng)a=20時(shí)，wmax=2×20+800=840即購進(jìn)“神舟”模型20個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元．（8分）23．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，（1分）∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，（2分）在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°BF=AE∴△ABF≌△DAEAAS∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；（4分）（2）證明：如圖，由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，（5分）∵正方形ABCD，∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥∴DF=CE，（6分）∵DF∴DFBC=∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF=∠CEB，（8分）∵AB∥∴∠ABE=∠CEB，∴∠ABE=∠DEF．（9分）24．【詳解】（1）由題意知，BC=BM，∵∠ABC=66°，∴∠BMC=∠BCM=57°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM=∠ACB-∠BCM=90°-57°=33°；（3分）（2）連接CD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AC為過C點(diǎn)的切線，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CE；（6分）（3）連接CD，由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°-∠B，∴tan∠DCB=∴設(shè)BD=3x，CD=4x，則BC=BM=5x，∵tan∠A=∴AD=16x3，∴AB=BD+AD=25x∴AM=AB-BC=10∴S△ACMS△ADE∴S△ADE:25．（10分）若一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P(x,y)則稱二次函數(shù)y=mx(1)判斷y=2x-1與y=3(2)已知：整數(shù)m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2與反比例函數(shù)y=2024x存在“共享函數(shù)”y=(m+t)x(3)若一次函數(shù)y=x+m和反比例函數(shù)y=m2+13x在自變量【答案】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(32，2)或(2)m=2(3)y=x2+mx-(【分析】（1）聯(lián)立y=2x-1與y=3x并整理得：（2）由題意得1+n=m+t2m+2=10m-t，解得m=n+39t=8n+69，而t<n<8m，故6<n<24，則9<n+3<27，故（3）①當(dāng)m+6≤-12m時(shí)，即m≤-4，x=m+6，函數(shù)取得最小值，即(m+6)2+m(m+6)-m2-13=3，即可求解；②當(dāng)③當(dāng)m≥0時(shí)，函數(shù)在x=m處，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）解：（1）y=2x-1與y=3聯(lián)立y=2x-1與y=32x解得：x=32或故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(32，2)或(-1,-3)（2）解：一次函