廣東省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊至選擇性必修第三冊第七章7.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得,所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)的模為，實部為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，由，得，所以.故選：D.3.已知函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，所以．令，則，當(dāng)時，，所以圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)為．故選：D.4.已知雙曲線：的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，可得，故雙曲線的漸近線方程為．故選：A.5.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x，，且f'x的圖象如圖所示，則的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f'x≥0，則.因為，所以的值域為.故選：D.6.已知兩個等差數(shù)列1，5，9，…，和1，6，11，…，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，且的前n項和為，則（）A.910 B.900 C.890 D.880【答案】A【解析】因為兩個等差數(shù)列的首項均為1，公差分別為4，5，所以an是首項為1，公差為的等差數(shù)列，則．故選：A.7.內(nèi)蒙古某地引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時長t（單位：h）的關(guān)系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（）A.3h B.4h C.5h D.6h【答案】B【解析】由題意知，時，，可得．設(shè)，則，解得，因此，污染物消除至最初的51.2%還需要4h．故選：B.8.某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（）A.960種 B.836種C.816種 D.720種【答案】A【解析】先捆綁再和排列，然后插入共有種排法．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共l8分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線C：上的兩點M，N與焦點F的距離之和為10，M，N到x軸的距離的平方和為32，O為坐標(biāo)原點，則p的值可能為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】BD【解析】設(shè),由題意得,得,,解得或.故選：BD.10.已知數(shù)列的首項，前n項和為，且，則（）A. B.是遞增數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】因為，則，且，可知數(shù)列是以首項為4，公比為4的等比數(shù)列，則，即.對于選項A：，故A正確；對于選項B：因為，所以是遞增數(shù)列，故B正確；對于選項C：因為數(shù)列是以首項為4，公比為4的等比數(shù)列，所以不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：ABD.11.“新高考”后，普通高考考試科目實行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)這4門科目中選擇2門作為再選科目．甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門科目中任意挑選2門科目學(xué)習(xí)．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學(xué)”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨立 B.C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以，所以B與C不相互獨立，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項式的展開式中的常數(shù)項為______．【答案】280【解析】二項式的展開式中的常數(shù)項為.13.已知向量，若，則______；若，則______．【答案】;【解析】若，則，所以．若，則，得，所以（舍去）或，故．14.已知樣本數(shù)據(jù)為1，a，b，7，9，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則這組樣本數(shù)據(jù)的方差的最小值為______．【答案】【解析】因為平均數(shù)為，所以．因為方差，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以方差的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且．（1）求；（2）若，面積為，證明：是等腰三角形．解：（1）由正弦定理得，則，即．因為，所以，得．（2）由（1）得．由，得．由余弦定理，得．由，得或即或，所以是等腰三角形．16.如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點，為的中點.（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面射影，連接，則平面.因為平面ABC，所以,又為BC的中點，，所以,因為平面平面，∴平面,又為的中點，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個法向量，因為，且，所以.設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.17.隨著科技不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．該人機(jī)交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結(jié)果如下表：回答正確回答錯誤問題中存在語法錯誤100300問題中沒有語法錯誤500100結(jié)果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據(jù)測試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問題．（1）測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；（2）現(xiàn)輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數(shù)為，求的分布列．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件，“回答正確”為事件，由測試結(jié)果知，，，，所以．記“測試的個問題都回答正確”為事件，“測試的個問題中恰有個存在語法錯誤”為事件，則，，所以．（2）由（1）可得，則的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為012318.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求a，b；（2）若，，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以，又，所以，由題意，又即，兩式聯(lián)立解得.（2）由，得，即，當(dāng)時，R，當(dāng)時，，當(dāng)時，，記，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，綜上，a的取值范圍為.19.已知橢圓的焦距為4，圓與橢圓C有且僅有兩個公共點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知動直線l過橢圓C的左焦點F，且與橢圓C交于P，Q兩點．試問x軸上是否存在定點R，使得為定值？若存在，求