河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章第1節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A，B兩所大學(xué)分別有7，8個自己感興趣的專業(yè)，若這名同學(xué)只能從這些專業(yè)中選擇1個，則他不同的選擇種數(shù)為（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的選擇種數(shù)為.故選：B.2.據(jù)報道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號動車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個商務(wù)座、28個一等座、642個二等座，最高運(yùn)行時速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號動車開出站一段時間內(nèi)，速度與行駛時間的關(guān)系為，則當(dāng)時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故?dāng)時，，即時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為，故選：B3.某校羽毛球隊(duì)有5名男隊(duì)員，6名女隊(duì)員，現(xiàn)在需要派1名男隊(duì)員，1名女隊(duì)員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有（）A.11種 B.22種 C.30種 D.60種【答案】C【解析】依題意第一步從5名男隊(duì)員中選出1名，共有5種選法；第二步，從6名女隊(duì)員中選出1名，共有6種選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的組合方式有（種）．故選：C．4.已知函數(shù)，則（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，令，得，∴，所以，故故選：D.5.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，∴，即，∴.故選：D.6.已知函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定義域?yàn)?，又，由題意可知在上有解，即在上有解，可得，所以．故選：C．7.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A8.把一個球形的原材料切割成體積為2的正四棱錐，則球形原材料的半徑至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知當(dāng)體積為2的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球體的表面時，球形原材料的半徑最小．設(shè)正四棱錐的底面邊長為，球心為，底面中心為，高為，如下圖所示：易知底面的外接圓的半徑為，由球的性質(zhì)可知，即，整理得，又正四棱錐的體積為2，所以，所以，所以．設(shè)，則，由得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A選項(xiàng)，，故A正確；對于B選項(xiàng)，，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，，故D正確．故選：AD．10.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知與軸有三個交點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A，C正確；B，D錯誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的極小值點(diǎn)為1B.的最小值為3C.不存在過原點(diǎn)且與曲線相切的直線D.若，且，則的最小值為128【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)的定義域是，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以的極小值點(diǎn)為1，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，又切線過原點(diǎn)，則有，即，無解，即過原點(diǎn)且與曲線相切的直線不存在，故C正確；對于D，由，得，即，又且，所以，又，所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為128，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知函數(shù)，則__________.【答案】6【解析】由題設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念知.故答案為：613.某市教育局為切實(shí)落實(shí)政策《關(guān)于深入推進(jìn)義務(wù)教育學(xué)校校長教師交流輪崗的意見》，安排3名校長和4名教師到甲、乙、丙三所學(xué)校進(jìn)行輪崗交流，要求每所學(xué)校安排一名校長，每個校長和老師只去一個學(xué)校，則不同的安排方案種數(shù)是______【答案】【解析】先安排校長：每所學(xué)校安排名校長，則不同的安排方案種數(shù)是；再安排教師：每個教師均有3個學(xué)校可以選擇，則不同的安排方案種數(shù)是，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理得不同的安排方案種數(shù)是．故答案為：14.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，當(dāng)關(guān)于直線對稱時，稱是一組對稱點(diǎn)．若恰有3組對稱點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設(shè)，則，所以，，所以，因?yàn)榕c的圖象若恰有3組對稱點(diǎn)，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，所以.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，解得．?）由上問得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．16.已知函數(shù)在處有極小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由題意得函數(shù)，則，由題意得，解得當(dāng)時，，令，解得．則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則是極小值點(diǎn)，符合題意，故．（2）由（1）知，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，而，故在上的值域?yàn)椋?7.設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．求證：（1）當(dāng)時，；（2）．解：（1）令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時，成立.（2）由（1）可得：當(dāng)時，，要證，即證，即證，令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，所以，即恒成立，所以．18已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值點(diǎn)個數(shù)（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，所以在上單調(diào)遞減，故的極值點(diǎn)個數(shù)為．（2）當(dāng)時，，不等式可化為在上恒成立，令，則，由（1）可知，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，故實(shí)數(shù)的最小值為．19.若對且，函數(shù)，滿足：，則稱函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級控制函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否是函數(shù)在區(qū)間上的1級控制函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級控制函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級控制函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點(diǎn)，求證．解：（1）函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級控制數(shù)．理由如下：因?yàn)?，且，所以，所以，即成立，所以函?shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級控制函數(shù)．（2）由函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級控制函數(shù)，得，又，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立．令，所