河北省承德市NT20名校聯(lián)合體2025屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省承德市NT20名校聯(lián)合體2025屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∵，，∴.故選：B.2.復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意知，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.33 B.44 C.55 D.66【答案】C【解析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知.故選：C.4.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，∴，故，∴展開式的第項(xiàng)為，由得，∴，即含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.已知向量，，滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，即，∴，故，∴向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知圓臺(tái)的高為.設(shè)球心到上底面圓心的距離為h，則，解得.則，所以圓臺(tái)的外接球的表面積為.故選：D.7.已知函數(shù)的最小正周期為，則以下說法正確的是（）A.的值域?yàn)锽.在上單調(diào)遞增C.在上有兩個(gè)極大值點(diǎn)D.是的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】C【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，則，所以，作出的圖象如圖所示.由圖可知的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；在上有兩個(gè)極大值點(diǎn)，分別是，，故C正確；函數(shù)沒有對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A.有極大值無極小值 B.有極小值無極大值C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值又無極小值【答案】D【解析】由知，設(shè)函數(shù)，則.則，c為常數(shù).所以.又，則，..設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為，即.所以在上單調(diào)遞增，既無極大值又無極小值.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在一個(gè)不透明的袋子里裝有編號(hào)為1，2，3的3個(gè)白球和編號(hào)為4，5的2個(gè)紅球.這五個(gè)小球除顏色外完全相同.現(xiàn)從中不放回地抽取2次，每次抽取一個(gè)小球，則下列說法正確的是（）A.第二次抽到紅球的概率為B.在抽取過程中，至少有一次抽到紅球的概率為C.若已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為D.設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則【答案】AD【解析】第二次抽到紅球的概率為，故A正確；至少有一次抽到紅球的概率為，故B錯(cuò)誤；已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為，故C錯(cuò)誤；X可能取值為0，1，2，，，故，故D正確.故選：AD.10.已知圓，點(diǎn)是圓C上的任意一點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.的取值范圍是 B.的最大值為3C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】由題可知圓的圓心為，半徑為1.設(shè)，則，又點(diǎn)是圓C上的任意一點(diǎn)，所以，解得，所以的最大值為，最小值為，故A正確；設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，取最大值，故B錯(cuò)誤；表示點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，故最大值為，最小值為，故C錯(cuò)誤；，表示點(diǎn)P到直線距離的倍.因?yàn)閳A心到直線的距離為，故點(diǎn)P到直線距離的最小值為，故的最小值為，故D正確.故選：AD.11.已知平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為，，則以下說法正確的是（）A.B.異面直線和所成角的余弦值為C.四棱錐的體積為D.與三棱錐各棱均相切的球的體積為【答案】BCD【解析】由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，，所以，所以，異面直線和所成角的余弦值為，故B正確；四棱錐的體積為平行六面體體積的，平行六面體的高即為正四面體的高，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，由正弦定理可得，，菱形的面積為，所以平行六面體的體積為，所以四棱錐的體積為，故C正確；三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為6，設(shè)正四面體的棱切球球心為，且也為其外接球球心，則，則，即，解得，取線段的中點(diǎn)，連接，則，且，所以，正四面體的棱切球的半徑為，故球的體積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量Ⅹ服從正態(tài)分布，且，則______.【答案】【解析】設(shè)，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，，.所以，解得.即.故答案為：.13.中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，且，那么邊______.【答案】【解析】由正弦定理可知，又，那么，解得，由余弦定理，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以，那么，，，所以為等腰直角三角形，不滿足題意.故答案為:.14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線軸且與雙曲線C在第一象限交于點(diǎn)P.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，若，則雙曲線C的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)內(nèi)切圓E與分別相切于點(diǎn)M，N，Q，則，且，，，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，所以因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，，所以，即，所以，，所以，那么，即.兩邊同時(shí)除以，則，解得或，又，則e的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中角所對(duì)的邊分別為，，.（1）若，求的面積；（2）求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴，，由正弦定理得，，即，故，∴.（2）∵，∴，故，∴，∵，∴，∵，∴或，∴或（舍），∴，∵，∴，故，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.16已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有最大值，且最大值為，求a的值.解：（1），，若，則，那么切線的斜率，又，所以切線方程為，即；（2），.①若，恒成立，所以在單調(diào)遞增.②若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，即，令則，令，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，所以要使，那么.17.中小學(xué)教師資格考試每半年考一次，2025年上半年的考試于3月8日進(jìn)行.考試分為筆試和面試兩項(xiàng)，只有筆試成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加面試，筆試成績(jī)兩年有效，兩項(xiàng)成績(jī)均合格方可獲得證書.李華同學(xué)報(bào)名參加今年上半年的考試，若他不放棄每次考試，直到能拿到教師資格證為止.根據(jù)以往模擬情況，李華筆試成績(jī)每次合格的概率均為，面試成績(jī)每次合格的概率均為，假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響.（1）求他今年能取得教師資格證書的概率；（2）某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)今年共有100人參加培訓(xùn)，若以李華今年取得教師資格證的概率作為每個(gè)學(xué)員今年成功取得證書的概率.設(shè)今年該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)能成功取得教師資格證的人數(shù)為k的概率為，求取最大值時(shí)k的值.解：（1）設(shè)“筆試第次考試合格”為事件，“面試第次考試合格”為事件，，則今年能拿到證書的事件為，，，所以他今年能取得教師資格證書的概率為.（2）依題意，今年取得教師資格證的人數(shù)，則，，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以取最大值時(shí)18.在四棱錐中，平面，底面是菱形，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）若平面與平面的交線為l，證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）若平面與線段交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng).（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，那么平面，又平面，平面平面，所以；（2）解：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，設(shè)中點(diǎn)為G，易知，，兩兩互相垂直，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意，所以，，，，，，顯然平面的法向量可以是，而，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，，所以可取，故所以平面與平面所成角的余弦值為；（3）解：設(shè)，則C，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)共面.，由（2）知平面的法向量為，則，即，解得，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一個(gè)點(diǎn)滿足關(guān)系式，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.（1）若曲線的方程為.（i）求經(jīng)過伸縮變換后所得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）設(shè)曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在一條定直線上；（2）已知，拋物線經(jīng)過伸縮變換，得到拋物線，設(shè)，，.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（