831棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積教學(xué)設(shè)計(jì)-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期春季課題8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積教學(xué)目標(biāo)1.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，了解公式推導(dǎo)過程，理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積之間的關(guān)系。2.會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、類比思想、一般化與特殊化思想等，提高邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。

教學(xué)難點(diǎn)：1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積公式的理解。教學(xué)過程一、情景引入生活中，我們經(jīng)常會(huì)通過送禮物來表達(dá)自己的喜愛之情，感恩之情.某天，小明精心為自己的媽媽準(zhǔn)備了如下長(zhǎng)方體禮物（棱長(zhǎng)分別為8cm，15cm，20cm），你能估計(jì)小明最少需要用掉多少面積的包裝紙嗎？二、溫故知新初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直棱柱的側(cè)面展開圖并求解了相應(yīng)直棱柱的表面積(表面積即幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小).所用方法是將長(zhǎng)方體表面積轉(zhuǎn)化為展開圖面積，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.從而情景問題中的答案為.思考1：類比長(zhǎng)方體表面積的求解，你能想出求解棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的方法嗎？將求長(zhǎng)方體表面積轉(zhuǎn)化為求其展開圖面積.三、新知學(xué)習(xí)1、棱柱表面積一般地,有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.根據(jù)棱柱定義，得到，兩個(gè)底面是多邊形，側(cè)面呢？分別看一下直棱柱和斜棱柱.（1）直棱柱（geogebra動(dòng)畫演示直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱等底面和側(cè)面）直棱柱的側(cè)面為一個(gè)一個(gè)的矩形，可以合成一個(gè)大矩形.（2）斜棱柱（以斜三棱柱為例，geogebra動(dòng)畫演示）斜棱柱的側(cè)面為一個(gè)一個(gè)的平行四邊形，只有在特殊的情況下才能合成一個(gè)大平行四邊形.2、棱錐表面積一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.根據(jù)棱錐定義，得到，底面是多邊形，側(cè)面呢？分別看一下正棱錐和斜棱錐.（1）正棱錐（geogebra動(dòng)畫演示正五棱錐、正六棱錐、正七棱錐等底面和側(cè)面）（2）斜棱錐（以一般四棱錐為例，geogebra動(dòng)畫演示）3、棱臺(tái)表面積用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)．根據(jù)棱臺(tái)定義，得到，上底面和下底面是多邊形，側(cè)面呢？分別看一下正棱臺(tái)和斜棱臺(tái).（1）正棱臺(tái)（geogebra動(dòng)畫演示正三棱臺(tái)、正四棱臺(tái)、正五棱臺(tái)等底面和側(cè)面）（2）斜棱臺(tái)（geogebra動(dòng)畫演示一般四棱臺(tái)底面和側(cè)面）4、多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）表面積具體計(jì)算方法：求多面體表面積轉(zhuǎn)化為求展開圖面積，進(jìn)一步就是求平面多邊形面積.常見平面多邊形面積計(jì)算：(1)三角形（2）平行四邊形多邊形可分割成三角形進(jìn)行計(jì)算.特別地，邊長(zhǎng)為的正三角形面積為，邊長(zhǎng)為的正六角形面積為.注：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的高和斜高棱柱（棱臺(tái)）的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即.棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離，即.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的斜高是側(cè)面多邊形中頂點(diǎn)到底邊的高，即.四、新知應(yīng)用——表面積例1如圖所示，四面體各棱長(zhǎng)均為，求它的表面積.解：因?yàn)樗拿骟w各棱長(zhǎng)均為，所以四面體四個(gè)面都是正三角形，因此，四面體的表面積為五、新知學(xué)習(xí)幾何體的體積即幾何體占有空間部分的大小.你已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些體積公式了？小學(xué)時(shí)，我們分別學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體，圓柱、圓錐的體積公式，具體如下：類比已學(xué)知識(shí)，你能猜想一下棱柱、棱錐的一般體積公式嗎？猜想，.下面來驗(yàn)證下猜想.平面中，等底等高的三角形面積相等,即.它能否推廣到空間，即空間中，等底面積、等高的柱體體積是否相等？六、新知探究如圖，兩沓一模一樣的A4紙（各500張），其中一沓改變形狀，此時(shí)兩沓紙?bào)w積相同，引出祖暅原理.祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.即冪勢(shì)既同，則積不容異.冪指水平截面面積，勢(shì)指幾何體的高，積指幾何體體積.利用祖暅原理重新理解剛才做的實(shí)驗(yàn).這兩個(gè)幾何體高是一樣的，被平行于底面的任意平面所截，截得的兩個(gè)截面的面積總相等，所以根據(jù)祖暅原理，兩個(gè)幾何體體積相等，即使它們截面形狀是不一樣的.因此在高和截面總相等的情況下，可以用比較常見的幾何體代替不常見的幾何體，計(jì)算體積.嚴(yán)格的祖暅原理的證明，需要用到微積分，可以參看本節(jié)課學(xué)習(xí)任務(wù)單中推薦的學(xué)習(xí)資源欄目.另一個(gè)實(shí)驗(yàn).另一沓也拿一張紙，截成兩張一模一樣的紙片，分別放在兩沓紙上，此時(shí)符合祖暅原理的條件，體積相等。把一張仍放最上面，一張放在另一沓紙中間，此時(shí)兩沓紙?bào)w積是一樣的，但不滿足祖暅原理應(yīng)用條件.因此，祖暅原理是證明幾何體體積相等的充分不必要條件.祖暅原理是由祖暅提出的.祖暅（5世紀(jì)6世紀(jì)），祖沖之之子，他在劉徽的基礎(chǔ)上和父親的幫助下，巧妙地將難求的幾何體體積問題，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造截面總相等的幾何體問題.將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.將求復(fù)雜幾何體體積問題，轉(zhuǎn)化為求簡(jiǎn)單幾何體體積問題.17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里也給出了上述結(jié)論，我國(guó)比其他國(guó)家早一千多年.我們應(yīng)該為我國(guó)的數(shù)學(xué)家們點(diǎn)贊.1、棱柱體積思考2：等底等高的柱體體積相等嗎？hh根據(jù)祖暅原理，等底等高的柱體體積相等.因此.2、棱錐體積推導(dǎo)1：等底等高的錐體體積相等.因此.推導(dǎo)2：從柱體體積得到錐體體積.思考3：你能否找到等底等高的柱體與錐體之間的聯(lián)系？從而得到體積的聯(lián)系.以如圖的三棱柱為例.hhSS解：如圖將棱柱分割成3個(gè)小棱錐，其中，，因此.一般地，.3、棱臺(tái)體積解：設(shè)，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高，為割去的小棱錐的高.，，，，.綜上，.七、新知應(yīng)用——體積例2如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體,下面部分是一個(gè)四棱錐,兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長(zhǎng)為1m的正方形，那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米?（計(jì)算漏斗的容積時(shí)不考慮漏斗的厚度）解：由題意知，，∴這個(gè)漏斗的容積為八、新知升華思考4：觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，，