長沙市怡海中學(xué)2025屆九年級下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

湖南省長沙市怡海中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列數(shù)是有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．下列關(guān)于體育運動的圖標(biāo)，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．一個不透明的盒子中裝有個紅球和個白球，它們除顏色不同外其它都相同．若從中隨機摸出一個球，則下列敘述正確的是（

）A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等 D．摸到紅球比摸到白球的可能性大4．下面從左到右的變形中，是因式分解且分解正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，直線，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．下列敘述錯誤的是（

）A．菱形的四條邊都相等 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．矩形的對角線相等 D．一個角是直角的四邊形是矩形7．如圖，為的直徑，C，D為上兩點，若，則等于（

）A．35° B．55° C．65° D．70°8．小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離與時間之間的對應(yīng)關(guān)系．根據(jù)圖象，下列說法錯誤的是（

）A．小明吃早餐用了 B．小明讀報用了C．食堂到圖書館的距離為 D．小明從圖書館回家的速度為9．公司研發(fā)的兩個模型和共同處理一批數(shù)據(jù)．已知單獨處理數(shù)據(jù)的時間比少2小時．若兩模型合作處理，僅需小時即可完成．設(shè)單獨處理需要小時，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有菱形，點A的坐標(biāo)為，對角線、相交于點，，雙曲線經(jīng)過的中點，交于點，下列四個結(jié)論：①；②；③點的坐標(biāo)是；④連接、，則，則正確的結(jié)論有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題11．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．12．圓錐的母線長為，高為，則該圓錐側(cè)面面積為．13．在函數(shù)的圖象上有三點，，，則函數(shù)值，，的大小關(guān)系為．14．已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值是．15．如圖，由4個全等的直角三角形拼成一個大正方形，內(nèi)部形成一個小正方形．如果正方形的面積是正方形面積的一半，那么．的正切值是．16．如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值為．三、解答題17．計算：．18．先化簡再求值：，其中．19．如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．

(1)請畫出繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到；并寫出點的坐標(biāo)；(2)請畫出以原點為位似中心，將擴大（且對應(yīng)點位于位似中心兩側(cè)），使變換后得到的與對應(yīng)邊的比為，并寫出點的坐標(biāo)．20．北京冬奧會、冬殘奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的跨越式發(fā)展，激發(fā)了青少年對冰雪項目的濃厚興趣．某校通過抽樣調(diào)查的方法，對四個項目最感興趣的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，含花樣滑冰、短道速滑、自由式滑雪、單板滑雪四項（每人限選1項），制作了如下統(tǒng)計圖（部分信息未給出）．請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：(1)在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了______名學(xué)生；若該校共有名學(xué)生，估計愛好花樣滑冰運動的學(xué)生有______人；短道速滑所在扇形圓心角度數(shù)為______．(2)補全條形統(tǒng)計圖；(3)把短道速滑記為、花樣滑冰記為、自由式滑雪記為、單板滑雪記為，學(xué)校將從這四個運動項目中抽出兩項來做重點推介，請用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到項目中恰有一項為自由式滑雪的概率．21．如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平行四邊形的周長為24，，，求的長．22．2025年春節(jié)期間，中國海警在黃巖島海域的巡航活動是例行任務(wù)的一部分，旨在維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)益，確保海上安全與秩序．中國對黃巖島及其周邊海域擁有無可爭辯的主權(quán)，海警的行動嚴(yán)格遵守國際法和中國國內(nèi)法律．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海警船以每小時50海里的速度向正東方航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)處，此時測得燈塔在北偏東方向上．(1)求的度數(shù)；(2)已知在燈塔的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海警船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？23．如圖所示，的頂點A，在上，頂點在外，邊與相交于點，，連接，，已知．(1)求證：直線是的切線．(2)若線段與線段相交于點，連接．①求證：；②若，求弓形陰影部分的面積．24．某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點到定點的距離，始終等于它到定直線的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點為圖象的焦點，定直線為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線與軸的交點為．其中原點為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，其中，．(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程：________，________；(2)如圖2，已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于點A，點，當(dāng)時，求直線的解析式；(3)如圖3，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為．直線交軸于點，拋物線上動點到軸的距離為，到直線的距離為，請直接寫出的最小值．25．如圖所示，在半徑為2的扇形中，，點是劣弧上的一個動點，，，垂足分別為、．(1)在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；(2)當(dāng)點沿著劣弧從點A開始，逆時針運動到點時，求的外心所經(jīng)過的路徑的長度；(3)設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．《湖南省長沙市怡海中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案1．AA.是有理數(shù)；

B.不是有理數(shù)；

C.不是有理數(shù)；

D.不是有理數(shù)．故選：A．2．C解：選項A、B、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；選項C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．3．A解：選項，裝有個紅球和個白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合題意；選項，裝有個紅球和個白球，可能摸到白球，也可能摸到紅球，是隨機事件，不符合題意；選項，裝有個紅球和個白球，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合題意；選項，裝有個紅球和個白球，摸到紅球的概率小于摸到白球的概率，不符合題意；故選：．4．B解：A、，故本選項不符合題意；B、，從左到右的變形屬于因式分解；C、，故本選項不符合題意；D、，是整式的乘法，故本選項不符合題意．故選：B．5．B解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：B．6．D解：A.菱形的四條邊都相等，故該選項正確，不符合題意；

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故該選項正確，不符合題意；C.矩形的對角線相等，故該選項正確，不符合題意；D.一個角是直角的平行四邊形是矩形，故該選項不正確，符合題意；故選D7．B∵為的直徑，∴，∵，∴，∴.故選B.8．D解：A、小明吃早餐用了，A正確；B、小明讀報用了，B正確；C、食堂到圖書館的距離為，C正確；D、小明從圖書館回家的速度為，D錯誤；故選D．9．C解：設(shè)單獨處理需要小時，則單獨處理數(shù)據(jù)的時間小時，依題意得，故選：C．10．C解：如圖，過作軸于點，過作軸于點，，．設(shè)，則．∵四邊形為菱形，∴，，即，，，，，故①正確；，故②錯誤；∵，．在中，，，由勾股定理可得，．∵軸，，∴，∴，∴．為中點，即，，，，．雙曲線過點，，雙曲線解析式為．由上可知，，故可設(shè)，將其代入雙曲線，得，，，故③正確；，，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有3個．故選C．11．解：∵代數(shù)式有意義，∴，∴，∴．故答案為：．12．∵圓錐母線長為10，高為6，∴圓錐底面半徑為，∴圓錐側(cè)面積為．故答案為：．13．解：∵函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，∴點與點對稱，∴，∵函數(shù)圖象開口向下，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴．故答案為：．14．解：∵一元二次方程的兩根分別為，，∴，，∴，故答案為：．15．/解：設(shè)，，則，∴，，∵，即整理得：，變形得：，令，則，∴原始，解得，，∴，∴（舍去），∴．16．解：如圖，過點D作于H，過點C作于M．∵，∴，∵，設(shè)，，∵，∴，∴或（舍棄），∴，∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等），∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．17．2解：．18．，解：，∵，∴，解得：，，∵，∴，∴原式．19．(1)畫圖見解析，(2)畫圖見解析，（1）解：繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，∵，∴；

（2）解：以原點為位似中心，將擴大（且對應(yīng)點位于位似中心兩側(cè)），使變換后得到的與對應(yīng)邊的比為，如圖，∵，∴．

20．(1)；；；(2)見解析(3)（1）解：由圖知花樣滑冰人數(shù)為人，所占百分比為，所以有（人），該校共有名學(xué)生，則愛好花樣滑冰運動的學(xué)生有（人），短道速滑人數(shù)為人，所占比為，則短道速滑所在扇形圓心角度數(shù)為．故答案為：，，．（2）解：由扇形統(tǒng)計圖中單板滑雪所占百分比為，所以單板滑雪人數(shù)為（人），自由式滑雪的人數(shù)為（人），可畫圖如下：（3）解：由題可列表如下：由表可知，總的可能性有種，其中恰有一項為自由式滑雪的有種，其中恰有一項為自由式滑雪的概率為．21．(1)見解析(2)5（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵O為的中點，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，∴，∵平行四邊形的周長為24，∴菱形的周長為：，∴，∵，∴，又，∴是等邊三角形，∴．22．(1)的度數(shù)為(2)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．（1）解：如圖，過點作于點，由題意得，，，，故的度數(shù)為；（2）解：由（1）可知，（海里）在中，（海里），，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．23．(1)見解析(2)①見解析；②（1）證明：∵，∴，即，∵，∴，∴直線是的切線．（2）解：①證明：由（1）知，，∵，∴，∵，∴；②由①知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．24．(1)焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為(2)或(3)（1）解：∵的焦點為，準(zhǔn)線方程為，而中，，∴，∴的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程；故答案為：，；（2）解：由（1）知，的焦點坐標(biāo)為，設(shè)過點的直線解析式為，，聯(lián)立，∴，∴，∴，設(shè)直線與x軸的交點為M，令，解得，∴，∴∵，∴，∴，∴，解得，∴或（3）解：過點P作交于點E，作交于點G，設(shè)直線m交x軸于點H，由（1）結(jié)論可知，，如圖．若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)F，P，