江蘇省南通市高中數(shù)學(xué) 第二講 變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法 一 復(fù)合變換與二階短陣的乘法 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)設(shè)計 新人教A版選修4-2

江蘇省南通市高中數(shù)學(xué)第二講變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法一復(fù)合變換與二階短陣的乘法2.1.2二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)設(shè)計新人教A版選修4-2授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：復(fù)合變換與二階矩陣的乘法

2.教學(xué)年級和班級：江蘇省南通市高中一年級全體學(xué)生

3.授課時間：2023年10月27日星期五第3節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時

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同學(xué)們，大家好！今天我們來開啟數(shù)學(xué)選修4-2的第二講，我們要一起探索的是“變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法”。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起走進數(shù)學(xué)的世界，感受矩陣的魔力吧！????核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。通過復(fù)合變換與二階矩陣乘法的探究，學(xué)生能夠理解矩陣運算在幾何變換中的應(yīng)用，提升抽象思維能力；通過邏輯推理，學(xué)會運用矩陣運算解決實際問題；通過數(shù)學(xué)建模，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高解決問題的能力；同時，通過直觀想象，增強對抽象數(shù)學(xué)概念的理解。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點，①

①復(fù)合變換的概念及性質(zhì)，包括矩陣與向量的乘法在復(fù)合變換中的作用。

②二階矩陣的乘法運算規(guī)則，理解矩陣乘法的幾何意義。

③通過實例分析，展示如何利用二階矩陣乘法實現(xiàn)平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮和平移。

2.教學(xué)難點，①

①復(fù)合變換的理解和應(yīng)用，尤其是當(dāng)涉及到非標(biāo)準(zhǔn)矩陣和特殊向量時，學(xué)生可能難以把握變換的具體效果。

②二階矩陣乘法中，非零矩陣乘以零矩陣的結(jié)果為零矩陣，這一性質(zhì)的理解可能對學(xué)生造成困惑。

③矩陣運算的運算律在解決具體問題時如何應(yīng)用，需要學(xué)生具備較強的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《數(shù)學(xué)選修4-2》教材，以便跟隨課堂內(nèi)容進行學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與二階矩陣乘法和復(fù)合變換相關(guān)的圖片、圖表，以及相關(guān)教學(xué)視頻，幫助學(xué)生直觀理解抽象概念。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進行合作學(xué)習(xí)；同時，準(zhǔn)備黑板或電子白板，用于展示關(guān)鍵步驟和計算過程。教學(xué)過程【導(dǎo)入】

同學(xué)們，今天我們要一起探索的是數(shù)學(xué)中的復(fù)合變換與二階矩陣的乘法。還記得我們之前學(xué)習(xí)的矩陣和向量嗎？今天，我們將把它們結(jié)合起來，看看它們在幾何變換中能發(fā)揮怎樣的魔力。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們開始吧！

【新課導(dǎo)入】

1.復(fù)習(xí)矩陣和向量的基本概念，引導(dǎo)學(xué)生回顧矩陣與向量乘法的定義和性質(zhì)。

2.引入復(fù)合變換的概念，通過實例展示變換的復(fù)合操作，如先平移再旋轉(zhuǎn)。

【探究活動一：復(fù)合變換的性質(zhì)】

1.提問：什么是復(fù)合變換？它有什么性質(zhì)？

2.學(xué)生分組討論，每組提出一個復(fù)合變換的實例，并分析其性質(zhì)。

3.各組匯報討論結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)復(fù)合變換的性質(zhì)，如可逆性、結(jié)合律等。

【探究活動二：二階矩陣的乘法】

1.提問：二階矩陣的乘法有什么特點？它與向量的乘法有何聯(lián)系？

2.學(xué)生獨立完成以下練習(xí)題：

-利用二階矩陣乘法，將向量\(\vec{v}=(2,3)\)進行伸縮和平移。

-求矩陣\(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\)乘以向量\(\vec{u}=(1,2)\)的結(jié)果。

3.學(xué)生展示解題過程，教師點評并糾正錯誤。

【探究活動三：矩陣乘法在復(fù)合變換中的應(yīng)用】

1.提問：如何利用矩陣乘法實現(xiàn)復(fù)合變換？

2.學(xué)生分組討論，每組設(shè)計一個復(fù)合變換，并使用矩陣乘法進行實現(xiàn)。

3.各組展示設(shè)計，教師點評并總結(jié)：

-伸縮變換可以通過矩陣乘法實現(xiàn)，如\(A=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}\)。

-平移變換可以通過矩陣乘法實現(xiàn)，如\(B=\begin{bmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\)。

-旋轉(zhuǎn)變換可以通過矩陣乘法實現(xiàn)，如\(C=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)。

【課堂小結(jié)】

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強調(diào)復(fù)合變換和二階矩陣乘法在幾何變換中的應(yīng)用。

2.總結(jié)矩陣乘法的運算規(guī)則和性質(zhì)，以及它們在解決實際問題中的作用。

【作業(yè)布置】

1.完成教材中的相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識。

2.設(shè)計一個復(fù)合變換，并使用矩陣乘法進行實現(xiàn)。

【課堂反思】

同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了復(fù)合變換與二階矩陣的乘法。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們了解到矩陣乘法在幾何變換中的應(yīng)用，以及如何利用矩陣乘法實現(xiàn)各種變換。希望同學(xué)們在課后能夠繼續(xù)探索，將所學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中。老師期待你們的精彩表現(xiàn)！????知識點梳理1.**復(fù)合變換的概念與性質(zhì)**

-復(fù)合變換是指將兩個或多個變換按照一定的順序依次進行，得到一個新的變換。

-性質(zhì)包括：可逆性、結(jié)合律、交換律（不適用于所有變換）。

2.**二階矩陣的乘法**

-二階矩陣乘法遵循行列對應(yīng)相乘、相加的原則。

-特殊情況：零矩陣乘以任何矩陣都為零矩陣。

3.**矩陣與向量的乘法**

-矩陣與向量的乘法可以看作是線性變換，將向量映射到另一個向量。

-乘法運算滿足分配律、結(jié)合律。

4.**伸縮變換**

-伸縮變換可以通過二階矩陣\(A=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}\)實現(xiàn)，其中\(zhòng)(a\)和\(b\)分別是水平和垂直方向的伸縮比例。

5.**平移變換**

-平移變換可以通過二階矩陣\(B=\begin{bmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\)實現(xiàn)，其中\(zhòng)(t_x\)和\(t_y\)分別是水平和垂直方向的平移距離。

6.**旋轉(zhuǎn)變換**

-旋轉(zhuǎn)變換可以通過二階矩陣\(C=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)實現(xiàn)，其中\(zhòng)(\theta\)是旋轉(zhuǎn)角度。

7.**復(fù)合變換的應(yīng)用**

-通過矩陣乘法，可以將多個變換組合成一個復(fù)合變換。

-應(yīng)用實例：圖像處理、動畫制作、機器人運動規(guī)劃等。

8.**矩陣乘法的運算律**

-交換律：\(AB\neqBA\)（一般情況下）。

-結(jié)合律：\(A(BC)=(AB)C\)。

-分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)和\((A+B)C=AC+BC\)。

9.**矩陣乘法的幾何意義**

-矩陣乘法可以表示向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮和平移。

-矩陣的行列式可以表示變換的面積縮放比例。

10.**矩陣與向量的關(guān)系**

-矩陣可以看作是向量的線性組合。

-矩陣乘法可以看作是向量的線性變換。課后作業(yè)1.**伸縮變換練習(xí)**

-題目：給定向量\(\vec{v}=(3,4)\)，使用矩陣\(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1.5\end{bmatrix}\)對其進行伸縮變換。

-答案：變換后的向量\(\vec{v'}=(6,6)\)。

2.**平移變換練習(xí)**

-題目：給定向量\(\vec{v}=(1,2)\)，使用矩陣\(B=\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}\)對其進行平移變換。

-答案：變換后的向量\(\vec{v'}=(4,6,1)\)。

3.**旋轉(zhuǎn)變換練習(xí)**

-題目：給定向量\(\vec{v}=(2,2)\)，使用矩陣\(C=\begin{bmatrix}\cos(45^\circ)&-\sin(45^\circ)\\\sin(45^\circ)&\cos(45^\circ)\end{bmatrix}\)對其進行旋轉(zhuǎn)變換。

-答案：變換后的向量\(\vec{v'}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。

4.**復(fù)合變換練習(xí)**

-題目：給定向量\(\vec{v}=(5,5)\)，首先使用矩陣\(A=\begin{bmatrix}0.5&0\\0&2\end{bmatrix}\)進行伸縮變換，然后使用矩陣\(B=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\)進行平移變換。

-答案：變換后的向量\(\vec{v'}=\begin{bmatrix}3\\10\end{bmatrix}\)。

5.**矩陣乘法應(yīng)用練習(xí)**

-題目：給定矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和向量\(\vec{v}=\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}\)，計算\(A\)乘以\(\vec{v}\)的結(jié)果，并解釋其幾何意義。

-答案：\(A\vec{v}=\begin{bmatrix}23\\34\end{bmatrix}\)。這個結(jié)果表示向量\(\vec{v}\)在矩陣\(A\)所表示的線性變換下的映射。

6.**矩陣乘法與線性方程組**

-題目：給定矩陣\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)和向量\(\vec=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)，求解線性方程組\(A\vec{x}=\vec\)。

-答案：線性方程組的解為\(\vec{x}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。

7.**矩陣乘法與特征值**

-題目：給定矩陣\(A=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}\)，求矩陣\(A\)的特征值。

-答案：矩陣\(A\)的特征值為\(5\)和\(2\)。

8.**矩陣乘法與行列式**

-題目：給定矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，計算矩陣\(A\)的行列式。

-答案：矩陣\(A\)的行列式為\(2\)。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.**復(fù)合變換與矩陣乘法的關(guān)系**

①復(fù)合變換是多個變換按順序進行的組合。

②矩陣乘法可以表示復(fù)合變換。

③通過矩陣乘法，可以直觀地理解變換的順序和效果。

2.**二階矩陣的乘法運算**

①二階矩陣乘法遵循行列對應(yīng)相乘、相加的原則。

②特殊情況：零矩陣乘以任何矩陣都為零矩陣。

③矩陣乘法滿足分配律、結(jié)合律。

3.**矩陣與向量的乘法**

①矩陣與向量的乘法可以看作是線性變換。

②乘法運算滿足分配律、結(jié)合律。

③矩陣乘法可以表示向量的伸縮、旋轉(zhuǎn)和平移。

4.**變換的性質(zhì)**

①可逆性：變換可以通過其逆變換恢復(fù)原狀態(tài)。

②結(jié)合律：多個變換的復(fù)合滿足結(jié)合律。

③交換