河南省許平汝名校2025屆高三下學期二模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省許平汝名校2025屆高三下學期二模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，，所以是方程的根，則，解得，故，合乎題意，故.故選：C2.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點為，而關(guān)于直線對稱的點為，則，所以.故選：D3.如果是實數(shù)，那么“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，不妨設(shè)，則.而當時，可能，此時，而.綜上所述“”是“”的充分不必要條件.4.已知是減函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為是減函數(shù)，且是增函數(shù)，所以，因為，又當時，，所以函數(shù)的圖象是對稱軸為直線，頂點為，開口向上的拋物線的一部分，只有選項B符合題意.故選：B.5.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】法1：因為，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，要滿足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則，，解得.故選：C.法2：由題意，關(guān)于的方程在內(nèi)僅有一個解，而，，令，解得或；即在上單調(diào)遞增，原問題等價于.故選：C6.如圖，已知正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點，若為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且平面，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，取的中點，連接，，，正方體中，可得且，因為，分別是棱的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，又因為平面，平面，所以平面，同理可證：平面，因為，且平面，所以平面平面，又因為平面，當時，則平面，所以平面，所以點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，因為正方體的邊長為，可得，，在中，可得，且，則，所以的最小值為.故選：B.7.張某經(jīng)營、兩家公司，張某隨機到公司指導(dǎo)與管理，已知他第1個月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下個月繼續(xù)去公司的概率為；如果本月去公司，那么下個月去公司的概率為，如此往復(fù).設(shè)張某第個月去公司的概率為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)表示第個月去公司，則，，根據(jù)題意，得，，由全概率公式，得，即，整理得，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，漸近線方程為，過且斜率為的直線與在第一象限的交點為，的角平分線與線段交于點，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的半焦距為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，故，.設(shè)，，，由余弦定理有，化簡得，則，因為為的角平分線，所以，又，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于A項，因為是減函數(shù)，而，所以，故A項正確；對于B項，因為在上單調(diào)遞增，而，所以，故B項正確；對于C項，，因為，，，所以，即，故C項錯誤；對于D項，，因為，，，所以，即，故D項正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)定義在上，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，則（）A.B.C.的解集為D.【答案】BCD【解析】因為為偶函數(shù)，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，又因為為奇函數(shù)，所以，等價于，所以的圖象關(guān)于點對稱，由，得到，又，所以，則，所以的周期為，又當時，，則時，，時，，時，，的部分圖象如圖所示.對于選項A，因為，故選項A錯誤，對于選項B，由，得到，又，所以，則，所以的周期為，，又，所以，則，故選項B正確，對于選項C，由圖象知，當時，由得到，又的周期為，則時，，，故選項C正確，對于選項D，因為，所以，故選項D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.是一個周期函數(shù)B.，C.方程在區(qū)間上有4個不同解D.，使得【答案】BC【解析】對于A項，因為是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，故不是周期函數(shù)，故A項錯誤；對于B項，因為，，，故B項正確；對于C項，當時，方程可化為.當時，，此時滿足方程；當時，此時或滿足方程；當時，，此時滿足方程，故C項正確；對于D項，令，則，；令，則，，因為等號不能同時取得，故D項錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的展開式中的常數(shù)項為，則________________.【答案】1【解析】法1：因為的展開式的通項，令，解得，所以常數(shù)項為，解得.法2：的展開式中，常數(shù)項為從4個因式中1個取，其余3個取，即常數(shù)項為，由，解得.故答案為：.13.已知是第三象限角，，則________________.【答案】【解析】法1：因為，所以，因為是第三象限角，所以，則.法2：因為，所以，因為是第三象限角，所以，則，所以14.已知為拋物線上的動點，，為圓上的兩個不同點，若恰為圓的一條直徑，則的最小值為________________；若，均與圓相切，則的最小值為________________.【答案】①.②.【解析】圓的圓心為，半徑，設(shè)，則，，（時取等號）.所以，當為圓的一條直徑時，，，所以，當且僅當點的坐標為時等號成立，所以的最小值為.當，均與圓相切時，則，設(shè)，則，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以當時，即點的坐標為時，取最小值，最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校開設(shè)校本課程“剪紙”，為了解學生參加該課程與性別是否有關(guān)，用簡單隨機抽樣的方法分別從男生和女生中各抽取了50名學生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別課程合計參加“剪紙”課程不參加“剪紙”課程男生10女生3050合計（1）補全列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析參加“剪紙”課程是否與性別有關(guān)聯(lián)；（2）以樣本估計總體，且以頻率估計概率，若從該校女生中隨機抽取3人，記其中參加“剪紙”課程的人數(shù)為，求的期望.附：，其中.0.0500.0250.0103.8415.0246.635解：（1）列聯(lián)表如下：性別課程合計參加“剪紙”課程不參加“剪紙”課程男生104050女生203050合計3070100零假設(shè)為：參加“剪紙”課程與性別無關(guān)聯(lián)，則，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為參加“剪紙”課程與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.050.（2）由表格中的數(shù)據(jù)知，從女生中抽取1人，其參加“剪紙”課程的概率為，的可能取值為0，1，2，3，且，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，求證：.（1）解：由題設(shè)條件，可得若，則，用反證法，假設(shè)，由題設(shè)條件，顯然，這與已知條件矛盾，所以.因為，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首項、公比均為的等比數(shù)列.所以，則.（2）證明：顯然時，成立，當時，，所以，所以，所以，即，所以，所以.綜上，，得證.17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）已知，分別為的左、右頂點，為的上頂點，直線交于，（不同于，）兩點，記直線，的斜率分別為，，若，求到的距離的最大值.解：（1）由題意，得，解得，，所以方程為；（2）由，不同于，，當直線垂直于軸時，與異號，不滿足題意，所以直線不與軸垂直，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，得，，即，則，.又因為，，所以，，直線的斜率，由在上，得，即，因此，因為，所以，由，解得，此時，對任意實數(shù)恒成立，直線的方程為，所以直線過定點，又因為，則當時，點到直線的距離取得最大值，即點到直線的距離的最大值為.18.如圖1，在半徑為2的扇形中，，是弧上的動點（不含，），過點作，交于點.當?shù)拿娣e取得最大值時，將扇形沿著折起到，使得平面平面（如圖2所示）.（1）求圖2中的長度；（2）求圖2中直線與所成角的余弦值；（3）探究在圖2中的線段上是否存在點，使得四面體內(nèi)切球的半徑為？并說明理由.解：（1）圖中，因為，，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，即，所以.所以，因為，所以，所以當，即時，取得最大值，此時，所以的長度為.（2）如圖，以為坐標原點，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，所以，設(shè)直線與所成的角為，則，所以直線與所成角的余弦值為.（3）由（2）知，，，，所以，，，所以四面體的表面積為設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為，則四面體的體積，解得，因為，所以，所以在線段上不存在點，使得四面體內(nèi)切球的半徑為.19.設(shè)，定義為的“函數(shù)”.（1）設(shè)為的“函數(shù)”，若，，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)為的“函數(shù)”.（?。┤羰堑臉O小值點，求的取值范圍；（ⅱ）若，方程有兩個根，，且，求證：.解：（1）由題意，得，則，所以切點為，又因，所以，所以曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）（?。┯深}，可得，定義域為，則，因為是的極小值點，則，則，若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，不滿足題意；若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以是的極大值點