湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.與直線關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線，即，它與軸的交點(diǎn)為，它關(guān)于軸對(duì)稱的直線的斜率為，故要求直線的方程為，即.故選：C．2.已知曲線上一點(diǎn)，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以，所以.故選：D3.已知數(shù)列滿足，，，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】，，，，猜想：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故.則，故選：B.4.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，且，則，所以，即直線和夾角的余弦值為，所以正弦值為.故選：C5.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).可設(shè)，，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，，，最大距離.故選：C.6.已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.2025 D.4050【答案】A【解析】令，則的定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所?故選：A7.已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等,且,,則該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，三棱錐可以嵌入一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，，如圖所示，則，，，解得，，.所以該三棱錐的的體積為，而，所以可求得，故選：C8.已知拋物線方程為，在軸上存在一定點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條弦，滿足為定值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，；當(dāng)AB與x軸重合時(shí)，，所以，；方法二：假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)AB不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，，，，則，因?yàn)闊o(wú)論直線AB怎么變化，t恒為定值，所以，即；當(dāng)AB與x軸重合時(shí)，可以驗(yàn)證也成立.所以綜上所述，，，故選：B二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.）9.已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.B.數(shù)列是公比為等比數(shù)列（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）C.D.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AB【解析】A：依題意，設(shè)公差為d，則，由，，解得，，故A正確；B：由，得，所以，由，即數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：由，得，所以，不恒為常數(shù)，所以不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.曲線的軌跡方程為B.直線與曲線交于、兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)為C.曲線與曲線的公切線有2條D.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則最大值為【答案】ACD【解析】A.設(shè)，由可得，化簡(jiǎn)得，即.故曲線的軌跡方程為，A正確；B.由A得：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線距離，所以，所以B錯(cuò)誤；C.因?yàn)閮蓤A心間距離為大于半徑差小于半徑和，兩個(gè)圓是相交關(guān)系，所以公切線條數(shù)是2條，C正確；D.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N與點(diǎn)，點(diǎn)的距離的比為，所以，D正確.故選：ACD.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.存在點(diǎn)，使得平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.不存在點(diǎn)滿足【答案】ABD【解析】如圖1，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，F(xiàn)M，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得：平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)在線段上時(shí)，平面，故滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為的長(zhǎng)，為，A正確；如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可得：，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，故，即，解得：，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，?dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，滿足，即滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為線段的長(zhǎng)度，又因?yàn)?，所以B選項(xiàng)正確；如圖3，連接，取中點(diǎn)，連接AH，HM，則可知平面截正方體所得的截面為，與正方形沒(méi)有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故不正確；如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交正方形于點(diǎn)，則此時(shí)使得取得最小值，最小值為，所以不存在點(diǎn)滿足，D正確；故選：ABD三、填空題.（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，且，則_____.【答案】【解析】.故答案為：13.已知雙曲線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____.【答案】7【解析】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以點(diǎn)為雙曲線的上焦點(diǎn)，設(shè)下焦點(diǎn)為，結(jié)合圖形可知點(diǎn)為上支上的點(diǎn)時(shí)才可能取得最小值，由雙曲線的定義可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).故的最小值為7.故答案為：14.記，表示個(gè)元素的有限集，表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則_____，若，則的最小值為_(kāi)____.【答案】；14【解析】當(dāng)，時(shí)，，表示2個(gè)元素的有限集，由可知，或或，故；由題意知，故由可得，即，結(jié)合，可以估算得的最小值為14故答案為：；14.四、解答題（本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最大值.解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，，所以，，所以，，所以（2）方法一：因?yàn)椋?，?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，最大，即，解得：，此時(shí)，的最大值為.方法二：因?yàn)?，所以由二次函?shù)的知識(shí)以及，在或者時(shí)，同時(shí)取得最大值，此時(shí)，的最大值為.16.（1）證明：，；（2）已知函數(shù)（，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）構(gòu)造函數(shù)，，令，得，列表如下：1-0+遞減極小值遞增所以，即有成立.（2）（I）當(dāng)時(shí)，，所以.令，因?yàn)?，所以，解得?列表如下：-4-2+0-0+↗極大值↘極小值↗由表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（II）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.即對(duì)任意恒成立，因，且，所以對(duì)任意恒成立.設(shè)，，因?yàn)榈拈_(kāi)口向上，所以只需要考慮兩個(gè)端點(diǎn)的情況就行了，則，即，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列不是等比數(shù)列；并且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）由題意，，因?yàn)?，?shù)列的第一項(xiàng)為0，數(shù)列不是等比數(shù)列；但是，且，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列.（2）方法一：因?yàn)?，且?shù)列是以1為首項(xiàng)，以0為公差的等差數(shù)列.，；方法二：，用累乘可得，當(dāng)時(shí)，，……，，，所以，即，又，；（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?18.已知雙曲線，滿足離心率為2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線的左支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；（3）記雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為第一象限內(nèi)雙曲線上的任意一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由已知雙曲線離心率為2，則，得，所以雙曲線方程為，又焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得，，所以雙曲線方程為（2）由題意知直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線，得，當(dāng)時(shí)，，解得：，且，當(dāng)時(shí)，與雙曲線的漸近線方程的斜率一致，雙曲線的漸近線方程為，即漸近線斜率為，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，直線與雙曲線的左支只有一個(gè)公共點(diǎn)，成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，成立，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn)即與左支相切，成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)即與右支相切，不成立；綜上所述，或時(shí)，直線與雙曲線的左支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）存在，理由如下，①當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，，可求得.②當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為2時(shí)，可設(shè)，，，，，，和都在內(nèi)，所以綜上可知，存在實(shí)數(shù)符合題意19.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，E為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若，與平面所成的角為，（I）求三棱錐的體積；（II）試問(wèn)在側(cè)面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求出點(diǎn)到直線的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由四邊形是直角梯形，，，可得，，從而是等邊三角形，，BD平分.∵E為的中點(diǎn)，，，又，，平面，平面平面，平面，所以平面平面.（2）（I）在平面內(nèi)作于，連接，由（1）有平面，又平面，∴平面平面.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面為與平面所成的角，則，由題意得，，，為的中點(diǎn)，.又，所以三棱錐P-BDC的體積為；（II）方法一：（向量法）以O(shè)B，OC，OP所在的直線分別為x