2024年上海中考數(shù)學(xué)試卷試題真題解讀及答案詳解

年中考真題完全解讀（上海卷）本次“2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷”在整體設(shè)計(jì)上凸顯了上海地區(qū)數(shù)學(xué)教育的綜合性與創(chuàng)新性特征。全卷共分成選擇題、填空題與簡答題三大部分，滿分為150分，作答時(shí)間100分鐘，答題要求規(guī)范、試卷形式清晰。與往年相比，本卷命題更注重對學(xué)生多角度思維的考查，既有常規(guī)運(yùn)算與幾何證明，也融入了統(tǒng)計(jì)與概率的實(shí)際應(yīng)用。題目在數(shù)學(xué)基本概念與運(yùn)算技巧的考查之外，更強(qiáng)調(diào)了對閱讀理解、邏輯推演及創(chuàng)新思維的培養(yǎng)?？傮w而言，試卷穩(wěn)中求新，緊扣上海地區(qū)課標(biāo)要求，能有效區(qū)分不同層次學(xué)生的思維水平，對教學(xué)與學(xué)生能力提升具有較強(qiáng)的指導(dǎo)價(jià)值。本卷包含25道試題。其中，前6題為單項(xiàng)選擇題，每題4分，共24分；第7至第18題為填空題，每題4分，共48分；第19至第25題為簡答題，共78分。題目分布合理，涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)、方程、不等式、統(tǒng)計(jì)與概率等多個(gè)知識領(lǐng)域。選擇題多為基礎(chǔ)知識與概念辨析，填空題稍有提升，著重考查學(xué)生對關(guān)鍵知識點(diǎn)的應(yīng)用能力。簡答題題量適中，包含證明、計(jì)算與綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了思維深度與廣度的要求。這樣的結(jié)構(gòu)既保證了測試的廣覆蓋性，也在后半部分突出探究與綜合的特點(diǎn)，為不同層次的學(xué)生提供了展示思維與能力的空間。從難易度來看，本卷中等難度題目占較大比重，易、中、難比例大致符合“金字塔”結(jié)構(gòu)。基礎(chǔ)題包括一次函數(shù)、不等式性質(zhì)和常見幾何性質(zhì)；中檔題多為綜合應(yīng)用與數(shù)形結(jié)合，如在矩形、平行四邊形或梯形中融入相似三角形證題；難度較高的題目主要集中于二次函數(shù)平移、翻折與幾何構(gòu)造等部分，既要求學(xué)生有熟練的運(yùn)算能力，也需一定的幾何想象與邏輯推理能力。此外，概率與統(tǒng)計(jì)題契合真實(shí)情境，注重“方差”等指標(biāo)的理解與應(yīng)用。這些題型在上海地區(qū)近幾年考試中日益受到重視，能反映學(xué)生對統(tǒng)計(jì)思維與數(shù)據(jù)分析方法的掌握程度。本卷全面覆蓋滬教版課程標(biāo)準(zhǔn)中的主要知識點(diǎn)，引導(dǎo)教師在平時(shí)教學(xué)中要適度平衡代數(shù)與幾何的教學(xué)時(shí)間，并注重將統(tǒng)計(jì)、概率、函數(shù)應(yīng)用融入日常例題與實(shí)踐探究。對于學(xué)生而言，要在夯實(shí)基礎(chǔ)運(yùn)算與幾何推理的同時(shí)，學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合，能夠?qū)π虑榫郴驅(qū)嶋H問題做出有效分析。尤其在函數(shù)與幾何的聯(lián)動(dòng)、統(tǒng)計(jì)與概率的真實(shí)背景應(yīng)用上，學(xué)生需要提升閱讀理解與綜合思考的能力。該試卷為日常教學(xué)提供了導(dǎo)向性：關(guān)注思維含量和過程性評價(jià)，適度增加對探究能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，將有助于學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。綜上，這份試卷對進(jìn)一步提升教師教學(xué)水平和學(xué)生核心素養(yǎng)具有重要的價(jià)值與啟示。與往年相同，依舊由“選擇題”“填空題”“簡答題”三大部分構(gòu)成，分值分布未發(fā)生明顯變化：?選擇題共6題，每題4分，合計(jì)24分；?填空題共12題，每題4分，合計(jì)48分；?簡答題共5題，分值分別為10分、10分、10分、12分、12分、14分，合計(jì)78分。總分仍為150分，考試時(shí)長100分鐘，考試形式相對成熟，說明近兩年在整體框架上未作大改動(dòng)。?部分選擇題和填空題加入了科技創(chuàng)新、數(shù)據(jù)分析等情境；例如以“新型藍(lán)光唱片容量”或“博物館調(diào)研數(shù)據(jù)”為背景，側(cè)重考查學(xué)生對真實(shí)信息的處理和數(shù)學(xué)建模思維。?簡答題融合了函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等多主題綜合，強(qiáng)調(diào)同一題目下多知識點(diǎn)的運(yùn)用，進(jìn)一步考查學(xué)生的遷移與綜合應(yīng)用能力。?對函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)概率的知識交叉運(yùn)用要求更高，題目逐漸突顯對“數(shù)形結(jié)合”“坐標(biāo)運(yùn)算”等能力的綜合考量。?試題注重對學(xué)生邏輯推理、模型建立與概括歸納的思維要求，部分題目需要先理解背景，再進(jìn)行簡化求解，要求學(xué)生在掌握基本運(yùn)算的同時(shí)具備更高層次的分析判斷能力。?需重視知識網(wǎng)絡(luò)的整體構(gòu)建和綜合運(yùn)用；單一知識點(diǎn)的記憶和練習(xí)已不足以應(yīng)對多情境融合的綜合題。?建議考生加強(qiáng)對幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的銜接練習(xí)，通過多角度、多步驟的分析，提升解決實(shí)際問題的能力。?在做題時(shí)，注重運(yùn)用圖形輔助、數(shù)值試探與邏輯推斷等多種方法，關(guān)注如何將數(shù)學(xué)知識與真實(shí)情境相結(jié)合。綜上，本屆試卷的題型形式雖未變，但在情境設(shè)置與知識融合度方面考查方向不斷深化，要求學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)具備更強(qiáng)的綜合分析和靈活應(yīng)變能力。結(jié)合往年真題進(jìn)行針對性訓(xùn)練，注重思維過程、邏輯條理和表達(dá)完整性，才能更好地應(yīng)對本類綜合性考查。在本次模擬試卷中，我們可以看到對不等式、函數(shù)定義域、一次函數(shù)和二次函數(shù)、三角形與幾何圖形的性質(zhì)、統(tǒng)計(jì)與概率等知識點(diǎn)的綜合考查較為全面。以下從時(shí)間規(guī)劃、專題梳理、題型攻略、心理調(diào)適及命題趨勢五個(gè)方面，為同學(xué)們提出備考建議。第一階段（考前1個(gè)月左右）?梳理知識框架：系統(tǒng)復(fù)習(xí)教材中的所有章節(jié)，列好知識清單。如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的基本性質(zhì)，幾何中的平行線與相似三角形等。?重點(diǎn)突破薄弱點(diǎn)：將平時(shí)錯(cuò)題按主題整理，對于易錯(cuò)知識點(diǎn)（如求函數(shù)的定義域、二次方程根的判別式、菱形與矩形判定等）集中攻克。第二階段（考前2周）?以真題和模擬題為主：模擬實(shí)戰(zhàn)，計(jì)時(shí)答卷。針對選擇題，要掌握快速排除的技巧；對填空題和解答題，要盡量完整列出每個(gè)步驟和理由。?加強(qiáng)專題訓(xùn)練：如幾何圖形中的證明題、函數(shù)綜合題、統(tǒng)計(jì)與概率題等，側(cè)重于思路的歸納、常見陷阱與易混概念的辨析。第三階段（臨考前一周）?查缺補(bǔ)漏：快速翻看錯(cuò)題，總結(jié)常見失誤，尤其注意計(jì)算細(xì)節(jié)和幾何輔助線的添加。?保持做題手感：每天保持適度練習(xí)，但不宜疲勞作戰(zhàn)。形成穩(wěn)健的做題節(jié)奏與心態(tài)。1.不等式與方程?不等式加減同一數(shù)時(shí)方向不變，乘以負(fù)數(shù)方向改變；一元二次方程根的判別式：當(dāng)Δ>0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，Δ=0有相等實(shí)數(shù)根，?易錯(cuò)點(diǎn)：有些同學(xué)忽視“除以負(fù)數(shù)時(shí)不等號反向”或遺忘二次方程判別式公式。2.函數(shù)與圖像?正比例函數(shù)y=kx，若k<0，則y隨?一次函數(shù)與二次函數(shù)：注意平移變換后對頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸以及“開口大小”的影響。3.幾何圖形與度量?矩形、菱形與平行四邊形的判定與性質(zhì)：如菱形對角線互相垂直平分，矩形對角線相等且平分。?常用輔助線：遇到角平分線、翻折或外接圓問題，需謹(jǐn)慎使用平行線分割、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)。4.統(tǒng)計(jì)與概率?平均數(shù)、方差及其應(yīng)用：方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；概率題常見于排列組合或基本頻率估計(jì)，在解答時(shí)要明確總數(shù)與事件發(fā)生數(shù)的關(guān)系。選擇題?快速排除：如遇干擾選項(xiàng)，可嘗試帶入特殊值或簡單驗(yàn)證。?保證準(zhǔn)確：對概念題，要緊扣定義；對計(jì)算類選項(xiàng)，可進(jìn)行簡化運(yùn)算或圖像判斷。填空題?注意格式：遇到答案含字母、根號等，需確保寫清完整的表達(dá)式，如x=2或?重視答題思路：充分利用圖表、數(shù)形結(jié)合來快速定位結(jié)果。解答題?書寫規(guī)范：陳述理由時(shí)要引用定理或性質(zhì)，切忌只寫結(jié)論。?輔助線與整體思路：如幾何題可適當(dāng)作輔助點(diǎn)、垂線或延長線；函數(shù)題先確定解析式，再帶入坐標(biāo)考量。1.正確認(rèn)識壓力?考前適度緊張有助于發(fā)揮潛能，但要避免過度焦慮?？梢悦刻彀才哦虝旱姆潘苫顒?dòng)，保證良好睡眠。2.因難題喪失信心?遇到難題時(shí)先擱置，集中精力解決中等題與基礎(chǔ)題，確保核心分?jǐn)?shù)，最后再攻克高難度部分。3.模擬實(shí)戰(zhàn)心態(tài)?每次模擬都要按照實(shí)考要求時(shí)間進(jìn)行，在考場上遇到波動(dòng)時(shí)仍能保持熟悉的答題節(jié)奏。結(jié)合近年來中考與本套模擬卷，可預(yù)見中考對綜合能力的考查將持續(xù)提升：?函數(shù)綜合：二次函數(shù)平移、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合求解，可能與幾何圖形結(jié)合。?幾何創(chuàng)新：利用翻折、旋轉(zhuǎn)等方式考查全等或相似識別，多邊形中常見的構(gòu)造須引起重視。?數(shù)據(jù)分析：方差、概率預(yù)估等與現(xiàn)實(shí)情境融合更緊密，需要靈活理解統(tǒng)計(jì)概念并做推斷。同學(xué)們在最后階段應(yīng)緊扣課本與重要考點(diǎn)，通過專題訓(xùn)練與錯(cuò)題鞏固，形成自己的知識體系與解題策略。不僅要提升運(yùn)算和思維速度，更要在考場中保持自信、穩(wěn)健，從容應(yīng)對2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試。祝大家旗開得勝，圓滿取得理想成績！2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷1．本場考試時(shí)間100分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，請?jiān)诖痤}紙指定位置填寫姓名、報(bào)名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；B．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；C．兩邊同時(shí)乘上大于零的數(shù)，不等號的方向不改變，故正確，符合題意；D．兩邊同時(shí)乘上小于零的數(shù)，不等號的方向改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查求函數(shù)定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數(shù)定義域的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：函數(shù)的定義域是，解得，故選：D．3.以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．分別計(jì)算出各選項(xiàng)中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：D．4.科學(xué)家同時(shí)培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個(gè)開花時(shí)間最短并且最平穩(wěn)的．種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數(shù)2.3232.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類 B.乙種類 C.丙種類 D.丁種類【答案】B【分析】本題主要考查了用平均數(shù)和方差做決策，根據(jù)平均數(shù)的定義以及方差的定義做決策即可．解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】解：∵由表格可知四種花開花時(shí)間最短的為甲種類和乙種類，四種花的方差最小的為乙種類和丁種類，方差越小越穩(wěn)定，∴乙種類開花時(shí)間最短的并且最平穩(wěn)的，故選：B．5.四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為菱形，故選：A．6.在△ABC中，，，，點(diǎn)在△ABC內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓含在圓內(nèi)，即，在以為圓心、為半徑的圓與△ABC邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：當(dāng)?shù)轿恢脮r(shí)，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．二、填空題（每題4分，共48分）7.計(jì)算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．8.計(jì)算______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．9.已知，則___________．【答案】1【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，∴，解得：，故答案為：1．10.科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案為：．11.若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）【答案】減小【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出，結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的值隨的增大而減?。驹斀狻拷猓赫壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，又，的值隨的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p?。?2.在菱形中，，則___________．【答案】##57度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，故答案為：．13.某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時(shí)銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時(shí)銷售量5000萬元，則投入80萬元時(shí)，銷售量為___________萬元．【答案】4500【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式及求函數(shù)值，設(shè)，根據(jù)題意找出點(diǎn)代入求出解析式，然后把代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，把，代入，得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，即投入80萬元時(shí)，銷售量為4500萬元，故答案為：4500．14.一個(gè)袋子中有若干個(gè)白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機(jī)從中摸一個(gè)球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個(gè)綠球．【答案】3【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)袋子中綠球有個(gè)，則根據(jù)概率計(jì)算公式得到球的總數(shù)為個(gè)，則白球的數(shù)量為個(gè)，再由每種球的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，列出不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)袋子中綠球有個(gè)，∵摸到綠球的概率是，∴球的總數(shù)為個(gè)，∴白球的數(shù)量為個(gè)，∵每種球的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴x的最小值為1，∴綠球的個(gè)數(shù)的最小值為3，∴袋子中至少有3個(gè)綠球，故答案為：3．15.如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點(diǎn)，設(shè)，，若，則___________（結(jié)果用含，的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了平面向量知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系．先求出，從而可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．是上一點(diǎn)，，，，，故答案為：．16.博物館為展品準(zhǔn)備了人工講解、語音播報(bào)和增強(qiáng)三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有__________人．【答案】【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖及用樣本的某種“率”估計(jì)總體的某種“率”，正確得出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比是解題關(guān)鍵．先求出需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比，再根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人有需求講解，∴需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比為，由條形統(tǒng)計(jì)圖可知：需要增強(qiáng)講解的人數(shù)為人，∴需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比為，∴在總共萬人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有（人），故答案為：17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應(yīng)點(diǎn)分別為，，若，則__________．【答案】或##或【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)在之間時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，由翻折的性質(zhì)知：，沿直線翻折至所在直線，，。，過作的垂線交于，，，當(dāng)在的延長線上時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，同理知：，過作的垂線交于，，，故答案為：或．18.對于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．【答案】4【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，，中存在一點(diǎn)，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：．20.解方程組：．【答案】，或者，．【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進(jìn)行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程組的解為或者．21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求k與m的值；（2）過點(diǎn)A作直線軸與直線交于點(diǎn)C，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）把B的坐標(biāo)代入，求出n，然后把B的坐標(biāo)代入，求出k，最后把A的坐標(biāo)代入求出m即可；（2）根據(jù)軸求出C的縱坐標(biāo)，然后代入，求出C的橫坐標(biāo)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．【小問1詳解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；小問2詳解】解：由（1）知：設(shè)l與y軸相交于D，∵軸，軸軸，∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同，均為2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）直接寫出：兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用表示）；（2）請畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫出三角形的邊．【答案】（1）等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；底為，高為，面積為；（2）畫圖見解析．【分析】（）①解直角三角形即可求解；由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進(jìn)而可求出面積；（）根據(jù)題意畫出圖形即可；本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計(jì)，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：①如圖，為等腰直角三角板，，則；如圖，為含的直角三角形板，，，，則，；綜上，等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；由題意可知，∴四邊形是矩形，由圖可得，，，∴，故小平行四邊形的底為，高為，面積為；【小問2詳解】解：如圖，即為所作圖形．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）為線段延長線上一點(diǎn)，且滿足，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【小問1詳解】證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小問2詳解】證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．（1）求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點(diǎn)P在原拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）或；