2025年上海普陀區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷及答案詳解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年度第二學(xué)期九年級自適應(yīng)練習(xí)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷共25題．2．試卷滿分150分．考試時(shí)間100分鐘．3．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．4．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．3的倒數(shù)是（

）A．3 B． C． D．2．下列各式計(jì)算結(jié)果等于的是（

）A． B． C． D．3．某班有男生20人，女生18人．在一次測驗(yàn)中，男生的平均分為分，女生的平均分為分，那么這個(gè)班級全體學(xué)生這次測驗(yàn)的平均分為（

）A．分 B．分 C．分 D．分4．2025年“體重管理年”正式啟動，其中所涉及的體質(zhì)指數(shù)“”是衡量人體胖瘦程度的標(biāo)準(zhǔn)，其計(jì)算公式為（表示體重，單位：公斤；表示身高，單位：米）成年人火女值標(biāo)準(zhǔn)見下表：范圍胖瘦程度瘦弱偏瘦正常偏胖肥胖已知某位成年人身高為1.6米，以下說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)值隨著體重的值的增加而減少B．?dāng)?shù)值與體重的值之間成正比例關(guān)系C．?dāng)?shù)值與體重的值之間的函數(shù)圖像為雙曲線位于第一象限的一支D．如果這位成年人的體重為64公斤，他的胖瘦程度屬于正常5．已知和，的半徑長為，．如果與相交，那么的半徑長可以是（

）A． B． C． D．6．有若干個(gè)全等三角形，如果這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)正多邊形不是中心對稱圖形，那么下列三角形中，符合條件的是（

）A．頂角是的等腰三角形 B．頂角是的等腰三角形C．有一個(gè)銳角是的直角三角形 D．有一個(gè)銳角是的直角三角形二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．計(jì)算：．8．函數(shù)的定義域是．9．方程的解是．10．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值等于．11．蘇州河是上海的“母親河”，普陀段的岸線約有米，正好相當(dāng)于半程馬拉松的長度，被譽(yù)為“半馬蘇河”．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為．12．在不透明的布袋中裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這些球只是顏色不同．如果布袋中再放進(jìn)2個(gè)同樣規(guī)格的紅球，那么此時(shí)從布袋中，任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率是．13．如圖，平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，．如果向量用向量、表示，那么．14．如圖，在中，，是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，如果，，那么．15．在矩形中，，，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、在對角線上（如圖）．如果四邊形是矩形，那么的長等于．16．常見的運(yùn)動健身方式有三種：有氧運(yùn)動、力量訓(xùn)練和拉伸運(yùn)動．某社區(qū)為了解本社區(qū)居民的健身情況，對居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到了一個(gè)樣本，制成了樣本統(tǒng)計(jì)圖：圖4-1是三種運(yùn)動健身方式占比的扇形圖（每人只能選一種健身方式）；圖4-2是選擇有氧運(yùn)動的居民，對有氧運(yùn)動有關(guān)項(xiàng)目選擇的條形圖（每人只能選一種項(xiàng)目）．如果該社區(qū)居民約有8000人，那么根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該社區(qū)最喜歡快走的居民大約有人．17．已知拋物線的頂點(diǎn)為，、、、是拋物線上的四點(diǎn)，且線段、都垂直于拋物線的對稱軸．如果，，那么的值等于．18．在中，，（如圖）．點(diǎn)在邊上，，為垂足，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)、分別與點(diǎn)、對應(yīng)，，射線與邊交于點(diǎn)．如果，那么的長是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．先化簡，再求值：，其中．20．解不等式組：21．如圖，在四邊形中，，，，，．(1)求的值；(2)連接交于點(diǎn)，求的長．22．【問題背景】我們學(xué)過用尺規(guī)作圖平分一條線段，小普同學(xué)想借助所學(xué)過的函數(shù)知識平分線段．在如圖1中，已知線段，為了平分線段，小普同學(xué)進(jìn)行了如下的操作：①在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像；②在軸的正半軸上截取，過點(diǎn)A作軸交函數(shù)的圖像于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)．所以點(diǎn)平分線段．【解決問題】(1)根據(jù)小普同學(xué)的做法，如果要將線段三等分，那么可以借助函數(shù)________的圖像在圖7-1中的線段上，找到點(diǎn)，使，于是可作出線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)．（填函數(shù)解析式）(2)平面內(nèi)的點(diǎn)可以用有序?qū)崝?shù)對來表示．在圖2中，點(diǎn)在軸的正半軸上，．運(yùn)用我們學(xué)過的函數(shù)知識，在圖7-2中作出坐標(biāo)為的點(diǎn)，寫出畫圖步驟．（保留作圖痕跡）23．已知：如圖，平行四邊形的對角線和相交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)連結(jié)交于點(diǎn)，如果，求證：．24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的開口向下，與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．直線交拋物線于點(diǎn)．(1)如圖，拋物線的對稱軸是直線．①求此時(shí)拋物線的表達(dá)式；②如果，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好是的重心，求的值．25．如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以等邊三角形的邊長為半徑，以另兩個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)畫圓弧，由首尾相連的三段圓弧可組成一個(gè)曲線圖形，這個(gè)曲線圖形叫做萊洛三角形．(1)下面結(jié)論中，正確的是________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）萊洛三角形是軸對稱圖形；萊洛三角形上的任意一點(diǎn)到等邊三角形的中心的距離相等；萊洛三角形的每段圓弧所對的圓心角都為；萊洛三角形的面積等于．(2)如果、是萊洛三角形上的兩點(diǎn)，連接、，滿足且，求此時(shí)的正切值；(3)已知、分別是、上的兩個(gè)動點(diǎn)：點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)且速度相同，連接．試表述線段的中點(diǎn)的軌跡．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】本題考查了倒數(shù):乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．利用倒數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：3的倒數(shù)是．故選：C．2．A【分析】本題考查整式的除法及單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，利用整式的除法及單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，合并同類項(xiàng)法則將各式計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，則A符合題意，，則B不符合題意，，則C不符合題意，與無法合并，則D不符合題意，故選：A．3．D【分析】本題考查了平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：由題意得：這個(gè)班的全體同學(xué)的平均分．故選：D．4．B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A、某位成年人身高為1.6米，數(shù)值隨著體重m的值的增加而增加，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、某位成年人身高為1.6米，數(shù)值與體重m的值之間成正比例關(guān)系，原說法正確，符合題意；C、某位成年人身高為1.6米，數(shù)值與體重m的值之間的函數(shù)圖象為第一象限內(nèi)的直線，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、某位成年人身高為1.6米，這位成年人的體重為64公斤，則數(shù)值是25，屬于偏胖，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．5．C【分析】本題考查了兩圓相交的條件，解絕對值不等式以及解一元一次不等式，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由與相交得的半徑滿足不等式，解出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：的半徑長為，，與相交，的半徑滿足不等式：，解得：，故選：C．6．D【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，中心對稱圖形的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．由題意可得：拼成的正多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，分別求出每個(gè)選項(xiàng)中各個(gè)三角形的內(nèi)角，進(jìn)而得到組成的正多邊形的內(nèi)角，再根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式判斷出正多邊形的邊數(shù)，即可求解．【詳解】解：這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)正多邊形不是中心對稱圖形，拼成的正多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，A、頂角是的等腰三角形，則底角為，可能拼成的正多邊形的內(nèi)角為或，但無法對應(yīng)奇數(shù)邊正多邊形的內(nèi)角，故該選項(xiàng)不符合題意；B、頂角是的等腰三角形，可拼成正六邊形，但正六邊形是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、有一個(gè)銳角是的直角三角形，則另一個(gè)銳角為，可能拼成的正多邊形的內(nèi)角需為、或的組合，但無法匹配奇數(shù)邊的正多邊形內(nèi)角，故該選項(xiàng)不符合題意；D、有一個(gè)銳角是的直角三角形，則另一個(gè)銳角為，正五邊形的內(nèi)角為，可由兩個(gè)角組成，正五邊形邊數(shù)為奇數(shù)，且不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．7．3【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪得到，再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：，故答案為：3．8．【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，根據(jù)分式有意義分母不為0，列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，，故答案為：．9．【分析】本題考查無理方程的解法，熟練掌握解無理方程是解題的關(guān)鍵．方程兩邊平方得，再解這個(gè)一元二次方程，得或1，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：把方程兩邊平方，得，整理，得，，解得或1，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，舍去，是原方程的解，所以方程的解是．故答案為：．10．【分析】本題考查了一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于明確一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)判別式．根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：原方程可化為，由題意知解得故答案為：．11．【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．【詳解】解：，故答案為：．12．【分析】本題考查概率公式，根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率．【詳解】解：由題意可得，任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率，故答案為：．13．【分析】本題考查平面向量，平行向量等知識，利用三角形的法則以及相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，解直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得，根據(jù)等邊三角形的判斷得的等邊三角形，所以，，可得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵D是邊的中點(diǎn)，∴，∴的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．15．##【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．連接，，，根據(jù)勾股定理求出，證明四邊形為平行四邊形，得出，證明四邊形為平行四邊形，得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，，，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∵、分別是邊、的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴．故答案為：．16．1600【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，條形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體，先根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出有氧運(yùn)動的占比，再根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出喜歡快走的占比，兩項(xiàng)占比乘以總?cè)藬?shù)即可．【詳解】解：估計(jì)該社區(qū)最喜歡快走的居民大約有：（人）．故答案為：1600．17．【分析】本題主要考查拋物線的頂點(diǎn)式、對稱軸性質(zhì)，以及幾何圖形中三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于理解線段與對稱軸垂直的幾何意義，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算面積比．先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為和對稱軸為直線，再根據(jù)對稱軸性質(zhì)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而求得的縱坐標(biāo)為：，的縱坐標(biāo)為：，再利用底和高的關(guān)系，求出面積比．【詳解】解：∵拋物線方程為，∴頂點(diǎn)為，對稱軸為直線，∵線段、都垂直于拋物線的對稱軸，，，∴線段、為水平方向，中點(diǎn)在對稱軸上，∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的縱坐標(biāo)：，的縱坐標(biāo)為：，∴的面積：底為，高為頂點(diǎn)到的垂直距離，面積為，的面積：底為，高為頂點(diǎn)到的垂直距離，面積為，∴面積比為，故答案為：．18．4或4.8【分析】先過點(diǎn)A作交與點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)以及余弦的定義得出，然后分兩種情況，當(dāng)P在的延長線上時(shí)和當(dāng)P在線段上時(shí)想，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)設(shè)出，，有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，得出，最后根據(jù)余弦的定義求出x，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作交與點(diǎn)F，∵，∴，，∴，分兩種情況：當(dāng)P在的延長線上時(shí)，如下圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵∴設(shè)，則，則，，∴，∵，∴，解得：，則；當(dāng)P在線段上時(shí)，如下圖：同理可設(shè)，則，則，∴，∵，∴，解得：，則，綜上：的值為4或4.8，故答案為：4或4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，學(xué)會分類思考是解題的關(guān)鍵．19．，【分析】本題考查分式化簡求值，先分解因式約分，再根據(jù)同分母分式加減法則把所求式子化簡，最后把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．20．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握求不等式解集的步驟和方法是解題關(guān)鍵．分別求出兩個(gè)不等式的解集，則兩個(gè)不等式解集的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①：，解不等式②：，不等式組的解集為．21．(1)(2)【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理逆定理得到，然后根據(jù)正切的定義求解即可；（2）連接交于點(diǎn)，首先利用勾股定理求出，然后求出，證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）∵∴∴∵，，∴∴∴；（2）如圖所示，連接交于點(diǎn)，∵，，∴∴∵，∴∴∴∴，即∴．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理以及逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．22．(1)(2)見詳解【分析】（1）由題意得，，設(shè)，則，點(diǎn)，即可解答．（2）先畫出和的圖像，再過點(diǎn)B作軸的垂線，分別交兩個(gè)函數(shù)于C、D兩點(diǎn)，再作圓O，長為半徑畫圓交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線垂直于x軸，過E為圓心，為半徑畫圓交直線l于點(diǎn)Q，即可解答．【詳解】（1）解：若，，設(shè)，則，點(diǎn)，∴．（2）如圖：畫圖步驟：①畫平面直角坐標(biāo)系中和的圖像；②過點(diǎn)B作軸的垂線，分別交兩個(gè)函數(shù)于C、D兩點(diǎn)，則，，③以點(diǎn)O為圓心，長為半徑畫圓交x軸于點(diǎn)E．④過點(diǎn)E作直線垂直于x軸；⑤過E為圓心，為半徑畫圓交直線l于點(diǎn)Q．∴Q為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，正比例函數(shù)．23．(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）先證，由，得，即可解答．（2）由四邊形為菱形，得，由，得①，②，由①×②得，，再證和，得到．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形．（2）如圖：∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴①∵，，∴，∴即②由①×②得，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴即．24．(1)①；②點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形重心定理，中點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握以上性質(zhì)并正確作輔助線．（1）①利用對稱軸確定系數(shù)的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線表達(dá)式；②利用圓周角定理確定點(diǎn)的位置，過點(diǎn)做輔助線構(gòu)造直角三角形，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證出，利用列出方程，解方程即可；（2）做輔助線確定的重心，表示出，和相關(guān)線段的長度，證明，利用對應(yīng)邊成比例表示出，設(shè)，則，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和點(diǎn)在直線上，列出方程求解即可求出的值．【詳解】（1）解：①拋物線的對稱軸是直線，，即，將代入拋物線得：，則，解得：，，拋物線的表達(dá)式為；②如圖，連接,以為直徑作圓，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)即為點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，，，，，，，在中，令，則，，直線交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)，則，，，，，，，，即，整理可得：，解得：（負(fù)值已舍去），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，拋物線的開口向下，與軸交于點(diǎn)和，，，即，，拋物線的對稱軸為直線，，，，是的重心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是，，，，，，，，，即，整理得：，設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為