【高中數(shù)學競賽真題•強基計劃真題考前適應性訓練】 專題15 導數(shù)與極限 真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題15導數(shù)與極限真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2018·全國·高三競賽）一個人以勻速去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車時，交通燈由紅變綠，汽車以的加速度勻加速開走，那么（

）．A．人可在內(nèi)追上汽車 B．人可在內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間最近距離為 D．人追不上汽車，其間最近距離為7m【答案】D【詳解】如圖，設(shè)汽車在點開始運動，此時人通過點．經(jīng)過秒后，汽車到達點，有路程；人此時追到點，有路程．依題意兩者的距離是．可見，人不能追上汽車，他與汽車最近距離是在汽車開動后的瞬間，兩者距離為．2．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)各選項的期望，分別判斷、、、在定義域內(nèi)是否存在下凹區(qū)間即可.【詳解】A：由且定義域為，則，，即為上凸函數(shù)，有，所以；B：由且定義域為，則，，顯然上，即在為下凹函數(shù)，，所以存在；C：由，則，，顯然在，上，即在，為下凹函數(shù)，有，所以存在；D：由，則，，顯然存在上，即在為下凹函數(shù)，有，所以存在.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)二階導數(shù)的幾何意義判斷各選項對應函數(shù)定義域內(nèi)是否存在下凹區(qū)間即可.二、填空題3．（2021·上?！そy(tǒng)考模擬預測）______【答案】【分析】把分子分母都放在根號下，再同時除以即可.【詳解】==故答案為:4．（2019·全國·高三競賽）函數(shù)的最大值是______.【答案】.【詳解】設(shè).則.由，得.令.解得（舍去負根）.故.故答案為5．（2018·全國·高三競賽）對，若復數(shù)對應的點有個在單位圓上，則______．【答案】1【詳解】由點在單位圓上有．作函數(shù)．由，知為嚴格遞增函數(shù)．又，故方程在內(nèi)恰有一個實根．因此，．6．（2018·全國·高三競賽）拋一顆色子三次，所得點數(shù)分別為、、.則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率為______.【答案】【詳解】注意到，在上為增函數(shù)等價于在上恒成立，等價于，即.當時，，有3種；當時，，有10種；當時，，有21種；當時，，有30種；當時，，有35種.故所求概率為.7．（2018·全國·高三競賽）已知函數(shù)，其中，.過點作函數(shù)圖像的切線，令各切點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列.則數(shù)列的所有項之和的值為______.【答案】【詳解】設(shè)切點坐標為.則切線方程為.將點的坐標代入切線方程得.令，.則這兩個函數(shù)的圖像均關(guān)于點對稱，其交點的橫坐標也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，方程的根，即所作的所有切線的切點橫坐標構(gòu)成的數(shù)列的項也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對，每對的和均為.因此，數(shù)列的所有項的和.8．（2021·全國·高三競賽）若數(shù)列是首項不為零的等差數(shù)列，則___________.【答案】1或3##3或1.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，則，若為常數(shù)列，則；若不為常數(shù)列，則，故答案為：1或3.9．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）設(shè)，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【詳解】，令，所以，，則時，；時，，所以在上增，上減，，故答案為：.10．（2022·浙江·高二競賽）已知函數(shù)在處的切線方程為，則______.【答案】【詳解】由函數(shù)的解析式可得，則，解得，當時，，即切點坐標為，故，解得，.故答案為：.11．（2019·全國·高三競賽）已知過點的直線與曲線交于兩不同的點、.則曲線在、處切線交點的軌跡為______.【答案】，.【詳解】設(shè)，，點、處的切線為、，交點坐標為，直線的方程為.由.而，.易知的方程為.同理，.故，.又.故所求交點的軌跡為，.故答案為，.12．（2019·全國·高三競賽）設(shè)．則當與兩個函數(shù)圖像相切時，______．【答案】【詳解】因為兩個函數(shù)互為反函數(shù)，且關(guān)于直線對稱，所以，相切時切點在上．設(shè)切點為．則，①．②將式①代入式②得，即．③再將式①代入式③得．故．13．（2019·全國·高三競賽）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.則對滿足的任意實數(shù)，的最小值為__________．【答案】【詳解】由題意，知定義區(qū)間的中點為.于是，.則令，得.由對任意的有，及對任意的有知記則

①由，得即.類似地，由式①得.兩式相加得.當時，上式等號成立.故.故答案為14．（2019·全國·高三競賽）滿足的整數(shù)n=__________．【答案】【詳解】注意到，對任意的有則與的導函數(shù)分別為，.故在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增.且對任意的有.從而，對任意的m、n有.因此，滿足的整數(shù)n必為負數(shù).記，代入題設(shè)等式得.故，.故答案為-201515．（2018·全國·高三競賽）已知函數(shù)的導函數(shù)連續(xù),且.記曲線與最近的點為.則______.【答案】【詳解】記.則.由已知得.則.

①記.而故.對式①兩邊取極限得16．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）已知直線與三次曲線有三個不同交點，則a的取值范圍為___________.【答案】【詳解】依題意得：,即有三個不同解,考慮與相切于,則,結(jié)合圖象可知：.故答案為：.17．（2021·浙江·高三競賽）若，，，，則______.【答案】【詳解】解析:由題意知設(shè),問題轉(zhuǎn)化為:若,求,即與的圖象的兩個公共點的橫坐標設(shè)為求的范圍;如圖所示，易知,所以,所以.故答案為：3.三、解答題18．（2021·全國·高三競賽）已知三次函數(shù)，滿足對任意都有，求的所有可能值.【答案】.【詳解】由題意得：由得：即所以.將代入①，②，③，④得：下面證明符合題意，由，令或，所以在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，且，所以符合題意，的所有可能值為.19．（2023·全國·高三專題練習）求下列極限：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)0(3)1【分析】（1）先將題給代數(shù)式轉(zhuǎn)化為型分式，再利用洛必達法則即可求得其值；（2）先將題給代數(shù)式轉(zhuǎn)化為型分式，再利用洛必達法則即可求得其值；（3）利用已知重要極限和洛必達法則即可求得其值.【詳解】（1）令，則由洛必達法則可得，則（2）令，則由洛必達法則可得，.繼續(xù)用洛必達法則可得，.則=0（3）又時，，則由洛必達法則可得，．則20．（2019·全國·高三競賽）已知,.求最大的正整數(shù),使得對任意的正數(shù),存在實數(shù)滿足,且.【答案】3【詳解】對于正整數(shù),顯然,在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù).于是,對任意的正數(shù),.當時,不等式

①令,則.令,則.故在時為增函數(shù).又,因此,存在唯一的正實數(shù)噸,有.

②于是,,且.故當時,,為減函數(shù)；當時,,為增函數(shù).因此,當時,結(jié)合式②有的最小值為.結(jié)合式①有正整數(shù),.

③下面證明：當時,對,有.

④當時,.令,其中,.則.故為減函數(shù).于是,.因此,式④成立.注意到,的值域為(0,+∞),的值域也為(0,+∞),的值域為R.結(jié)合函數(shù)的圖像,知對任意的正數(shù),存在實數(shù)滿足,且.綜上,正整數(shù)的最大值為3.21．（2022·湖北武漢·高三統(tǒng)考強基計劃）已知函數(shù).若是區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】由,則，又在區(qū)間上是單調(diào)遞增,所以,即在區(qū)間上恒成立.如圖所示，考慮過定點的直線和拋物線在上的兩個臨界位置：當直線與拋物線相切于點時,有（舍去負值）.當與拋物線相交于點時,有綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.22．（2019·全國·高三競賽）在銳角△ABC中，證明:.【答案】見解析【詳解】不妨設(shè)A≥B≥C.由，知式①等價于.記.則.故.從而，.類似地，.將這三式相加，便證明了原不等式.23．（2018·全國·高三競賽）已知實數(shù)、滿足.試求的取值范圍.【答案】【詳解】令，.則已知條件化為.配方得.①觀察滿足式①的在直角坐標系中的圖像，易知.又注意到，.故.記.則當時，于是，在上單調(diào)遞增，易得當時，.綜上，的取值范圍為.24．（2019·全國·高三競賽）已知函數(shù)，的圖像有兩條公切線，且由這四個切點組成的四邊形的周長為6,求實數(shù)a的值.【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的一條公切線分別過切點.則公切線方程為.故，且.注意到，.兩于是，是方程的兩實根.由f(x)與g(x)有兩條公切線，知f(x)與g(x)不相交.因此，.由.設(shè)四個切點坐標為.則，.同理，.故四邊形MNPQ為平行四邊形，且.解得即為所求.25．（2023·全國·高三專題練習）實數(shù)和正數(shù)使得有三個實數(shù)根．且滿足：（1）；（2），求的最大值.【答案】【分析】解法一：設(shè)，，，利用韋達定理可化簡所求式子為，結(jié)合基本不等式可求得最大值，驗證取等條件即可確定結(jié)果；解法二：由可令，，由此可化簡所求式子為，令，，利用導數(shù)可求得，即為所求式子的最大值.【詳解】解法一：由題意可設(shè)：，，，可令，由韋達定理得：，則，，則要取得最大值，則，（當且僅當，即時取等號），又滿足，取，，則，此時，，，，，時，，的最大值為.解法二：，又，，令，，，；令，則，令，則，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當，時，即，，，，，時，，的最大值為.26．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，(1)若，（為常數(shù)），求的解析式；(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求解；（2）由（1）知時，，此時，，將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立求解．【詳解】（1）解：因為，，所以，，解得，所以；（2）由（1）可知，時，，此時，；故時，成立時，成立，對恒成立，即對恒成立；記，則，記，則，記，則，∴當0時，，在上單調(diào)遞增；，所以在上單調(diào)遞增；；∴時，0，即在上單調(diào)遞增；記，，當時，，符合洛必達法則條件，∴，∴時，，∴．【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，往往通過求解或轉(zhuǎn)化為或求解.27．（2019·江蘇·高三校聯(lián)考競賽）證明：對任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，，且等號成立的充要條件是.【答案】證明見解析【詳解】設(shè)，令，則.因此，對任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，有：

①當0<y<1時，，.令，得.由函數(shù)的單調(diào)性，得

②由①②知，對任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)及任意，有：.

③在③式中，令，化簡得：.此時，當時，則.從而，等號成立的充要條件是.28．（2018·全國·高三競賽）已知正實數(shù)、滿足，．求的取值范圍．【答案】【詳解】由．由．又．故．考慮函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，知．于是，．當，時，上式等號成立．由．考慮函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，知．于是，．當時，上式等號成立．綜上，的取值范圍為．29．（2018·全國·高三競賽）已知函數(shù)．記函數(shù)的值域為，且實數(shù)、、．證明：．【答案】見解析【詳解】注意到，當時，均有．于是，在上單調(diào)遞增．故當時，．當時，單調(diào)遞減，．因此，當時，．故．構(gòu)造一次函數(shù)．根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，只需證明和即可．而．因為、，所以，．從而，．又