滬教版八年級數(shù)學(xué)上講義

目錄

第十六章二次根式

第一節(jié)二次根式的概念和性質(zhì)

16.1(1)二次根式的概念

16.1(2)二次根式的性質(zhì)

16.2(1)最簡二次根式

16.2(2)同類二次根式

階段訓(xùn)練1

第二節(jié)二次根式的運(yùn)算

16.3(1)二次根式的加法和減法

16.3(2)二次根式的乘法和除法

16.3(3)二次根式的分母有理化

16.3(4)混合運(yùn)算

階段訓(xùn)練2

本章復(fù)習(xí)題

第十七章一元二次方程

第一節(jié)一元二次方程的概念

17.1一元二次方程的概念

第二節(jié)一元二次方程的解法

17.2(1)開平方法解一元二次方程

17.2(2)因式分解法解一元二次方程

17.2(3)配方法解一元二次方程

17.2(4)公式法解一元二次方程

17.2(5)適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

階段訓(xùn)練3

17.3(1)一元二次方程根的判別式

17.3(2)一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

第三節(jié)一元二次方程的應(yīng)用

17.4(1)二次三項式的因式分解

17.4(2)一元二次方程的實際應(yīng)用

階段訓(xùn)練4

本章復(fù)習(xí)題

第18章正比例函數(shù)和反比例函數(shù)

18.1(1)變量與函數(shù)

18.1(2)函數(shù)的定義域與值域

18.2(1)正比例函數(shù)概念

18.2(2)正比例函數(shù)的圖像

18.2(3)正比例函數(shù)的性質(zhì)

階段訓(xùn)練5

18.3(1)反比例函數(shù)

18.3(2)反比例函數(shù)概念

18.3(3)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)

18.3(4)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(2)

18.4(1)函數(shù)的表示法(1)

18.4(1)函數(shù)的表示法(2)

階段訓(xùn)練6

本章復(fù)習(xí)題

第19章幾何證明

19.1(1)演繹證明

19.1(2)命題、公理、定理

19.2(1)證明舉例(證明平行)

19.2(2)證明舉例(證明線段、角相等)

階段訓(xùn)練7

19.2(3)證明舉例(證明平行、線段及角相等)

19.2(4)證明舉例(證明垂直)

19.2(5)證明舉例(證明添輔助線1)

19.2(6)證明舉例(證明添輔助線2)

19.2(7)證明舉例(文字題的證明)

階段訓(xùn)練8

19.3逆命題和逆定理

19.4線段的垂直平分線

19.5(1)角平分線(角平分線定理及逆定理)

19.5(2)角平分線(角平分線與垂直平分線)

階段訓(xùn)練9

19.6(1)軌跡(定義及三個基本軌跡)

19.6(2)軌跡(交軌法作圖)

19.7直角三角形全等的判定

19.8(1)直角三角形的性質(zhì)(1)

階段訓(xùn)練10

19.8(2)直角三角形的性質(zhì)(2)

19.8(3)直角三角形的性質(zhì)(3)

19.9(1)勾股定理(勾股定理的證明)

19.9(2)勾股定理(勾股定理的應(yīng)用)

階段訓(xùn)練11

19.9(3)勾股定理(勾股定理的逆定理及其證明)

19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其逆定理的應(yīng)用)

19.10兩點(diǎn)的距離公式

階段訓(xùn)練12

本章復(fù)習(xí)題

第十六章二次根式

二次根式的概念和性質(zhì)

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念

【要點(diǎn)歸納】

1、理解二次根式的概念并能判斷一個代數(shù)式是不是二次根式.

2、求二次根式中字母的取值范圍.

3、運(yùn)用二次根式的重要性質(zhì)(&)2=。和|a|進(jìn)行簡單的計算.

【疑難分析】

例1X為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)G+燈(2)、叵(3)

分析二次根式五有意義的條件是anO,(l)中兩個二次根式的被開方式都為非負(fù)時,

字母x取公共部分；(2)注意分式的分母不為零及二次根式被開方式非負(fù)的綜合運(yùn)用；(3)

奇次根式的被開方式的字母取值是任意實數(shù)。

解(1)由x-4-O得x24,由8-x》0得xW8.

所以，當(dāng)4WxW8時，y/x—4-4-—x有意義.

了2+1

(2)由-----20得2—x>0,解得x<2.

2—x

(3)由11—-#0得xW±l且x20.

2—yfx

所以，當(dāng)x20且xWl時，二七有意義.

說明求解這一類問題的方法是由二次根式中被開方式大于或等于零列出不等式，同時

要考慮代數(shù)式成立的條件，要形成看到偶次根式，立即作出被開方式非負(fù)，看到分式立即作

出分母非零的反應(yīng)。

例2化簡：(7^)2+，/-2而+〃

分析要考慮二次根式有意義的條件，發(fā)掘題目中隱含的條件

解由加工有意義可得b》a

所以，原式=b-a+|a-b|=b-a+b-a=2b-2a

說明掌握這個性質(zhì)，寫成絕對值這一步作為必要步驟，不要省略跳步，以免出差錯。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.若G7是二次根式，則a；若有意義,則a.

2.若J(l-C)2=b-l,則b1；若(JT^)2=b—1,貝ijb1.

3.已知y=j2-x+Jx-2+5,則y:x的值為.

4.已知實數(shù)a滿足da-2020+12019-a|=a,則a—2019?=.

5.下列各式中對任意實數(shù)a總能成立的是()

A.|a-1|=a-1B.y[a-y/a=a

C.yfci,—1D?J(1-a#=-.

6.已知a、b、c為實數(shù),且"TTT+|〃_1|+J(2_C)2=0,則+"00+。3的結(jié)果

為()

A.10B.8C.6D.4.

7.在代數(shù)式般，K,亞正,J(-6)2,y/2a-\,右+2,Q^(X?0),

J(x+3)2,J-f_l中,是二次根式的個數(shù)有()

A.4B.5C.6D.7.

8.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義：

(1),2-3x；(2)J]；(3)----------；(4)Jx+4+Jx-3；

\3x-6x-3

(5)」2x+6—](6)J二(7)<6-xT---------；(8)-；.

4^W-22-五5二？

9.已知Jx-2y+5+，2x+y-l=0,求x、y的值.

10.X、y都是實數(shù)，且y<JI萬+>/心+,，化簡二型士f

2y-1

【拓展訓(xùn)練】

11.解方程：|J(X_2)2_“=X.

12.已知：y=-J1-2x+廠+A/尤2-4x+4+44-2+4尤+1,

試求使y的值恒等于常數(shù)的x的取值范圍.

13.已知4jx-1+6yjy-2-10=x+y,

求(2x?y)2°"的值.

第2課時二次根式的性質(zhì)

【要點(diǎn)歸納】

4、理解二次根式的性質(zhì)族=?、歷(a20,b>0)并進(jìn)行二次根式的化簡.

lay/a

5、理解二次根式的性質(zhì)(a>0,b>0)并進(jìn)行二次根式的化簡.

【疑難分析】

例1計算：

164144,、I,八25,?、

(1)J——x---(2)J(-4)x—x(-196)(3)7202-162

V9169V16

分析利用疝=&(a20,bNO)進(jìn)行計算。

(2)J(—4)x||x(—196)=j4x1|xl96=V?xJ||xV^=2x；xl4=35.

(3)血()2-底=J(20+16)(20-16)=j36x4=疝xVZ=6x2=12.

說明計算時，首先注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次被開方式若是加減形式，則應(yīng)先分解

因式化成積的形式才可以運(yùn)用二次根式的性質(zhì)。

例2化簡：(1)ylcr(a-h)2(a<b<O)

解(1)&/(a-Z?)2=■y/(a-楊?^\a\-\a-h\

因為，a<0,a<b即a-b<0,所以，原式二-a(b-a)=a2-ab

/257V25-775|ylV7

~V9/如丁一3|X2|

因為，x2>0,y20,所以，原式=

說明在根式的化簡中，要根據(jù)字母的取值情況進(jìn)行判斷。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.當(dāng)x=3時，2%-“-4%+￡的值是.

4.已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.ba0

化簡cr+個(c-a)~_Q(a+b)~+J(Z?+c)~—.

5.如果J-3)=Rm?Jm—3,那么()

A.me0B.m23C.0WmW3D.m為一t力正實數(shù).

32

6.若Jx+2x=-XA/X+2,則x的取值范圍是()

A.x<0B.x2-2C.—2WxW0D.-2<x<0,

7.使J廝是正整數(shù)的最小正整數(shù)x的值是()

A.1；B.108；C.3；D.12.

8.對于任何實數(shù)a、b,下式中正確的是()

A.\[ab=&?揚(yáng)；B."F=4Z2;

二、F

C.da2+b2-a+b；

vyvyyyvy

9.計算:

(1)V0.04x81；(2)j32x(-3)xl5x(Y)；(3)V3.72-1.22

0.01x64

0.36x324

10.化簡下列各式:

(1)112a2/(a>0)(2)J—o?(a>0)(3)xy/----(x，0,y<0)

VlOOy2

(4)Jx4y+x2y3-2x3y2(x<0<y)(5)J—15nl”—(m20).

YV1.25x0.03

11.用長3cm,寬2.5cm的郵票30枚擺成一個正方形，則這個正方形的邊長是多少？

【拓展訓(xùn)練】

12.已知x=0.44,求二次根式11一%-％2+%3的值

13.已知a+b=-4,ab=l,求。的值.

16.2最簡二次根式和同類二次根式

第1課時最簡二次根式

【要點(diǎn)歸納】

6、理解最簡二次根式的概念，特別是最簡二次根式必須滿足的兩個條件.

7、將非最簡二次根式化為最簡二次根式.

【疑難分析】

例1下列根式中，哪些是最簡二次根式？

V27?,；用,后,J/+/,岳,

分析最簡二次根式的前提條件是二次根式，滿足的兩個條件可簡單地記為：被開方數(shù)

不含分母；被開方數(shù)中因式的指數(shù)小于根指數(shù).

解最簡二次根式有：1用,yjcr+b2,V23.

2

說明+阿中雖然a與b的指數(shù)都是2,但它們都不是被開方數(shù)/+〃的指數(shù)，

所以，工+方是最簡二次根式

例2化簡下列各式為最簡二次根式：

(2)，98x，y，；(3)16；

16x3+36x2y,、

<0)；(5)----------(4x>9y>0).

4x-9y

分析把一個二次根式化成最簡二次根式的一般做法是:把被開方數(shù)分解素因數(shù)或分解

因式；把根號內(nèi)可以開出的因式(或因數(shù))移到根號外面；化去根號內(nèi)的分母.

解⑴7412-402=^(41+40)(41-40)=781=9.

(2)腿.”=J72x2x".丫=7。2后.

75/"'〃2Smn1—

因為-------20且/>0得m20,又因為n<0,所以，原式=--y/6m

22

⑸I16x3+36x2y_卜/(4x+9y)(4x—9y)

5\4x-9y\(4x-9y)(4x-9y)

因為4x>9y>0,即4x-9y>0,所以，原式=———J16--81y2

4x-9y

說明被開方數(shù)為單項式、多項式（能分解成幾個因式的積的形式）和分式時，抓住求

最簡二次根式的步驟，注意因式正負(fù)的判定。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.當(dāng)正整數(shù)>1=時，J薩是最簡二次根式.

2.已知b<0,將，*化為最簡二次根式得

3.要使6+3、=—班有，那么x的取值范圍是.

4.當(dāng)x=3時，二次根式+5x+7的值為JI6,則m=.

5.對于二次根式+9,以下說法不正確的是（）

A.它是一個無理數(shù)B.它是一個正實數(shù)

C.它是一個最簡二次根式D.它的最小值是3.

6.在根式Jsx，>>d'ly,16仕2-9，2a,一f中最簡二次根

式的個數(shù)是)

A.5B.4C.3D.2.

7.當(dāng)a>0時，化簡所得的結(jié)果是)

A.ayfax

8.把下列各式化成最簡二次根式:

(1),25加3；(2)(3)J(_8)2_4X(T)；(4)

(8)J(〃22+“2)2一(加一〃2)2(mn<0)；

【拓展訓(xùn)練】

10.一般地，我們把形如Jm+6的二次根式稱為復(fù)合二次根式，下面介紹此類根式的一

些化簡的方法。若x+y=a,xy=b,則+.如:“+2g=g+1.

例：化簡—27-104

解：原式=也7-2回=后-&=5-V2

請模仿上例化簡以下各式：

(1)718+872；(2)717-1272；(3)也+6.

第2課時同類二次根式

【要點(diǎn)歸納】

1、同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那

么這幾個二次根式叫做同類二次根式.

2、合并同類二次根式時，只要把各根式的系數(shù)相加減，根式部分保持不變.

【疑難分析】

例1下列根式中，哪些是同類二次根式？

阮需，5加榜

分析二次根式一定要化成最簡二次根式后才能判定是否是同類二次根式，同類二次根

式要求化成的最簡二次根式的被開方數(shù)完全相同，而根號外的因數(shù)可以不同.

解V75=725x3=573—A/3；-718=-79^2=-372；

18

1_V3_V3匠二］3a4“2

273-2^3-T；寸方'一寸3①.3—而、

同類二次根式有：V75,-

2

說明關(guān)于同類二次根式判別的最后結(jié)論應(yīng)該是原來的二次根式,而不是它們相應(yīng)的最

簡二次根式.

例2最簡二次根式"引2a+3）與，3。一〃+7是同類二次根式,求a、b的值.

分析由于這兩個根式己經(jīng)是最簡二次根式，說明根指數(shù)為都是2,且是同類二次根式,

則被開方數(shù)相同，即得關(guān)于a、b的方程組。

aH—b=2。=1

解由題意得｛2解得彳_答：a的值是1,b的值是2.

2a+3b=3a-b+7[b-2

例3合并下列各式中的同類二次根式.

(1)3sl40—+3d4.1(2)

分析合并之前先將各因式化成最簡二次根式，是同類二次根式的將系數(shù)相加減.

JH+3忌^=6如」癡+京后吟癡

解(1)原式=3j4x10—

(2)原式=乂容6當(dāng)+36?

說明當(dāng)合并同類二次根式的結(jié)果中的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，一定要用假分?jǐn)?shù)表示.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.判斷題(下列根式若是同類二次根式,請在括號內(nèi)填入“V”，如果不是，填入"X”)：

(

(1)Va和2\/^.()；⑵掙%■)；

(3)2,05和——.()；(4)和7^.()；

2

(5)亞松和()；(6)7^和Jr--V.()：

2.與厄?是同類二次根式的是)

3.下列二次根式中是同類二次根式組的是)

A.血石和2屈;B.7^^和—2，^；

口~4yja2+b2

C.yja--b"和——-——D.—V?Vc和4a%.

aVac

4.下列說法正確的是)

A.同類二次根式一定是最簡二次根式；

B.被開方數(shù)不同的二次根式一定不是同類二次根式

C.任何兩個二次根式都可以化成同類二次根式；

D.兩個二次根式若不是同類二次根式就不能合并.

5.x取4,8,12,16中的時，、后與血是同類二次根式;

6.當(dāng)2=時，最簡二次根式一2」3a—7與3j2a-3是同類二次根式;

7.三角形的三邊長分別為歷厘米，a厘米，j方厘米，那么它的周長為

8.如果最簡二次根式，3。-8和J17-2。是同類二次根式,那么使，4a—2x有意義的x

的取值范圍是；

9.最簡根式33。引2“+6—5與一2"W。一3匕+9是同類根式,那么合并這兩個根式的結(jié)果

為.

10.合并下列同類二次根式：

（1）酒+25-3噂

(3)2ad3ab。-,，27蘇+4ab(b20)；(4)6y/xy—2yjxy3+5&3y(xWO)

【拓展訓(xùn)練】

11.最簡二次根式，4匕-3。和，/|a—2|是同類二次根式,則a、b各取何值？

12.當(dāng)x取什么最小正整數(shù)時，j2x+5與石是同類二次根式?

階段訓(xùn)練1

一、填空題:

1.當(dāng)______________時，三x/2_」x有意義.

x+1

2.當(dāng)_______________________時，代數(shù)式-x+一2下有意義.

2-y/X

3.若J」一是二次根式，則x滿足_____________________.

VX-1

4.化簡：(1)J(2?5)2=；(2)7(273-3V2)2=.

9.若實數(shù)x、y滿足y<V4x-1+Jl-4x-1,則—J"）一）=__________.

1+y\x

10.己知J43-a和布是同類二次根式,則符合條件的整數(shù)a有個，

其中最大值為.

II.已知a=8-1,b=2V2-瓜,c=V6-2,用聯(lián)結(jié)它們得.

12.己知0<x<l,且a+'=7,則-的值為___________________________.

aJa

13.化簡：9-116-2a+,4+3a+J-.

a-b/a1-ab

14.若a>b>0,化簡:a'/_2a2b+ab2

15.若最簡根式”/3廿y+2與3>弋2獷5y+13是同類根式,則x+y

16.若x-5y-4Jxy=0,則土=

y

二、選擇題:

17.下列各組二次根式是同類二次根式的是)

\j9xy3，F(xiàn)(x>0)C.J4yxi,yj2xy(x>0)

A.V72，V48B.D.\jzyx3,y[zy(x>0)

18.下列二次根式中,是最簡二次根式的是()

222

A..52元B-J3yD.y/x-2xy+y

19.若a+|a|=O,則J(a+1了+J(a-的值是)

A.2B.-2aC.2或-2aD.2a

20.若J/+4/=—%J%+4,則x的取值范圍是()

A.x<0B.x>^C.-4<x<0D.-4<x<0

21.將xj-｝根號外的因式移入根號內(nèi),

則得到結(jié)果為()

A.y/-XB.—yl~XC.—y/~XD.Vx

22.如果。、h都是有理數(shù)，且。+岳=(3—2^)2,則()

A.a=119b=—6B.a=179b=-6

C.a=ll,h=-\2D.a=17,h=-12

23.如果一-2a(7+6=_1,則a和b的關(guān)系是()

a-b

A.a<hB.a￡bC.a>bD.a3b

24.代數(shù)式石+HT+JT5的最小值是()

A.0B.1c.1+V2D.不存在

三、簡答題:

nX2-2X2-2c

25.已1r知y=J-----J-----+2,求f+y2的值。

V5x-4\4-5x

26.已知Ovxvl,化簡)~+4——),*

，其中無=125.

29.求a+Z?+c的值.

30.己知：y=Vl-2x+x2+yjx2-4x+4+V4J?4x+1,

試求使y的值恒等于常數(shù)的x的取值范圍.

第二節(jié)二次根式的運(yùn)算

16.3二次根式的運(yùn)算

第一課時二次根式的加法和減法

【要點(diǎn)歸納】

3、掌握二次根式加減法的運(yùn)算過程，將二次根式的加減法歸結(jié)為合并同類二次根式.

4、解常數(shù)項含二次根式的一次方程和不等式.

【疑難分析】

例1計算：

(1)(7108-745)-(7125-^11)(2)4b^+-y[cJb-3a^-^9ab(b<0)

分析計算二次根式加減法，必須先把每個根式都化簡成最簡二次根式，然后再合并同

類二次根式，去括號時注意符號變化。

解(1)原式=J9x4x3-\)9乂5—J25x5+

=6\/3—3V5—5\[5+--^3=——6—8\/5

33

(2)已知b<0,可得a<0

所以，原式=一4，^-2，^+3\/^-3，^=-6〃^

說明二次根式加減運(yùn)算中有括號一般先去括號;二次根式前的因數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)的用假

分?jǐn)?shù)表示；二次根式前的字母因式應(yīng)整理、合并。

例2解不等式或方程：

(I)解方程：V48+5x=V0J2+6^-6x；

(2)解不等式：x-V27<3x->/055.

分析按照解一元一次方程和解一元一次不等式的方法去求解。

解(1)4百+5%=走+60-6x(2)x-3x<3y/3-->/3

52

llx=—x/3-2x<-y/3

52

x一gx>--J3

54

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.計算：回-回=」81a-5aG+3J4a,

a

2.當(dāng)a=3時，代數(shù)式9&+7屈一5J詼的值為

3.求出括號內(nèi)的代數(shù)式的，使等式成立:

)一2后—(44—屈)=-36,

(1)(

I-)

生(y>0)

(2)---J9x—2()]=

xy

4.若等腰三角形兩條邊長分別為60和病，則它的周長為

7

5.已知b<0,化簡：Va+2=

6.下列計算正確的是)

A.3+血=30B.3y/2a+3y/ia=3yf5a

C.myJa-ny[a-m-nyfaD.125a=9質(zhì).

a

7.在下列各組二次根式中，不可以合并的是()

A.巫與同B.C.V12與V18D.扃與取.

2

8.計算:

(1)-(V108-—)-2(^—-->/27)(2)(3A/O?5：)—(2JO.125一病)

33

72---6,今（b<0）

(3)(@—《+2+76)(4)+5yJax—4^

+'y]m3n（m<0）

9.化簡求值:

（1）ajl2ab*一（J3a'+圖3ab。+5ad8a%（其中a=3,b=2）

/八,114m-nm+9n-6dmnmdm+ndn八…上

（2）已知m=一，n=-,求〒~~-=+—=——蘆-------J—的值.

28yjm-ylny/m-3\Jnm-ylmn+H

10.解下列方程(組)或不等式:

2

(1)解不等式：3x—農(nóng)7<6元+國3x-y

(2)解方程組：<

2

x+3y=-7%

【拓展訓(xùn)練】

11.解不等式：J而一扃通

第2課時二次根式的乘法和除法

【要點(diǎn)歸納】

5、掌握二次根式乘除運(yùn)算的法則，正確表達(dá)運(yùn)算的過程.

6、二次根式的積、商都要化成最簡根式.

【疑難分析】

例1計算：

(1)行+后(2)^J(a+b>0)

V3a\a2-b2a\a-ba

分析二次根式的乘除運(yùn)算，只要系數(shù)與系數(shù)相乘除，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘除，約

簡后再化成最簡二次根式。

解(1)原式=屈忌H而

jaa+b、/aa-b1a+b/11，八、

(2)原式=(-----------)1------------------=----I-------=一z+

ahaN(a+b)(a-b)a+baah'(a+Z?)?7ab

b/筆時，應(yīng)該把2與

說明二次根式乘除運(yùn)算時，+一—乘積作為除數(shù).

aVa-baa-b

例2已知等腰三角形的周長是2瓶+亞，面積為巫，且其中一邊的長為

2

求該等腰三角形底邊上的高。

分析等腰三角形的周長及一邊已知，求另一邊時有兩種可能，即癡為腰或底，又

已知三角形面積，可求底邊上的高。

解若屈為腰，則底為2加+&-2&U(即&),此三角形符合題意

則底邊上的高為----x2+V2=----

22

若可為底，則腰為2屈+J5一廂(即回+6),此三角形符合題意

22

則底邊上的高為——x2-5--$/10=—―

22

...Adr告、1V30ly/6

答：底邊上的高為----或----

22

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

I.計算：也義瓜=

2.(V3-2)20l0-(2+V3)20"=.

3.若三角形一邊是屬cm,這邊上的高是病cm,則這個三角形的面積為.

4.若x>0,y>0,則化簡^y

5.設(shè)a,b為有理數(shù)，且28?=百+1,則2=__________，b=

3-?V3

6.下列計算錯誤的個數(shù)是)

①4亞-2非=8非；②4百?4收=4指;

③"屈=囪一"=1；④牝g=3夜-1.

V2

A.1B.2C.3D.4.

7.計算

(2)—>/6,4

2

(7)(V18+V48)x(V2-Vi2)-(V3-V2)2

8.解下列方程或不等式:

（1）解方程：Jl?x=j3|?（一回）

（2）解不等式：顯＞3亞x-6C

【拓展訓(xùn)練】

9.己知9+至與9-屈的小數(shù)部分分別是a和b,求ab-3a+4b+8的直

10.求比（遙+遙-大的最小整數(shù)

第3課時分母有理化

【要點(diǎn)歸納】

7、明確分母有理化的含義.

8、利用分母有理化進(jìn)行除式為一個根式的除法運(yùn)算.

【疑難分析】

例1將下列各題分母有理化

分析常用的有理化因式有(1)而大與而兀(疝/與JR)；

(2)&+揚(yáng)與&-揚(yáng)；(3)。揚(yáng)+c曰與a〃-cg。

33-V3

*一2：

色)2x+377=(2"+352=4/+12x77+9-

2%-3,/7-(2%-3V7)-(2x+3Vy)-4x2-9y

(3)—==Q…由

\l2a+h

乙、1212(72+734-75)12(夜+G+石)?布

友+6-6-(a+G-石)(夜+6+6)-2V6-V6

=2^+372+730

說明找有理化因式主要利用了(Gy=a和平方差公式。

例2解下列各題：

(1)計算：V6-i-(,^3+V2)；(2)解不等式：2(x+1)—V2<V6(x—1)

解(1)A/6(V3+V2)(2)2x+2—\/2<A/6X—5/6

=7￡=血&一揚(yáng)(2-V6)x<V2-V6-2

>/3+V23—2

4^+10-5A/2

=3亞-2g

說明除法沒有分配律，當(dāng)除式是一個根式時，常常用分母有理化進(jìn)行除法運(yùn)算；解不

等式時，特別注意變號的情況。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1,把下列各式的有理化因式填在括號內(nèi)(每式只需寫出一個有理化因式).

(1)4a()；(2)727()；(3)J3a-4b()；

(4)V5-7();(5)—Hyfh();

(6)2。+dci+1-1()；(7)1+>/2+V3+>/6().

2.把下列各式分母有理化.

2,、4a2—9

(1)⑵邛(3).；

常1-V2J2a-3

Vx-l-Vx+lx-)'

(4)盧沁*q

3+Jxg+g'Xy[y-y4x

x4x+yy[yzo)G+石8+2屏-9-布

(7)

\[x+^/y3一回+岳'6+6-逝

3.比較大?。?73-71030—4.

4.己知x=J?—G,y=J^+G,貝——1)的值為.

%y

5.已知X:畢4,yWW,則丁+丁的值為_____________________.

V2-V3-V3+V2

6.不等式2(x-l)<V5x的解集為.

7.設(shè)約+5的整數(shù)部分為q,小數(shù)部分為卜則的值為()

V3+1

A.13+2百B.11+26C.11-273D.13-273.

8.下列說法正確的是

B.2J7-3#>的有理化因式一定為2s+3#)

C.a?-久方與小丘+久方互為有理化因式；D.y/a-h的有理化因式可以是Ja+J.

9.M=，a+l-G,N=y[a->Ja-\,其中a>l,貝！I()

A.M=N；B.M>N；C.M<N；D.M、N的大小由a決定.

10.計算下列各題：

1]

---------------1--------------------------(2)

V3+V2V2-1>/3+lx—y/l+x~X+Jl+X2

111

(3)------1-----------bH----------------

2+后3V2+2V3…100799+997100

【拓展訓(xùn)練】

11.設(shè)x=￡Ej一坐,y=^EI+磨(n為正整數(shù))，如果2^+214孫+2/=2010

5/〃+1+5/幾yjn+1-\Jn

成立，求n的值.

第4課時二次根式的混合運(yùn)算

【要點(diǎn)歸納】

9、掌握二次根式的加減乘除混合運(yùn)算.

10、在二次根式運(yùn)算中，實數(shù)運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序的規(guī)定都適用.

【疑難分析】

例1計算下列各題：

(1)(夜+26-府(夜-26+府+膽唾

V6-V3

/c、rrb--Jab.bh.a+b

(2)Wa+-jn=~—+-=—)+~i=

sja+\lb\Jab+b7ab—b7ab

分析利用標(biāo)戶=(出?尸計算，可以使運(yùn)算簡便；對各式熟練地進(jìn)行變形，能約分

的先約分，使運(yùn)算簡便

解(1)原式=[(0)2—(2百-V6)2]2+避+避)-=(2—12+120-6尸+3+20

=288+256-3840+3+20=547-382夜

/…a+b2y[aba+ba+ba-by[ab4a—\[b

(2)原式=亍——尸+-----+—j==—j=——7=——7=----=-------

\ja+yjba—byjaby/a+y)b2y]aba+h2

說明二次根式的混合運(yùn)算首先要注意運(yùn)算順序：先乘除，后加減，有括號的先算括號

里的。其次要把各根式都化成最簡二次根式。

例3已知9+Jj不與9一屈的小數(shù)部分分別是a和b,求ab-3a+4b+8的值.

分析一個代數(shù)式的小數(shù)部分等于該式減去該式的整數(shù)部分

解9+J官的小數(shù)部分。=9+拒—12=屈—3,

9一J巨的小數(shù)部分6=9—拒―5=4—相，

ab-3a+4b+8=(?+4)0-3)+20=(V13+1)(1-V13)+20=1-13+20=8

例4已知x=2—y=2+百，化簡并求值：(.'+乃J).工—廣]

Jx+JyYx7yy/x

初15T(?+77)(?-折+1&x+y[xy

解原式=---------j=--7=-------------=-------

ylx-yjyx-y+\x-y

當(dāng)x=2—6，y=2+后時，原式=上￡=上叵

-2V32

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.計算：(行-26)Q舟幣)=；(7&-1)(&+2)_.

，/mV2幣+#>_3>/2-2V3_

2.化間：----f=—____________;-7=---________________；7=產(chǎn)-------------

2-6幣-也3V24-2V3

1

3.若。=—?b=—3=,則—勿6+/?~的值為.

V3+2V3-2

4.2-45的絕對值