第四講 穩(wěn)恒磁場(chǎng).ppt

1、奧運(yùn)會(huì)物理競(jìng)賽講座第四屆：磁場(chǎng)、葉邦角、安培通過(guò)四個(gè)著名的“顯示零”實(shí)驗(yàn)，得到了兩個(gè)電流元件之間的相互作用公式。 另一方面，安培定律，電流元件對(duì)電流元件的力為：考慮到電流元件的方向，這個(gè)公式的正確性不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。 雖然得不到穩(wěn)定的電流要素，但在計(jì)算兩線圈的力時(shí)是正確的。 當(dāng)在表達(dá)式中添加任何附加項(xiàng)時(shí)，附加項(xiàng)不會(huì)影響結(jié)果，只要附加項(xiàng)的任何閉合路徑的總和為零，并指示該表達(dá)式不是唯一的，而是最簡(jiǎn)單、最合理的形式。 通常，電流元件之間的相互作用力不一定滿足牛頓第三定律。 這是因?yàn)閷?shí)際上沒(méi)有孤立的穩(wěn)態(tài)電流元件，它們總是封閉著環(huán)的一部分。 閉合線圈整體的力總是與反作用力大小相同，方向相反。 無(wú)限長(zhǎng)直

2、線導(dǎo)線對(duì)l長(zhǎng)導(dǎo)線施加的力為：探索電流源：引入不改變空間的磁場(chǎng)分布，類似于探索點(diǎn)電荷，但這種電流源并不存在。 b的單位：牛頓/(安培米)，或特斯拉(t )，1T=104Gauss，磁感應(yīng)強(qiáng)度b :反映磁場(chǎng)自身特性的物理量，磁場(chǎng)為矢量場(chǎng)。 二、磁感應(yīng)強(qiáng)度，1 .磁場(chǎng)疊加原理，自由力疊加原理，有：線電流中的電流元件IDl在I0Dl0產(chǎn)生的磁場(chǎng)為DB :2 .磁感應(yīng)強(qiáng)度，得：疊加原理，有：【例】無(wú)限長(zhǎng)直線電流I，距離I從r0到一點(diǎn)P1的磁場(chǎng)。 【解】、因此：作為輔助線，以p點(diǎn)為中心，以r0為半徑畫一個(gè)圓，在直線上電流要素的兩端分別與p點(diǎn)連接，在圓上切斷弧要素，與長(zhǎng)度為dl有幾何關(guān)系：對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的直線，

3、磁場(chǎng)的方向如圖所示，半徑為a的圓形電流I，在軸線上距離為x的【解】為了對(duì)稱性，x軸上的p點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度僅為x成分，其馀成分被抵消，與軸線所成的角度都為q，電偶極子和磁偶極子場(chǎng)的比較并不一定是圓形電流，可以是任意形狀的閉電流，【例】通電螺線管軸線上的磁場(chǎng)，每單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為n 在z中圓電流InDz為Z1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度是均勻的磁場(chǎng)，在兩個(gè)端點(diǎn)，磁場(chǎng)減半，半無(wú)限長(zhǎng)、三、磁場(chǎng)的基本定理、1 .磁通量、磁通量單位為韋伯(Wb )，1Wb=1T/m2磁通量也同樣滿足疊加原理。 的雙曲正切值。 2、高斯定理、高斯定理：通過(guò)任何閉合曲面s的磁通等于零，即：物理意義：反映磁場(chǎng)的“被動(dòng)性”，即不存在孤立磁。

4、研究：對(duì)于任意通電電路，磁力線管的截面一般不均勻。 因?yàn)榇艌?chǎng)高斯定理對(duì)線電流、面電流和體電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)都成立，磁場(chǎng)遵循疊加原理。 高斯定理表示磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，或自然界中不存在磁負(fù)載。 磁場(chǎng)到處都是被動(dòng)的。 3 .安培環(huán)路定理、安培環(huán)路定理：沿著任意閉合曲線l的磁感應(yīng)強(qiáng)度環(huán)流反映了通過(guò)l的電流強(qiáng)度代數(shù)和的0倍，即磁場(chǎng)的“有旋轉(zhuǎn)性”。 I的正負(fù)由電路l的迂回方向用右手法則規(guī)定。 設(shè)定l迂回方向后，采用右手法則，如果4根手指沿著l方向，則電流方向與山姆的手指一致時(shí)為正，相反為負(fù)。 圓形無(wú)限長(zhǎng)直線導(dǎo)線、截面半徑r、電流I均勻地流過(guò)導(dǎo)體的截面，求出導(dǎo)線內(nèi)外的磁場(chǎng)分布。 【解】根據(jù)對(duì)稱性，磁感應(yīng)強(qiáng)度b的大小

5、只與從觀察點(diǎn)到圓柱軸線的距離相關(guān)，可以判定沿著圓周方向的切線。 rR的情況下，【例】將由均勻的細(xì)導(dǎo)線組成的圓環(huán)上的任意2點(diǎn)a和b連接到固定的電源上，線的延長(zhǎng)線通過(guò)圓心，求出圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 【解】因?yàn)橹本€導(dǎo)線的延長(zhǎng)線通過(guò)中心，所以在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。設(shè)AB之間的電壓為u，單位長(zhǎng)度的電阻為r，圓弧q在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以視為各部分重疊。 因?yàn)椋弘娏髦荡肷鲜降脑?，得到：但是兩者的方向相反，所以合磁?chǎng)為零。 【例】搭載了電流I的引線如圖所示彎曲成環(huán)，兩側(cè)為2a的平行直線，另外兩側(cè)為半徑r的圓弧，求出了中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 【解】有限長(zhǎng)直線導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：其中，q2=p-q

6、1，因此2根等長(zhǎng)直線導(dǎo)線為中心產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：圓弧為中心產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：圓弧為中心產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：由此，總磁感應(yīng)強(qiáng)度為：【例】電流均勻地通過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的平面導(dǎo)體薄板，兩側(cè)根據(jù)電流分布的對(duì)稱性，兩邊等距離下的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等，是相反方向。 作為矩形環(huán)，如圖所示，求出無(wú)限長(zhǎng)螺線管內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 設(shè)電流強(qiáng)度為I，每單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為n。 作為圖中的積分電路，對(duì)稱性、管外B=0、管內(nèi)b為常數(shù)：【例】表面絕緣細(xì)的導(dǎo)線緊密地纏繞在“驅(qū)蚊”型平面區(qū)域上，總匝數(shù)為n匝，內(nèi)外半徑分別為a和b，在導(dǎo)線中流過(guò)電流I時(shí)，求出在中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 【解】圓環(huán)在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：r，Dr寬的環(huán)帶的圈數(shù)為：電流為：這些電

7、流在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：因此：數(shù)學(xué)上：【例】在半徑為r的絕緣球上密集地卷繞粗細(xì)均勻的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面相互平行，且用單層線圈將半球面【解】半球面上的線圈可以看作是多個(gè)半徑不同的圓環(huán)在圓心上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加。 如圖所示：n匝的線圈將半球面分割為n部分，與各線圈對(duì)應(yīng)的角度為：因此，【例】在半徑a的圓柱形的長(zhǎng)直線導(dǎo)線上挖出半徑b的中空管部分(a2b )，兩軸線平行，距離為d，電流均勻地分布在管的截面上，電流為I時(shí)，求出中空管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度【解】中空管的存在失去了電流分布的對(duì)稱性，采用“填補(bǔ)法”，中空管的部分等效于電流密度為j和-j的電流同時(shí)存在，二空間的任意點(diǎn)的電場(chǎng)由兩個(gè)圓柱形長(zhǎng)直線導(dǎo)線的磁

8、場(chǎng)重疊而成。 的雙曲正切值。 安培環(huán)路定理，有：注意兩個(gè)方向，有：【例】同軸電纜，中心是半徑a的圓柱形導(dǎo)線，外部是內(nèi)半徑b，外半徑c的圓筒，內(nèi)外導(dǎo)體電流相對(duì)流過(guò)，電流強(qiáng)度I，求出各地區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 【解】從對(duì)稱性和安培環(huán)路定理出發(fā)，4、磁場(chǎng)和物質(zhì)的相互作用、1 .洛倫茲力、安培定律上，流過(guò)電流的導(dǎo)線在磁場(chǎng)中有受力的作用。 導(dǎo)線中的電流是由導(dǎo)體中的自由電子的方向性運(yùn)動(dòng)形成的。 已經(jīng)明確了運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中也受到力。 根據(jù)安培定律，可以估計(jì)每個(gè)運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中受到的力。 洛倫茲力，任一個(gè)電流要素IDl在磁場(chǎng)中b受到的力為：另外I=nqvS，s是電流要素的截面積。 因此：該電流元件中運(yùn)動(dòng)

9、的帶電粒子數(shù)為： DN=nSDl，所以每個(gè)運(yùn)動(dòng)的帶電粒子為：粒子帶正電，v與Dl方向相同的粒子帶負(fù)電，v與Dl相反。 因此，上式、帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)存在的空間受到的力，該式也稱為洛倫茲力。 2 .帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力不起作用：所以粒子的動(dòng)能和速度不會(huì)因洛倫茲力而改變。 變化的只是粒子的速度方向。均勻磁場(chǎng)中：粒子的運(yùn)動(dòng)方程式為功率：均勻磁場(chǎng)，b為常數(shù)，B=Bez時(shí)，帶電粒子在xy平面上運(yùn)動(dòng)，橫均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和帶電粒子的速度相互正交的磁場(chǎng)稱為橫磁場(chǎng)，橫均勻磁場(chǎng)中的帶電粒子以洛倫茲力進(jìn)行圓運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑為：圓運(yùn)動(dòng)的周期為： 縱向均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和帶電粒子速度相互平行的磁場(chǎng)稱

10、為縱向磁場(chǎng)，速度和磁場(chǎng)方向平行，洛倫茲力為零，帶電粒子進(jìn)行等速直線運(yùn)動(dòng)。 任意方向的均勻磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度和帶電粒子速度的角度為q，v可以分解成與b和b垂直的兩個(gè)成分。 一個(gè)成分做圓周運(yùn)動(dòng)，一個(gè)成分做等速直線運(yùn)動(dòng)，合成的結(jié)果是螺旋運(yùn)動(dòng)。 在軸對(duì)稱、緩慢的不均勻磁場(chǎng)中，取小的圓柱高斯面，根據(jù)高斯定理：Br的出現(xiàn)，z方向的運(yùn)動(dòng)方程式：或者r在z軸上，B=BZ，因此帶電粒子由圓運(yùn)動(dòng)的磁矩：上式得到：即帶電粒子緩慢同樣，可以證明存儲(chǔ)任何時(shí)間、空間上緩慢的磁場(chǎng)、粒子磁矩。 利用速度的可保存性，有如下情況：因此，只要粒子的旋轉(zhuǎn)半徑r對(duì)不均勻磁場(chǎng)遠(yuǎn)小于磁場(chǎng)的不均勻尺度，粒子的運(yùn)動(dòng)仍可視為沿磁感應(yīng)曲線的方向或反方向

11、的螺旋運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)半徑和螺距不斷變化。 在這種情況下，粒子的速度不變，v的垂直成分和平行成分不變，但粒子的旋轉(zhuǎn)磁矩依然保存不變。3 .磁場(chǎng)的聚焦作用、磁鏡的聚焦、最弱處的磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)為B0，該處的速度和b的角度設(shè)為q，鏡點(diǎn)的b應(yīng)該滿足磁矩保存條件：設(shè)磁鏡的極大磁場(chǎng)為Bm，則捕獲發(fā)射角比qm大的粒子：Rmi q0 )由于洛倫茲力F2，F(xiàn)2在徑向上離開(kāi)z軸，電子具有使r軌道變大的傾向，vr，vz，F(xiàn)2表示電子速度的徑向成分vr往復(fù)地改變方向，電子和原點(diǎn)的徑向距離r超過(guò)r，或接近r。 由于環(huán)狀磁場(chǎng)b穩(wěn)定而不工作，所以在電子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保存動(dòng)能，電子受到的洛倫茲力在與b平行的方向(即vj方向)上沒(méi)有分量，

12、所以不產(chǎn)生圍繞z軸的力矩，所以在電子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保存角動(dòng)量的z分量Lz，vz的變化規(guī)則依賴于z方向的運(yùn)動(dòng)方程式，電子為v=(當(dāng)以vj，vz )運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)牛頓的第二定律存在：t=0時(shí)，r=R，vz=0，有：r方向上的偏差的極大和極小的條件是：且，如果將(5)(6)(7)代入(4)，則：或：其解相對(duì)于：r，r1是有限的。 在長(zhǎng)度l、半徑r的圓柱中，在軸線方向上流過(guò)均勻的電流I (電流密度I )，如果有高能量粒子束，則各粒子具有與圓柱的軸平行的運(yùn)動(dòng)量p和正電荷q，從左側(cè)與圓柱的一端沖擊. 忽略圓柱材料本身對(duì)粒子的減速和散射作用，【解】圓柱電流在柱內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：方向?yàn)轫槙r(shí)針，在距粒子束的中心軸距離r0的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B1，y0時(shí)根據(jù)電荷保存而知道：根據(jù)運(yùn)動(dòng)量保存的規(guī)律，粒子a為y 因?yàn)榱Ｗ觓、b帶電量的符號(hào)相反，所以在磁場(chǎng)中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)方向相反的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 粒子a在B1區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的旋轉(zhuǎn)半徑ra和