結構力學 靜定梁的內力分析

1、.,第三章,靜定梁的內力分析,.,靜定梁有單跨靜定梁和多跨靜定梁。靜定梁是基本的結構形式。本節(jié)通過單跨靜定梁，復習桿系結構內力概念及內力計算基本方法；通過多跨靜定梁，了解靜定結構幾何組成對內力計算的影響，掌握靜定結構內力分析的基本途徑和方法。,.,第一節(jié),單跨靜定梁,.,伸臂梁,簡支梁,懸臂梁,單跨靜定梁,.,(a),(b),(c),(d),.,1.結構的內力概念,結構的內力反映其受力后結構內部的響應狀態(tài)（產生應變及相應的應力）。桿件結構的內力為桿件（垂直桿軸的）橫截面上分布的應力，可以用一個合力來表示。在桿系結構的內力分析中，將這個合力分解成作用在橫截面中性軸處的三個分量即軸力、剪力和彎矩。

2、,.,典型桿件截面上的內力,1.軸力（FN）,3.彎矩（M）,2.剪力（FQ）,.,軸力(FN),橫截面上應力在截面法線（桿軸）方向上的投影（或橫截面上正應力）的代數(shù)和稱為軸力。軸力使隔離體受拉為正（與截面法線方向相同）。,.,剪力（FQ）,橫截面上應力在截面切線（垂直于桿軸）方向上的投影（或橫截面上切應力）的代數(shù)和稱為剪力。剪力使隔離體順時針轉動為正（左上、右下）。,.,橫截面上應力（或橫截面上正應力）對截面中性軸的力矩代數(shù)和稱為彎矩。規(guī)定彎矩的豎標畫在受拉側。,彎矩（M）,.,桿件截面上的內力定義圖,.,.,靜定結構內力計算基本方法和步驟：,靜定結構的內力計算可歸納為，選隔離體、建立隔離體

3、的靜力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。內力計算基本方法為截面法。,.,內力計算的一般步驟,1.計算結構的支座反力和約束,取結構整體（切斷結構與大地的約束）、或取結構的一部分（切開結構的某些約束）為隔離體，建立平衡方程,.,(2)計算控制截面的內力（指定截面的內力）,用假想的平面垂直于桿軸切開指定截面，取截面的任意一側為隔離體并在其暴露的橫截面上代以相應的內力（按正方向標出），建立平衡方程并求解,.,(3)繪制結構的內力圖,(a)彎矩圖,(b)剪力圖,(c)軸力圖,.,在靜定結構的受力分析中，正確有序地選取隔離體是解題的關鍵。,取隔離體的要點是，要保證隔離體的完全隔離，即隔離體與結構其他部分

4、的所有聯(lián)系都要切斷。,1,2,.,隔離體上原有的已知力（荷載和已求出未知力）要保留，不能有遺漏。,隔離體上與其他部分聯(lián)系的截斷處，只標舍去的其他部分對隔離體的作用力。,3,4,.,例3-1-1用截面法，求圖(a)所示伸臂梁截面1上的內力。,(a),(b),.,解,1)求支座反力,去掉支座約束，取整體為隔離體，見圖(b)。建立隔離體的平衡方程并解之：,.,（箭頭標出實際方向）,(),.,箭頭標出實際方向,(),.,由,可校核所得支座反力。,箭頭標出實際方向,(),.,截開截面1，取右側為隔離體，見圖（c），建立平衡方程并解之：,2)求截面1處的內力,(c),.,(d),.,用文字寫明受拉側,取截

5、面1右側為隔離體計算可得同樣結果,.,3.直接法求指定截面的內力,由例3-1-1內力計算結果分析，指定截面的內力可用該截面一側的外力直接表示，即：,.,軸力（FN）,截面一側所有外力在指定截面法線方向投影的代數(shù)和，以與截面外法線方向相反為正。,.,剪力（FQ）,截面一側所有外力在指定截面切線方向投影的代數(shù)和，左上、右下為正。,.,彎矩（M）,截面一側所有外力對指定截面形心力矩的代數(shù)和。,.,例3-1-2用直接法，求例3-1-1圖(a)所示伸臂梁截面2上的內力。,(a),.,解,支座反力計算同例3-1-1。內力可由右圖所示受力圖直接計算：,.,取截面2左側：,用文字寫明受拉側,.,取截面2右側：

6、,用文字寫明受拉側,.,4.荷載與內力的關系(未考慮沿桿件軸向的荷載作用),圖3-1-3,對于直桿段上，見圖3-1-3,荷載與內力之間有下列關系：,.,圖3-1-4(a),(1)微分關系,在圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段截取微段dx，見圖3-1-4(a),建立微段的平衡方程：,.,(a),(b),.,由(a)、(b)兩式得:,(c),以上三式，為荷載與內力的微分關系。式(b)忽略了二階微量。,.,微分關系的幾何意義,若直桿段上無荷載作用，則剪力圖是與軸線平行的一條直線，彎矩圖是一條斜直線；,.,若直桿段上作用均布荷載，則剪力圖為一條斜直線，彎矩圖為拋物線,.,若直桿段上作用三角形分布荷載

7、，則剪力圖為拋物線，彎矩圖為三次曲線；,以此類推,.,(2)荷載與內力的增量關系,在圖3-1-3所示桿件上，取含有集中力和集中力偶在內的微段dx，見圖3-1-4(b)，建立微段平衡方程：,圖3-1-4(b),.,(d),以上兩式，為荷載與內力的增量關系。式(e)忽略了一階微量。,(e),.,增量關系的幾何意義,在集中力作用點（集中力垂直與桿軸或有垂直于桿軸的分量）兩側截面，剪力有突變，突變值即為該集中力或垂直于桿軸的分量；彎矩相同。,.,在集中力偶作用截面兩側，彎矩有突變，突變值即為該集中力偶；剪力相同。,.,(3)荷載與內力的積分關系,取圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段（AB段），見圖3

8、-1-5，建立平衡方程并求解：,圖3-1-5,.,(f),(g),即,.,以上兩式，為荷載與內力的積分關系。,注：,式(g)原式等號右側的第二、三項可寫成：,(f)、(g)兩式又可又前述微分關系得出,.,積分關系的幾何意義,有連續(xù)分布荷載（荷載垂直于桿軸）的直桿段AB，B端的剪力等于A端的剪力減去該段分布荷載圖的面積。B端的彎矩等于A端的彎矩減去該段剪力圖的面積。,.,5.區(qū)段疊加法作彎矩圖,疊加法的基本含義是，若結構在線彈性階段且為小變形時，若干荷載作用下結構的內力或位移，可由各荷載單獨作用下的內力或位移疊加求得。自然彎矩圖（剪力圖、軸力圖）也可按疊加法得到,.,根據疊加法的基本含義，下圖(

9、a)右所示簡支梁在兩端力偶和均布荷載所用下，其總彎矩圖（圖(a)右）等于，兩端力偶、均布荷載分別單獨作下彎矩圖（圖(b)右、圖(c)右）的疊加。(見下頁),(1)簡支梁的彎矩疊加法,.,圖3-1-6(a),.,圖3-1-6(c),圖3-1-6(b),.,將先分別計算和繪制各荷載單獨作用下的彎矩圖后再疊加的過程在總彎矩圖上一次完成，其步驟是:,梁的軸線為原始基線，將梁兩端的彎矩豎標連以直線。,1,.,2,上一步所作的直線為新的基線，疊加梁中部荷載作用下的彎矩圖。,.,簡支梁在兩支座端有外力偶作用時，梁兩端截面有等于該端力偶的彎矩，無外力偶在端部作用時端部截面的彎矩為零。所以簡支梁兩端支座處的彎矩

10、值豎標可直接繪出。,.,注,1）圖的疊加是彎矩豎標的疊加，而不是圖形的簡單疊加。,2)每疊加一個彎矩圖，都以緊前一次彎矩圖外包線為新基線，并由此基線為所疊加的彎矩圖的拉壓分界線。見圖3-1-6。,.,（2）區(qū)段疊加法作彎矩圖,指結構的任意一段直桿段的彎矩圖疊加方法。見下圖3-1-7圖(a)上所示一剛架結構，要繪制直桿AB區(qū)段的彎矩圖。,.,圖3-1-7(a),將直桿段AB取出，見圖(a)右，兩端截開截面上的彎矩MAB、MBA已求出（其它桿端內力也可求出）。,.,另做一與區(qū)段AB等長的簡支梁，見圖(b)左，其上作用有桿端力偶MA、MB和與剛架相同的均布荷載q。,圖3-1-7(b),.,比較(a)

11、右、(b)右兩受力圖,若簡支梁的桿端外力偶分別等于區(qū)段AB兩端的彎矩，即，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，區(qū)段AB兩端的剪力與簡支梁的支座反力將相等，即，F(xiàn)QAB=FAy,FQBA=FBy,.,又由于區(qū)段AB兩端的軸力在彎曲小變形的假設下對彎矩不產生影響,從彎矩圖的角度說，(a)右、(b)右兩受力圖是相同的。,所以,.,區(qū)段AB的彎矩圖可以利用與簡支梁相同的疊加法制作。其步驟相類似：,求出直桿區(qū)段兩端的彎矩值，在桿軸原始基線相應位置上畫出豎標，并將兩端彎矩豎標連直線。,1,.,在新的基線上疊加相應簡支梁與區(qū)段相同荷載的彎矩圖。（相應簡支梁，指與所考慮區(qū)段等長且其上荷載也相同的，相應于該區(qū)

12、的段簡支梁）,上述方法既為直桿區(qū)段彎矩圖的疊加法。,2,.,例3-1-3計算圖示簡支梁，并作彎矩圖和剪力圖。,.,解,去掉支座約束，以整體為隔離體，由靜力平衡條件,得,1)求支座反力,.,(),(),(a),.,2)計算控制截面彎矩值,(下側受拉),取D截面以左,.,取C截面以右,(下側受拉),.,3)作內力圖,彎矩圖：見圖(b)（下頁），以梁軸線為基線，畫出控制截面彎矩豎標并連以直線；分段疊加各段相應簡支梁的彎矩圖，并計算各段中點的彎矩值。,.,AD段中點：,DC段中點：,(b)M圖,.,(c)FQ圖,剪力圖：見圖(c)，按圖(a)外力從梁的任意一端開始逐段繪制。注意剪力正負號的確定。,.,

13、例3-1-4計算圖示伸臂梁，并作彎矩圖和剪力圖。,.,解,1)求支座反力（略）,(a),.,2)求控制截面彎矩值,取截面C以右：,上側受拉,.,3)作內力圖,各區(qū)段中點彎矩值：,AC段中點：,上側受拉,.,CB段中點：,D左：,D右：,上側受拉,上側受拉,.,彎矩圖：見圖(b)，剪力圖：見圖(c)。,(b)M圖,(c)FQ圖,.,說明,區(qū)段疊加法作彎矩圖時，需要熟練計算簡支梁的內力，并應熟記簡支梁在單一荷載形式下的彎矩圖，如下圖3-1-8所示。,1,.,圖3-1-8,(a),(b),.,圖3-1-8(c),在均布荷載所用下，簡支梁跨中彎矩為。,1,.,2,集中力在跨中，簡支梁跨中彎矩為。,集中

14、力偶作用點兩側截面的彎矩豎標異側，絕對值之和等于該集中力偶（突變值）。注意到力偶作用點兩側的,3,.,彎矩圖斜直線相互平行，由此幾何關系可確定兩側截面上的實際彎矩值。當集中力偶在跨中時，梁中點兩側截面的彎矩值的絕對值相等，均為集中力偶的一半。,.,2,當內力圖完成后，注意用荷載與內力的微分和增量關系定性檢查。并熟練掌握用疊加法坐直桿的彎矩圖。,.,第二節(jié),多跨靜定梁,.,概念,多跨靜定梁可看作是由若干個單跨靜定梁順序首尾鉸接構成的靜定結構。常見于橋梁、屋面檁條等。,.,多跨靜定梁有兩種基本的形式，即階梯式和懸跨式,階梯式,圖3-2-1,.,(b)懸跨式,圖3-2-1,.,1,多跨靜定梁的組成特

15、征,以階梯式為例。見圖3-2-1（a），這類形式的多跨靜定梁的外在組成形式是，以一根與大地獨立形成幾何不變體的桿件開始，以后各桿件順序首尾鉸接，并每根桿,.,有一根落地支座鏈桿，逐一按兩個剛片的規(guī)則（或依次加二元體的方式）組成。各單桿（單跨靜定梁）之間有互為依賴關系，即，除與大地獨立有三個支座鏈桿連接的梁外，按加二元體的順序，,.,后續(xù)的每根梁都以前面已形成的剛片為依托形成擴大的剛片。換句話說，若切斷后續(xù)的桿件與緊前桿件的聯(lián)系，或去掉前面任意一根梁或任意約束，則切斷處剩下的部分便成為幾何可變體系，見圖3-2-2（下頁）,.,圖3-2-2-(a),.,圖3-2-2-(b),.,分析上圖,從受力的

16、角度看，其中AB可獨立承受荷載，并可承受其他部分由鉸B傳來的力，而其他部分則不能。,.,由以上可定義:,在多跨靜定梁中，可獨立承受荷載的部分，叫做基本部分；依賴于其他部分才能承受荷載的部分，叫做附屬部分。,.,多跨靜定梁的組成順序是，先基本部分，后基礎部分。用分層圖表示見下圖3-2-3，并容易看出，多跨靜定梁的傳力順序是組成順序的反方向，即，由附屬部分傳向基本部分。,.,(a),(b),圖3-2-3,.,圖3-2-3,(c),.,2,多跨靜定梁的實用計算方法,多跨靜定梁的實用計算方法，是以各獨立的桿件為隔離體，其計算順序是：先附屬部分，后基本部分。,.,基本部分上的荷載對附屬部分不產生影響，而

17、附屬部分上的荷載對其以下的基本和相對基本部分均產生影響。,.,例3-2-1計算圖(a)所示多跨靜定梁，并作內力圖。,(a),.,解,該多跨靜定梁為階梯式，分層圖如圖(b),(b),.,從最高層附屬部分依次取單根桿件計算，見圖(e)以從右向左的順序計算。據此作內力圖見圖(c)、(d)。,.,(c)M圖,.,(d)FQ圖,.,(d)由下圖組成：,.,例3-2-2計算圖示多跨靜定梁，并作內力圖。,(a),.,計算見下圖(b)(c)(d)(e)示：,(b),.,(c),.,(d)M圖,.,(e)FQ圖,.,說明,本例為懸跨式多跨靜定梁，見圖(a)中CD（和AB）桿，該類桿沒有直接與大地的聯(lián)系，懸起用兩單鉸與兩端的其他部分相連，稱有這樣的桿件的跨為懸跨。,.,懸跨式多跨靜定梁可以圖(f)所示的剛片逐一由兩個剛片的規(guī)則作幾何組成分析。,(f),.,圖(f)中AB、CD桿是作為約束的，如果其上無荷載作用，可按圖(g)所示隔離體由右向左順序計算。,(g),.,然而，AB、CD桿上一般是有荷載的，是受彎桿件。所以，截成單桿后的隔離體受力圖如下圖(h)所示。每個隔離體都有四個未知約束力，超出了平面一般力系只能列出三個獨立的平衡方程方程。,.,(h),.,從承