函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系上課

1、,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當(dāng) x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 時,函數(shù)單調(diào)性判定,單調(diào)函數(shù)的圖象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是增函數(shù)；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是減函數(shù)；,若 f(x) 在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，,增函數(shù),減函數(shù),則 f(x) 在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。,G 稱為單調(diào)區(qū)間,G = ( a , b ),一、復(fù)習(xí)引入:,單調(diào)性的概念：,對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x): 1.如果對于這個區(qū)間上的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x12

2、時，f(x)在(，1)和(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7.,解法二：(數(shù)形結(jié)合) 如圖所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)內(nèi)f(x)0，(6，)內(nèi)f(x)0，且f(x)0有一根為1，則另一根在4,6上,解法三：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題) f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因為2x17，所以a7時，f(x)0在(6，)上恒成立由題意知5a7. 點評 本題是含參數(shù)單調(diào)性問題，是高考的重

3、點和熱點，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想,解：由已知得,因為函數(shù)在（0，1上單調(diào)遞增,變式,本題用到一個重要的轉(zhuǎn)化：,練習(xí)1,0a4,在某個區(qū)間上， ，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增 （遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅 僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使 f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)，所以對于能否取到等號的問題需要 單獨驗證。,總結(jié),補(bǔ)例：方程根的問題 求證：方程 只有一個根。,已知：x0，求證：xsinx. 解析 設(shè)f(x)xsinx (x0) f(x)1cosx0對x(0，)恒成立 函數(shù)f(x)xsinx在(0，)上是單調(diào)增函數(shù) 又f(0)0f(x)0對x(0，)恒成立 即：xsinx (x0),補(bǔ)例：不等式證明問題,小結(jié)：,1、函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系；