2020版高中數(shù)學(xué) 第4章章末練習(xí)（無答案）新人教A版必修2（通用）

1、第4章章末練習(xí) 一、選擇題1.圓心在x軸上,半徑為3,且過點(-1,3)的圓的方程為().A.x2+(y+1)2=3B.(x+1)2+y2=3C.x2+(y+1)2=9D.(x+1)2+y2=9【解析】 設(shè)圓心坐標為(a,0),則由題意知=3,解得a=-1,故圓的方程為(x+1)2+y2=9.【答案】D2.圓(x+2)2+(y-4)2=4關(guān)于直線x-y+8=0對稱的圓的方程為().A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4【解析】圓心(-2,4)關(guān)于直線的對稱點為(-4,6),又因為圓的半徑不變,圓的

2、方程為:(x+4)2+(y-6)2=4.【答案】B3.過點(0,6)且與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切的直線的方程為().A.12x-5y+30=0B.12x+5y-30=0C.x=0或12x+5y-30=0D.x=0或12x-5y+30=0【解析】 設(shè)過點(0,6)的直線的斜率為k,則直線方程為kx-y+6=0,因為直線與圓相切,所以=1,即k=-,則直線方程為12x+5y-30=0.又因y軸也與圓相切,故選C.【答案】C4.已知M(-2,1),N(2,3), 則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是().A.x2+(y-2)2=5B.x2+(y-2)2=15C.x2+(y-

3、2)2=5(x2y-4)D.x2+(y-2)2=15(x2y-4)【解析】設(shè)P(x,y),RtPMN中MN2=PM2+PN2,代入整理得:x2+(y-2)2=5,又因為P,M,N三點構(gòu)成三角形,三點不能共線,故x2y-4.【答案】C5.當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,半徑為的圓的方程為().A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】由已知得C點坐標為(-1,2),又圓C的半徑為,所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,化成一般形式為 x2+y2+2x-4y=0

4、.【答案】C6.已知點P(a,b)在圓C:x2+y2=4內(nèi),則直線ax+by+1=0與圓C的位置關(guān)系是().A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定【解析】 點P(a,b)在圓x2+y2=4內(nèi),a2+b2,2.直線與圓C位置關(guān)系不能確定.【答案】D7.圓C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圓C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切線有().A.2條B.3條C.4條D.以上均錯【解析】 將圓的方程化為標準方程分別為:圓C1:(x+2)2+(y-2)2=1,圓C2:(x-2)2+(y-5)2=16,即圓C1:圓心(-2,2),半徑r1=1,圓C2:圓心(2,5),半徑r2=4,|C1C2

5、|=5=r1+r2,C1與C2外切,公切線有3條.【答案】B8.已知點A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,則一束光線從點A經(jīng)x軸反射到圓周C上的最短路程為().A.6-2B.8C.4D.10【解析】 點A關(guān)于x軸的對稱點為A(-1,-1),A與圓心(5,7)的距離為=10.所以所求最短路程為10-2=8.【答案】B9.若圓心在y軸上、半徑為的圓C位于x軸下側(cè),且被直線x+2y=0截得的弦長為4,則圓C的方程為().A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.x2+(y-)2=5D.x2+(y+)2=5【解析】 設(shè)圓心為(0,a)(a0)上一動點,PA、PB是圓C:x2

6、+y2-2y=0的兩條切線,A、B是切點,若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為().A.3B.C.2D.2【解析】 由圓的方程得x2+(y-1)2=1,所以圓心為(0,1),半徑為r=1,如下圖所示四邊形的面積S=2SPBC,所以若四邊形PACB的最小面積是2,則SPBC的最小值為1,而SPBC=r|PB|,即|PB|的最小值為2,此時|PC|最小且為圓心到直線的距離,即d=,即k2=4,因為k0,所以k=2,選D.【答案】D11.若集合A=(x,y)|y=,B=(x,y)|y=x+b,當AB時,則b的取值范圍是().A.-3,3B.-3,3C.-3,3D.-3,3【解析】 y=可化為x

7、2+y2=9(y0),依題意直線y=x+b與半圓x2+y2=9(y0)有交點,如圖,-3b3.故選B.【答案】B12.已知直線+=1(a、b是非零常數(shù))與圓x2+y2=100有公共點,且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù),那么這樣的直線共有().A.60條B.66條C.72條D.78條【解析】 在第一象限內(nèi)圓x2+y2=100上的整數(shù)點只有(6,8),(8,6),又點(10,0),(0,10)在圓上,由對稱性知x2+y2=100上橫、縱坐標均為整數(shù)的點共有12個:(6,8),(8,6),(6,-8),(-8,6),(-6,8),(8,-6),(-6,-8),(-8,-6),(10,0),(0,10

8、),(-10,0),(0,-10).過這12個點的圓x2+y2=100的切線有12條,割線有=66條,共78條.其中垂直于坐標軸的有14條,過原點與坐標軸不垂直的有4條,共有78-18=60條.【答案】A二、填空題13.昨夜狂風大作,暴雨滂沱,公園里一棵大樹被刮斷,直立部分高約1米,倒地部分長約7米.請你以此為背景建立恰當?shù)淖鴺讼?寫出這個直角三角形的外接圓的一個方程:.【解析】 建立如圖所示的坐標系,O(0,0),A(0,1),B(7,0),設(shè)圓的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,則解得 所以這個直角三角形的外接圓的一個方程x2+y2-7x-y=0.【答案】 x2+y2-7x-y=0(

9、答案不唯一)14.在z軸上求一點A使它到點B(1,1,2)與點C(1,3,-2)的距離相等,則A點坐標為 .【解析】設(shè)A(0,0,z),則有|AB|=|AC|,即2+(z-2)2=10+(z+2)2,解得z=-1.【答案】(0,0,-1)15.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓,則實數(shù)m的取值范圍為;該圓半徑r的取值范圍是.【解析】 將圓方程配方得:(x-m-3)2+(y-4m2+1)2=-7m2+6m+1,由-7m2+6m+10,得m的取值范圍是-m1;由于r=,0r.【答案】(-,1)(0,)16.如圖,A,B是直線l上的兩點,且AB=2.兩

10、個半徑相等的動圓分別與l相切于A,B點,C是這兩個圓的公共點,則圓弧AC,CB與線段AB圍成圖形面積S的最大值是. 【解析】當兩圓相外切時,面積最大,S=21-2=2-.【答案】2-三、解答題17.已知圓C經(jīng)過A(5,2)、B(-1,4)兩點,圓心在x軸上,求圓C的方程.【解析】 設(shè)圓心坐標為C(a,0),則AC=BC,即=,解得a=1,所以半徑r=2,所以圓C的方程是(x-1)2+y2=20.18.已知三點A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以點P(2,-1)為圓心做一個圓,使ABC三點中一點在圓外,一點在圓內(nèi),一點在圓上,求此圓的標準方程.【解析】 由已知可得:PA=,PB=,P

11、C=.PC最大,PA最小,以點P為圓心作圓,使得點A在圓內(nèi),點B在圓上,點C在圓外.圓的半徑為,圓的標準方程為:(x-2)2+(y+1)2=13.19.一束光線l自A(-3,3)發(fā)出,射到x軸上,被x軸反射后與圓C:x2+y2-4x-4y+7=0有公共點.(1)求反射光線通過圓心C時,光線l所在直線的方程;(2)求在x軸上,反射點M的橫坐標的取值范圍.【解析】 圓C的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圓心C關(guān)于x軸的對稱點為C(2,-2),過點A,C的直線的方程x+y=0即為光線l所在直線的方程.(2)A關(guān)于x軸的對稱點為A(-3,-3),設(shè)過點A的直線為y+3=k(x+3).當

12、該直線與圓C相切時,有=1,解得k=或k=,所以過點A的圓C的兩條切線分別為y+3=(x+3),y+3=(x+3).令y=0,得x1=-,x2=1,所以在x軸上反射點M的橫坐標的取值范圍是-,1.20.已知圓C1:x2+y2=2和圓C2,直線l與圓C1相切于點(1,1);圓C2的圓心在射線2x-y=0(x0)上,圓C2過原點,且被直線l截得的弦長為4.(1)求直線l的方程;(2)求圓C2的方程.【解析】 (1)(法一)點(1,1)在圓C1:x2+y2=2上,直線l的方程為x+y=2,即x+y-2=0.(法二)當直線l垂直x軸時,不符合題意.當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x

13、-1),即kx-y-k+1=0.則圓心C1(0,0)到直線l的距離d=r=,即=,解得k=-1,直線l的方程為x+y-2=0. (2)設(shè)圓C2的方程為:(x-a)2+(y-2a)2=r2(a0).圓C2過原點,5a2=r2, 圓C2的方程為(x-a)2+(y-2a)2=5a2(a0).圓C2被直線l截得的弦長為4,圓心C2(a,2a)到直線l:x+y-2=0的距離d=.整理得:a2+12a-28=0,解得a=2或a=-14.a0,a=2,圓C2的方程為:(x-2)2+(y-4)2=20.21.某城市規(guī)劃交通,擬在半徑為50 m的高架圓形道東側(cè)某處開一個出口,以與圓形道相切的方式,引伸一條直道接

14、到距圓形道圓心正北150 m處的道路上.試建立適當?shù)淖鴺讼?寫出引伸直道的方程,并計算出口應(yīng)開在圓形道的何處?【解析】 以圓形道圓心O為原點,正北方向為y軸正向,建立如圖直角坐標系,則圓形道的方程為x2+y2=502,引伸直道與北向道路的交接點C的坐標為(0,150),設(shè)出口開在圓形道的點P處,問題的幾何表述是:在點C處引圓O的切線,求切點P的坐標,設(shè)點P坐標為(x0,y0),因為點P是PC與圓O的切點,則PC方程可以表示為x0x+y0y=502,因為點C在PC上,以其坐標(0,150)代入得150y0=2500,解得y0=,因為P在圓O上,以其坐標(x0,y0)代入圓方程,又得+()2=50

15、2,x0=,據(jù)實際問題,因為點P在圓心O的東側(cè),故應(yīng)取x0=,所以引伸直道在所建坐標系中的方程為(2x+y)=502,即2x+y-150=0,出口點P在所建坐標系中的坐標為(,).22.已知圓O:x2+y2=1,圓C:(x-2)2+(y-4)2=1,由兩圓外一點P(a,b)引兩圓切線PA、PB,切點分別為A、B,如圖,滿足|PA|=|PB|.(1)求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系;(2)求切線長|PA|的最小值;(3)是否存在以P為圓心的圓,使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切?若存在,求出圓P的方程;若不存在,說明理由.【解析】 (1)如圖連接PO、PC,|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1,

16、|PO|2=|PC|2,從而a2+b2=(a-2)2+(b-4)2,化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為:a+2b-5=0.(2)由a+2b-5=0,得a=-2b+5,|PA|=.當b=2時,|PA|min=2.(3)不存在.圓O和圓C的半徑均為1,若存在半徑為R的圓P,與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切,則有|PO|=R-1且|PC|=R+1.于是有:|PC|-|PO|=2,即|PC|=|PO|+2,從而得=+2,兩邊平方,整理得=4-(a+2b),將a+2b=5代入上式得:=-10,故滿足條件的實數(shù)a、b不存在,不存在符合題設(shè)條件的圓P.必修2模塊測試評估卷一、選擇題1.如圖所示,甲、乙、丙是三個

17、幾何體的三視圖,甲、乙、丙對應(yīng)的標號正確的是().長方體 圓錐三棱錐圓柱A.B.C.D.【解析】 由這三個幾何體的三視圖可以判斷出選A.【答案】A2.已知A(1,2),B(k,1),C(3,-2)三點共線,則k的值為().A.-B.C.D.-【解析】 因為A(1,2),B(k,1),C(3,-2)三點共線,所以kAB=kAC,即=,所以k=.【答案】C3.充滿氫氣的球形飛艇可以供游客旅行,現(xiàn)有一飛艇若要它的半徑擴大為原來的2倍,那么它的體積應(yīng)增大到原來的() .A.2倍B.8倍C.4倍 D.倍【解析】 由于球的體積公式為V=R3,半徑擴大2倍,則體積擴大到原來的8倍,故選B.【答案】B4.若三

18、條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點,則k的值等于().A. 2B. C.-2D.-【解析】 解方程組 代入x+ky=0得k=-,選D.【答案】D5.已知下列命題:若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l.若直線l與平面平行,則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行.如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行,那么另一條直線也與這個平面平行.若直線l與平面平行,則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.其中正確的個數(shù)為().A.0B.1C.2D.3【解析】 借助長方體模型分析,如圖:A1A上有無數(shù)個點在平面ABCD外,但AA1與平面ABCD相交,不正確;A1B1平面ABCD,顯然

19、A1B1不平行于BD,不正確;A1B1AB,A1B1平面ABCD,但AB平面ABCD,不正確;l與平面平行,則l與平面無公共點,即l與平面內(nèi)的所有直線都沒有公共點,所以正確.應(yīng)選B.【答案】B6.經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圓的方程為().A.x2+y2-8x+6y=0B.x2+y2-8x-6y=0 C.x2+y2+8x+6y=0D.x2+y2+8x-6y=0【解析】 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(也可設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=R2,但運算較繁),將三點O(0,0),A(1,1),B(4,2)代入圓的方程得解得D=-8,E=6,F=0,故選A項

20、.也可將三個點分別代入各選項,只有A滿足.【答案】A7.在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的幾何體的體積是().A.B.C.D.【解析】 截去的每個小三棱錐的體積為=()4,則剩余部分體積V=1-()48=1-=.【答案】D8.經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心G,且與直線x+y=0垂直的直線方程是().A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0【解析】由已知得k=1,且直線過圓心G(-1,0),故直線方程為y=x+1,即x-y+1=0,故選A.【答案】A9.定義運算=ad-bc,則符合條件=0的點P(x,y)

21、的軌跡方程為().A.(x-1)2+4y2=1B.(x-1)2-4y2=1C.(x-1)2+y2=1D.(x-1)2-y2=1【解析】 由定義運算可知=(x-1)2-1+4y2=0,即(x-1)2+4y2=1,故選A.【答案】A10.圓心為C(1,-2),半徑為r=2的圓在x軸上截得的弦長為().A.8B.6C.6D.4【解析】 如圖,CD=2,CB=2BD=4AB=8,故選A.【答案】A11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的四個頂點所在球的體積為().A.B.C.D.【解析】 連接矩形ABCD的對角線AC、BD交于O,則

22、AO=BO=CO=DO,翻折后仍然AO=BO=CO=DO,則O為四面體ABCD四個頂點所在球的圓心,因此四面體ABCD四個頂點所在球的半徑為,故球的體積為()3=.選C.【答案】C12.已知直線ax+by+c=0(abc0)與圓x2+y2=1相切,則三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形().A.是銳角三角形B.是直角三角形 C.是鈍角三角形D.不存在【解析】由題意知圓心坐標為(0,0),半徑為1,因為直線和圓相切,利用點到直線距離公式得:d=1,即a2+b2=c2,所以,以|a|、|b|、|c|為邊的三角形是直角三角形.選B.【答案】B二、填空題13.點P(1,2,3)關(guān)于Oz軸的對稱

23、點的坐標為.【解析】 空間一點關(guān)于某坐標軸對稱點的求法:點M(x,y,z)關(guān)于Oz軸的對稱點的坐標為M(-x,-y,z),也可以借助圖形,抓住對稱特點來求,所以答案是(-1,-2,3).【答案】(-1,-2,3)14.點M(3,4)到圓x2+y2=1上一點的最大值等于,最小值等于.【解析】 設(shè)圓心為O,半徑r=1,則點M(3,4)到圓x2+y2=1上一點的最大值dmax=|OM|+r,即dmax=+1=6;點M(3,4)到圓x2+y2=1上一點的最小值dmin=|OM|-r=4 .【答案】6415.已知圓柱的高為h,底面半徑為R,軸截面為矩形A1ABB1,在母線AA1上有一點P,且PA=a,在

24、母線BB1上取一點Q,使B1Q=b,則圓柱側(cè)面上P、Q兩點的最短距離為.【解析】 如圖甲,沿圓柱的母線AA1剪開得矩形(如圖乙),過點P作PEAB交BB1于點E,則PE=AB=2R=R,QE=h-a-b.PQ=.【答案】16.如圖,點S在平面ABC外,SBAC,SB=AC=2,E、F分別是SC和AB的中點,則EF的長等于.【解析】 取SA的中點H,連接EH、FH.因為SBAC,則EHFH,在EFH中,應(yīng)用勾股定理得EF=.【答案】三、解答題17.已知兩條直線l1:3x+4y-2=0與l2:2x+y+2=0的交點為P,求滿足下列條件的直線方程:(1)過點P且過原點的直線方程;(2)過點P且垂直于直線l3:x-2y-1=0的直線l的方程.【解析】 由 解得 點P的坐標是(-2,2).(1)所求直線方程為y=-x.(2)所求直線l與l3垂直,設(shè)直線l的方程為 2x+y+C=0,把點P的坐標代入得 2(-2)+2+C=0 ,解得C=2.所求直線l的方程為 2x+y+2=0.18.如圖,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,會溢出杯子嗎?請用你的計算數(shù)據(jù)說