河南省洛陽市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次統(tǒng)一考試試題 理（含解析）（通用）

1、洛陽市2020學(xué)年高中三年級(jí)第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集個(gè)數(shù). 的子集個(gè)數(shù)為 故選C.點(diǎn)睛：本題考查集合的運(yùn)算以及子集的個(gè)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.2. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】A【解析】分析：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后求的共軛復(fù)數(shù)即

2、可詳解： 則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選A.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3. “”是“”的（ ）A. 充要條件 B. 必要不充分條件C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出m，n的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷出結(jié)論詳解： ， ，“”是“”的的充分不必要條件故選C點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4. 設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（ ）注：若，則，.A. B. C.

3、 D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，利用幾何概型即可計(jì)算詳解：， 點(diǎn)睛：本題考查了正態(tài)分布、幾何概型，正確理解正態(tài)分布的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題5. 九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，現(xiàn)自上而下取第1,3,9節(jié)，則這3節(jié)的容積之和為（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】B【解析】分析：設(shè)自上而下各節(jié)的容積分別為公差為，由上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出 由此能求出自上而下取第1，3，9節(jié)，則這3節(jié)的容積

4、之和詳解：設(shè)自上而下各節(jié)的容積分別為，公差為，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升， ，解得，自上而下取第1，3，9節(jié)，則這3節(jié)的容積之和為： （升）故選B點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列中三項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題6. 將函數(shù)的圖像向平左移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則下列說法不正確的是（ ）A. B. 在區(qū)間上是增函數(shù)C. 是圖像的一條對(duì)稱軸 D. 是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】D【解析】分析：利用三角函數(shù)的圖象平移求得，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案詳解：把函數(shù)的圖像向平左移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象的解析式 故A正確；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間是增函數(shù)，故

5、B正確；不是圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確； ，是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤故選D點(diǎn)睛：本題考查 型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題7. 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于點(diǎn)、，若，則該雙曲線的離心率為（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意求出直線方程，再根據(jù)，可得為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，化簡整理即可求出詳解：，為的中點(diǎn)，由題意可得直線方程為 當(dāng)時(shí)， 設(shè) 即 即 整理可得 即 解得。故選C點(diǎn)睛：本題考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及直線方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題8. 在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與，所在直

6、線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】分析：用，表示出,根據(jù)三點(diǎn)共線得出的關(guān)系，利用基本不等式得出的最小值.詳解： 三點(diǎn)共線， 則 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選A.點(diǎn)睛：考查向量減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.9. 若 ，則的值為（ ）A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D【解析】分析：先由題意求得 ，再令 ，可得的值詳解：根據(jù) ，令 ，可得 再令，可得 故選D點(diǎn)睛：此題考查了二項(xiàng)展開式定理的展開使用及靈活變形求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問題時(shí)，常采取賦值法，屬于基礎(chǔ)題10. 在三棱錐中，

7、平面，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐 外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積詳解：三棱錐 設(shè)直線 與平面所成角為 ，如圖所示；則 由題意且的最大值是，解得 即的最小值為的最小值是，即點(diǎn)到的距離為， 取的外接圓圓心為，作 ， 解得 ； 為的中點(diǎn)， 由勾股定理得 三棱錐的外接球的表面積是 故選B.點(diǎn)睛：本題考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵求外接球的半徑，是中檔題11. 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【

8、解析】分析：由題可得 由此可得 又，可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為1,2，由此可求.詳解：由題數(shù)列滿足，又，由此可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為1,2，則 故選A.點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式，屬中檔題.12. 已知函數(shù)與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：函數(shù)與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即有4個(gè)不同的實(shí)根，由可得，討論其性質(zhì)可得的取值范圍.詳解：函數(shù)與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即有4個(gè)不同的實(shí)根，由可得，即其定義域?yàn)榍?，設(shè) （且），則 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，但且），故的值域

9、為 ，設(shè)，則,此時(shí) 此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)眼函數(shù)零點(diǎn)問題，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，屬難題第卷（共90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13. 閱讀下面程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)程序，則輸出的值為_【答案】4【解析】分析：利用循環(huán)體，計(jì)算每執(zhí)行一次循環(huán)后的值，即可得出結(jié)論詳解：第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)， ；第三次循環(huán)， ；第四次循環(huán)， ，退出循環(huán)，此時(shí)輸出的值為4故答案為4：點(diǎn)睛：本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查學(xué)生的讀圖

10、能力，解題的關(guān)鍵是讀懂循環(huán)結(jié)構(gòu)14. 設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】1【解析】分析：由約束條件作出可行域，可知z恒大于等于0，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案詳解：由約束條件作出可行域，可知z恒大于等于0，則目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的絕對(duì)值的取值范圍，由可行域可知直線， 故答案為1 .點(diǎn)睛：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題15. 已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_【答案】【解析】分析：由三視圖可得：該幾何體為左右兩部分組成，左邊為圓錐，右邊為三棱錐利用體積計(jì)算公式即可得出詳解：由三視圖可

11、得：該幾何體為左右兩部分組成，左邊為圓錐，右邊為三棱錐該幾何體的體積 故答案為點(diǎn)睛：本題考查了圓錐與三棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16. 已知橢圓的焦點(diǎn)為，其中，直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且與，軸分別交于點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，則此橢圓的方程為_【答案】【解析】分析：先根據(jù)定積分求出c，由題意，切線方程為 利用基本不等式，結(jié)合（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，即可求出 ，問題得以解決詳解：由橢圓的焦點(diǎn)為 ，可設(shè)橢圓的方程為 直線與橢圓相切，則切線方程為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的面積最小，設(shè) 由余弦定理可得，的面積 故

12、橢圓的方程為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓是位置關(guān)系，考查余弦定理的運(yùn)用，基本不等式，橢圓的切線方程，屬于難題三、解答題 ：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 17. 在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，且的面積為，求.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：（1）利用已知條件，通過正弦定理以及余弦定理轉(zhuǎn)化求角的大??；（2），利用正弦定理以及三角形的面積轉(zhuǎn)化求解即可詳解：（1）由，由正弦定理得，即，所以，.（2）由正弦定理，可得，所以 .又，解得.點(diǎn)睛：本題考查正弦定理以及余弦定理三角形的面積的求法，考查計(jì)

13、算能力18. 如圖，四邊形是矩形，沿對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的攝影恰好落在邊上.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）先證明. 結(jié)合，得平面，又平面，所以平面平面.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，連接則平面，所以. 因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，所以平面，所? 又，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）方法1：在矩形中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，又DMDE=D所以平面 ，所以為二面角的平面角. 設(shè)，則.在中，易

14、求出，.在中，所以. 方法2：以點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 設(shè)，則，所以，.由（I）知，又，所以，那么，所以，所以，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，所以. 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以.所以求二面角的余弦值為. 點(diǎn)睛：此題考查二面角余弦值的計(jì)算，向量坐標(biāo)的運(yùn)算等.向量法在解決立體幾何中二面角問題的一般步驟是：1.建系，根據(jù)圖形特點(diǎn)建立合理的空間直角坐標(biāo)系；2.標(biāo)點(diǎn)，把所涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)找出來，并計(jì)算相應(yīng)向量的坐標(biāo)；3.求法向量，通過向量的運(yùn)算，把二面角的兩個(gè)半面的法向量計(jì)算出來；4.代入公式求值，利用向量的數(shù)量積公式，求出兩個(gè)法向量的

15、夾角，從而求二面角的相關(guān)值.19. 某次數(shù)學(xué)知識(shí)比賽中共有6個(gè)不同的題目，每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答，已知這6個(gè)題目中，甲只能正確作答其中的4個(gè)，而乙正確作答每個(gè)題目的概率均為，且甲、乙兩位同學(xué)對(duì)每個(gè)題目的作答都是相互獨(dú)立、互不影響的.（1）求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率；（2）若甲、乙兩位同學(xué)答對(duì)題目個(gè)數(shù)分別是，由于甲所在班級(jí)少一名學(xué)生參賽，故甲答對(duì)一題得15分，乙答對(duì)一題得10分，求甲乙兩人得分之和的期望.【答案】(1);(2)50.【解析】分析：（1）由題意可知共答對(duì)3題可以分為3種情況：甲答對(duì)1題乙答對(duì)2題；甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題；甲答對(duì)3題乙答對(duì)0題由此能求出甲、

16、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率（2）的所有取值有1，2，3.分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出，由題意可知，故利用，得詳解：（1）由題意可知共答對(duì)3題可以分為3種情況：甲答對(duì)1題乙答對(duì)2題；甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題；甲答對(duì)3題乙答對(duì)0題.故所求的概率 .（2）的所有取值有1，2，3.，故.由題意可知，故.而，所以.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題20. 已知拋物線，點(diǎn)，在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為，拋物線上的點(diǎn)在，之間（不包括點(diǎn)，點(diǎn)），過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.（1）求直線斜率的取

17、值范圍；（2）求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）設(shè)，得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍得出的范圍；（2）根據(jù)，的方程得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)距離公式計(jì)算，得出關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出最大值詳解：（1）由題可知，設(shè)，所以 ，故直線斜率的取值范圍是.（2）直線，直線，聯(lián)立直線，方程可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， ，所以，令，則 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即的最大值為.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長公式與距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題21. 已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式恒成立（其中，）.【答案】(1)見解析;(2

18、)見解析.【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明 恒成立設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，要證明g（x1+x2）g（x1-x2）對(duì)任意x1R，x2（0，+）恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可詳解：（1）由于.1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減；2）當(dāng)時(shí)，由得或.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）依題意 恒成立.設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，又，只需證明即可.令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，那么，當(dāng)時(shí)，所以 ；當(dāng)時(shí)， ，恒成立.從而原不等式成立.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以