2020高中數(shù)學(xué) 1.2.1平面的基本性質(zhì)及推論1教案 新人教B版必修2（通用）

1、平面的基本性質(zhì)和推論一、教學(xué)內(nèi)容：1.平面的基本性質(zhì)和推論2.空間中的平行關(guān)系二。教學(xué)目的1.理解平面的基本性質(zhì)和推論，用這些公理和推論解決相關(guān)問題，用集合語言描述點(diǎn)、線、平面之間的關(guān)系和圖形的性質(zhì)。2.在已學(xué)習(xí)的作為推理基礎(chǔ)的一些公理和定理的基礎(chǔ)上，通過直覺感知、運(yùn)算確認(rèn)和思辨論證，得出了空間中線與平面平行性的判斷定理和性質(zhì)定理。我們可以用得到的結(jié)論來證明一些簡單的空間位置關(guān)系命題。三。教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)【重點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)和推論及其應(yīng)用；線平行度和平行線的傳遞性及平面平行度的定義和判定?！倦y點(diǎn)】自然語言與數(shù)學(xué)圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化和應(yīng)用；如何從平行性公理和其他基本性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出空間

2、直線、直線、直線、平面和平行平面的判斷和性質(zhì)定理，并掌握這些定理的應(yīng)用。四.知識分析(一)平面的基本性質(zhì)和推論1.平面的基本性質(zhì)(1)關(guān)于公理1(1)三種數(shù)學(xué)語言：單詞和短語：如果直線上的兩點(diǎn)在一個平面上，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個平面上。圖形語言表達(dá)：如圖1所示圖1符號語言表達(dá)：內(nèi)容分析：公理1反映了直線和平面之間的位置關(guān)系?！爸本€上的兩點(diǎn)在平面上”是公理的一個必要條件，并得出“直線上的所有點(diǎn)都在平面上”的結(jié)論。這個結(jié)論闡述了兩個觀點(diǎn)，一個是直線在平面上，另一個是直線上的所有點(diǎn)都在平面上。公理(1)的作用：不僅可以判斷直線是否在平面上，而且可以用直線檢驗(yàn)平面。(2)關(guān)于公理2公理2的三個數(shù)學(xué)

3、表達(dá)式：通過不在同一條直線上的三個點(diǎn)，只有一個平面。圖形語言表達(dá)：如圖2所示圖2符號語言表達(dá)：A，B和C共線，只有一個平面，這使得。內(nèi)容分析：公理2的條件是“通過三個不在同一直線上的點(diǎn)”，結(jié)論是“只有一個平面”。條件中的“三點(diǎn)”是條件的支柱，不容忽視，但附加條件“不在同一條直線上”很容易被遺忘。如果它被放棄，結(jié)論將是站不住腳的，所以它絕不能被遺忘。同時，應(yīng)該認(rèn)識到，在同一條直線上，可能有無數(shù)的平面穿過一個點(diǎn)、兩個點(diǎn)或三個點(diǎn)；通過不在同一條直線上的四個點(diǎn)時，可能沒有一個平面，所以我們應(yīng)該充分注意“三個點(diǎn)不在同一條直線上”條件的重要性。公理2中“只有一個”的含義應(yīng)該被準(zhǔn)確理解。在這里，“擁有”意味

4、著這個數(shù)字存在。“只有一個”意味著圖形是唯一的，這個公理強(qiáng)調(diào)存在和唯一性。因此，“你和只有一個”必須完全使用，“你和只有一個”不能被“你和只有一個”代替，否則就沒有存在的表達(dá)。“確定一個平面”中的“確定”一詞與“有且僅有”同義，它也指存在和唯一性。這個術(shù)語將來會經(jīng)常出現(xiàn)，所以我們應(yīng)該好好理解它。公理2的功能：第一個功能是確定平面；第二個函數(shù)是它可以用來證明共面點(diǎn)和共線的問題。(3)關(guān)于公理3(1)公理3三數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：單詞和短語：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們只有一條穿過該點(diǎn)的公共直線。圖形語言表達(dá)：如圖3所示。圖3符號語言表達(dá)：公理3的分析：公理3反映了平面之間的位置關(guān)系。簡而

5、言之，公理2的條件是“兩個邊共享一個點(diǎn)”，結(jié)論是“兩個邊共享一條線，通過這個點(diǎn)后，這條線是唯一的”。對于這條公理，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，對于不重合的兩個平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，并且交點(diǎn)是一條直線。公理3的功能：首先，它是判斷兩個平面是否相交的基礎(chǔ)。只要這兩個平面有一個公共點(diǎn)，就可以判斷這兩個平面必須與穿過該點(diǎn)的直線相交；其次，可以判斷一個點(diǎn)在一條直線上，一個點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)，一條線是這兩個平面的公共交線，那么這個點(diǎn)在交線上。2.平面基本性質(zhì)的推論推論1:只有一個平面穿過一條直線，一個點(diǎn)在直線之外。推論2:穿過兩條相交的線后，只有一個平面。推論3:通過兩條平行線，只有一個平面

6、。請考慮一下：如何用圖形語言表達(dá)這三個推論？如何表達(dá)三個推論的符號語言？這三個推論的作用是什么？推論證明2推論2:穿過兩條相交的線后，只有一個平面。已知：直線驗(yàn)證：直線A和直線b只有一個平面【證明】(1)如圖4所示，取直線A和B上不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C和B，我們可以得到不在同一條直線上的三個點(diǎn)A、B和C。只有一個平面穿過這三個點(diǎn)(公理2)。圖4再次(公理1)平面是穿過相交線a和b的平面。(2)如果有另一個平面穿過直線A和B，那么三個點(diǎn)A、B和C必須都在平面中，所以有兩個平面和穿過三個點(diǎn)A、B和C，它們不在一條直線上，這與公理3相矛盾。因此，只有一個平面穿過直線a和B.總而言之，直線a和b只有一個平面

7、。3.使用集合語言來描述點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系以及圖形的屬性(1)點(diǎn)與平面之間的位置關(guān)系：點(diǎn)a在平面中，表示為a；點(diǎn)A不在內(nèi)，記錄為：(2)直線與平面的位置關(guān)系：直線m在平面中，記為：直線m不在平面中，記為；(3)平面和平面在直線A上的交點(diǎn)記為：(4)直線m和n在點(diǎn)a相交，該點(diǎn)記為。4.學(xué)習(xí)時應(yīng)注意的幾個問題學(xué)習(xí)這一課時，我們應(yīng)該注意正確的繪畫，這有利于培養(yǎng)我們的空間想象力。在平面幾何中，輔助線通常被繪制為虛線，而在立體幾何中，不可見的線通常被繪制為虛線，這與它們是否是輔助線無關(guān)。在平時的訓(xùn)練中，我們要養(yǎng)成多做多畫的習(xí)慣，并且要掌握空間圖形直接繪制的繪制方法斜二次元繪制法。應(yīng)注意幾何語言的訓(xùn)練和

8、寫作，幾何語言中關(guān)于公理和推理的敘述應(yīng)盡可能多地記憶。5.幾個常見問題的解決方案(1)證明直線在平面上的方法：證明直線在平面上有兩點(diǎn)。(2)證明直線共面的方法：首先證明兩條直線定義一個平面，然后證明其他直線都在這個平面上。(3)證明一個點(diǎn)在一條直線上的方法：首先，確定這條直線與哪兩個平面相交，然后證明這個點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn)。(二)平面上的平行關(guān)系1.平行直線(1)空間中兩條直線之間的位置關(guān)系交點(diǎn)：在同一平面上，只有一個公共點(diǎn)；平行：在同一平面上，沒有公共點(diǎn)。(2)初中幾何中的平行公理：在直線之外的一點(diǎn)上，只有一條直線與這條直線平行。解釋這個結(jié)論在太空中仍然有效。(3)公理4(空間平行線的傳

9、遞性):兩條平行于同一條直線的直線彼此平行，也就是說，如果直線a /b，c /b，那么a /c.【說明】這條公理是判斷兩條線平行的一個重要方法：找出分別與前兩條線平行的第三條線。2.等距定理等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊平行且方向相同，那么這兩個角是相等的。推論：如果兩條相交的線和另外兩條相交的線是平行的，那么銳角(或稱鉆機(jī)(2)如果只改變?yōu)椤耙贿叿较蛳嗤?，另一邊方向相反”，則兩個角度是互補(bǔ)的。這個定理和推論是證明等角問題的常用方法。3.空間圖形的翻譯如果空間圖形F的所有點(diǎn)在相同的方向上向F的位置移動相同的距離，則圖形F在空間中進(jìn)行了平移。注：平移后的圖形與原圖形一致，即對應(yīng)角度與

10、對應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離保持不變。圖形翻譯具有以下屬性：(1)翻譯前后的兩個數(shù)字是一致的；(2)平移前后對應(yīng)角度不變；(3)平移前后兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離不變；(4)平移前后兩條平行線之間的位置關(guān)系不變；(5)兩條垂直線之間的位置關(guān)系在平移前后不變。4.證明空間中兩條直線平行的方法(1)定義的使用要證明兩條直線在定義上是平行的，需要證明兩件事：第一，兩條直線在同一平面上；第二，兩條線之間沒有共同點(diǎn)。(2)使用公理4要證明兩條直線與公理4平行，只需要證明一件事：找到直線C，這樣a /c和b/c將從公理4得到a /b。5.這條直線平行于平面(1)直線和平面之間有三種位置關(guān)系，可以用公共點(diǎn)的個數(shù)來概括如下(

11、2)直線與平面平行的判定定理：如果一條不在平面上的直線平行于該平面上的一條直線，那么這條直線平行于該平面。符號表示為：(1)這個定理通常被表述為：“如果直線是平行的，那么直線和平面是平行的?！?)用該定理判斷直線A與平面的平行度時，必須滿足三個條件：(1)直線a不在平面中，即.直線b在平面上，即.兩條直線a和b平行，即a /b.這三個條件是不可缺少的。(3)線平面平行性的性質(zhì)定理：如果一條直線平行于一個平面，并且穿過該直線的平面與該平面相交，則該直線與兩個平面的交點(diǎn)是平行的。符號表示：如果，則a /b，即“如果線是平行的，則線是平行的”。描述A.這個定理可以作為直線和直線平行性的判斷定理B.定

12、理中有三個條件：(1)直線a平行于平面，即a/；平面和相交，即=b；直線a在平面上，即。這三者是不可或缺的。(4)線平面平行性定理的應(yīng)用應(yīng)用直線與平面平行性的判定定理證明直線與平面平行性，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)和平面外相互平行的直線。應(yīng)用線平面平行性定理解決問題的關(guān)鍵是將已知條件作為輔助平面，然后將已知的線平面平行性轉(zhuǎn)化為直線和相交直線的平行性。6.兩個平面之間的位置關(guān)系同一平面上兩條直線的位置關(guān)系相似；可以從有無共同點(diǎn)中區(qū)分出來：如果兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，那么公理3表明這兩個平面必須重合；如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么公理2表明這兩個平面相交于一條穿過該點(diǎn)的直線；如果兩個平面之間沒有公共點(diǎn)

13、，則這兩個平面相互平行。由此可見，兩個不重合平面之間的位置關(guān)系：(1)平行沒有公共點(diǎn)；(2)交點(diǎn)至少有一個公共點(diǎn)(或公共直線)。7.面對面平行的判斷定理：如果一個平面上的兩條相交線平行于另一個平面，那么這兩個平面是平行的。已知：，(如圖所示)驗(yàn)證：證明：使用反證的方法假設(shè)、有同樣的方式從公理4知道是矛盾的。1注：(1)這個定理用符號表示為(2)該定理應(yīng)用的關(guān)鍵是證明平面是平行的，并轉(zhuǎn)化為線平面平行，即在其中找到兩條相交的線，兩條線都是相互平行的。(3)注：(1)該定理可作為直線平行度的判定定理。(2)面對面平行的特性包括：這個性質(zhì)也是判斷直線和平面平行性的一種方法。夾在兩個平行平面之間的兩條平

14、行線是相等的。對于三個平面這是平面平行的傳遞性。9.兩個平面之間的平行性問題常常轉(zhuǎn)化為線與平面之間的平行性，而線與平面之間的平行性又可以轉(zhuǎn)化為線與線之間的平行性。因此，我們應(yīng)該重視轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。兩個平面平行的性質(zhì)定理是證明空間中兩條直線平行的重要依據(jù)，我們應(yīng)該掌握好。典型示例例1。將下列陳述符號化并畫一個圖。(1)三個平面相交于點(diǎn)p，并且平面相交于點(diǎn)PA、點(diǎn)PB和點(diǎn)PC。(2)平面腹與平面腹相交于腹，平面腹與平面腹相交于腹。(3)直線A和B相交于平面上的點(diǎn)M。分析：(1)符號語言表征：，圖形表示：如圖所示(2)符號語言表征：平面ABD平面BDC=BD，平面模數(shù)轉(zhuǎn)換器=交流圖形表示：如圖所示(

15、3)象征性語言是指：圖形表示：(如下三幅圖所示)。點(diǎn)評：理解數(shù)學(xué)符號的含義，學(xué)習(xí)和養(yǎng)成用符號語言和圖形語言表達(dá)敘述句的習(xí)慣，會給解決問題帶來很多方便。例2。一條直線與三條平行線相交，證明這四條直線共面。分辨率：已知：驗(yàn)證：直線共面。方法1:確定一個平面,、因此同樣，確定一個平面也可以用同樣的方法證明而且，穿過兩條相交的線，只有一個平面，所以它與也就是說，直線是共面的。方法2:從方法1開始，共面，也就是說，在由，同樣的原因可以在某個平面上得到證明并且只能確定一個平面、共面評論：首先，將知識和驗(yàn)證改寫成符號語言。為了證明這些線是共面的，一種方法是首先確定一個平面，這個平面由公理1證明并且也在這個平

16、面上；另一種方法是首先確定一個平面，然后確定另一個平面，然后證明兩個平面重合。例3。已知在平面外，其三條邊的直線分別在P、Q和R點(diǎn)與平面相交。驗(yàn)證：P、Q和R在同一條直線上。分析：如圖所示，是平面和平面的交點(diǎn)，,和中航飛機(jī)，p，q和r共線。注釋：要證明P、Q和R共線，只需證明P、Q和R在平面和平面ABC的交點(diǎn)上。你可以先確定與任意兩點(diǎn)相交的直線，然后證明第三點(diǎn)也在這條直線上。例4。如圖所示，兩個三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線ABC和相交于同一點(diǎn)o，并且(1)驗(yàn)證：(2)獲得的值。分析：利用平面幾何知識可以證明兩條直線是平行的；利用等角定理，我們可以證明兩個角是相等的，從而證明兩個三角形是相似的。(1)在o點(diǎn)，以及同樣地，(2)，與，相反類似地因此，和注釋：判斷或證明線條平行度的常用方法有：(1)證明兩條直線在平面幾何中平行的方法；(2)使用公理4(如果Ac，cB，則AB)；(3)利用線與平面的平行性定理(如果是這樣，那么AB)；(4)利用面對面平行的性質(zhì)定理(如果，則ab)。例5。在已知的四面體ABCD中，m和n分別是和的重心。驗(yàn)證